APC 2 - MATEMATICA 3º ANO - Resolução

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GOVERNO DO ESTADO DE MATO GROSSO DO SUL
SECRETARIA DO ESTADO DE EDUCAÇÃO
ESCOLA ESTADUAL PROFESSORA ADA TEIXEIRA DOS SANTOS PEREIRA
ENSINO MÉDIO 
Professor: ___Higor Medeiros de Araujo________ Disciplina: ______Matemática______
Aluno (a): _____________________________________nº:______ Turma:_________
	Olá, como vai? Espero e desejo que esteja bem! Meu nome é Higor Medeiros de Araujo, seu professor da disciplina de Matemática, e quando tiver dúvidas ou dificuldades, entre em contato comigo para que juntos possamos esclarecer e sanar cada uma delas whatsapp – 67992241812 / higor.488386@edutec.sed.ms.gov.br
Análise combinatória – Fatorial de um número 
Análise combinatória é a área da matemática que estuda os problemas envolvendo a contagem na ocorrência de um determinado evento, sem a necessidade de reproduzirmos todas as possibilidades. O Fatorial é importante instrumento pois na análise combinatória é comum o uso de fatorial nas fórmulas.
Seja n um número natural, maior que 1, definimos fatorial de n como o produto de todos os números naturais de n até 1.
Simbolicamente, o fatorial de n é: n!
Então, n! = n(n – 1).(n – 2) . ...
Exemplo: 3! = 3 . 2 . 1 = 6
10! = 10 . 9 . 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 3.628.800
 (
Exercício 28 livro 
2 ano
 
pág
 234
)
2 pontos Exercício 01. Calcule:
a) 6!
b) 4!
c) 0! + 1!
d) 3! – 2!
e) 7! – 5!
 (
Para o cliente 
poder
 alugar os 16 
filmes,ele
 terá que fazer isso em um intervalo de 8 
locações,isso
 porque ele locará apenas 2 filmes para assim assistir de cada vez.
Vejamos: 8.7.6.5.4.3.2.1 = 8!
Para os filmes de gênero comédia temos 5 locações portanto: 5.4.3.2.1 = 5!
Para filmes de drama temos 3: 3.2.1 = 3!
Então temos: 
8!,
5! e 3!
Alternativa correta letra:
b)8! x 5! x 3
!
 
Exercício 
34
 livro 
2 ano
 
pág
 234
) (
Exercício 29 livro 
2 ano
 
pág
 234
)Exercício 02. Obtenha o valor de cada uma das expressões seguintes: 
a) 
b) 
c) + 
d) 
e) 
Exercício 03. (ENEM) Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? (Apenas uma alternativa correta)
a) 20 . 8! + (3!)²
b) 8! . 5! . 3!
c) 
d) 
e) 
Análise combinatória – Permutações simples, arranjos simples e combinações simples
Permutação simples
Definimos permutação simples como o número de possibilidades que podemos organizar n elementos distintos em n posições, de forma que cada possibilidade seja diferente da ordem em que os elementos aparecem. A permutação simples pode ser calculada pela seguinte fórmula:
Pn = n . (n-1) . (n-2) . ... = n!
 (
Exercício 35 livro 
2 ano
 
pág
 237
)
2 pontos Exercício 04. Determine o número de anagramas formados a partir de: 
a) LUA
b) GATO
c) ESCOLA
d) REPÚBLICA
e) FESTA
f) PERNAMBUCO
Exercício 05. Um dado foi lançado quatro vezes sucessivamente e as faces obtidas foram 2, 3, 5 e 6, não necessariamente nessa ordem. De quantas formas distintas pode ter ocorrido a sequência de resultados? 
a) (
Exercício 36 livro 
2 ano
 
pág
 237
Permutação(n) = n!
Aplicando isso na fórmula com n = 4, temos:
Permutação(
4) = 4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 12 * 2 * 1 = 24
)4
b) 8
c) 16
d) 24
e) 720
Arranjo simples 
Arranjo com repetição é utilizado quando a ordem dos elementos do evento é importante, sendo que cada elementos podem ser contado mais de uma vez. Podemos calcular Arranjo simples em análise combinatória da seguinte forma:
Onde:
An,k: é o arranjo;
n: total de elementos do evento
k: total de agrupamentos, com k ≤ n;
Exemplo: Quantos números de 3 algarismos podemos formar com o conjunto A = {1, 2, 3, 5, 7 e 9}?
Temos os seguintes dados:
n: números de elementos = 6
k: quantidades de grupos = 3 
Então: A6,3 = 
 (
Exercício 49 livro 
2 ano
 
pág
 242
 
=> Quantas partidas eu vou jogar?
Vamos separar o raciocínio em 2 partes:
1-número de jogos do torneio
n: números de elementos = 15
 
k: quantidades de grupos = 2
Então: 
A
15
,
2
 = 
 
 jogos
2-número de jogos da final
n: números de elementos = 
2
 
k: quantidades de grupos = 2
Então: 
A
2
,
2
 = 
 
 jogos
. Portanto o total de partidas será 210+2 = 21
2
 partidas.
)Exercício 06. A 1ª fase de um torneio de futebol é disputada por 15 equipes no sistema de turno e returno (a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois mais bem classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema?
a) 200 partidas
b) 212 partidas Foi enviado 210 partidas
c) 220 partidas
d) 250 partidas
e) 280 partidas
Combinação simples 
Utilizamos combinação simples quando a ordem dos elementos no evento não importa, porém cada elementos podem ser contado somente uma vez.
Calculamos uma combinação simples utilizando a seguinte fórmula:
Onde:
Cn,k: é a combinação simples
n: total de elementos do evento
k: total de agrupamentos, com k ≤ n;
Exemplo: De quantas maneiras diferentes podemos separar 12 bolas de gudes de cores diferentes, colocando 3 bolas de gudes por pote?.
Temos os seguintes dados:
n: números de elementos = 12
k: quantidades de grupos = 3
Então: C12,3 = 220 maneiras
Exercício 07. De quantos modos distintos Lucas pode escolher quatro entre as nove camisetas regatas que possui para levar em uma viagem?
a) (
Exercício 47 livro 
2 ano
 
pág
 247
n: números de elementos = 
9
k: quantidades de grupos = 
4
Então: 
C
9
,
4
 = 
 
 
modos
)96 modos
b) 126 modos
c) 136 modos
d) 146 modos
e) 151 modos
 (
Exercício 61 livro 
2 ano
 
pág
 247
Deve-se fazer duas combinações distintas e multiplicá-las ao final:
 
Como a ordem não importa, deve-se usar a combinação e não arranjo
Combinação dos médicos: C(10x
4)=
 10!/4!
(10-4)
! = 10.9.8.7/ 4.3.2 = 10.3.7=210
Combinação 
enfermeiros :
 C(6x2) = 6!/2!
(6-2)
! = 6.5/ 2 = 15
Existem 210 formas diferentes de escolher os 4 médicos e 15 formas diferentes de escolher os enfermeiros. Deve-se multiplicar esses valores:
210 x 15 = 3150
)
Exercício 08. Uma junta medica deverá ser formada por 4 médicos e 2 enfermeiros. De quantas maneiras ela pode ser formada se estão disponíveis 10 médicos e 6 enfermeiros?
a) 3100 maneiras
b) 3150 maneiras
c) 3151 maneiras
d) 3158 maneiras
e) 3160 maneiras
Aprofunde seus conhecimentos!