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Apostila de Cálculo II 1 Apostila de Cálculo II 2 Antiderivada e Integral Indefinida Uma antiderivada ou primitiva da função f no intervalo [ ]b,a , é uma função F, tal que: ( ) ( )xfx dx dF = para todo x [ ]ba,∈ Notação de Leibniz: Outra notação empregada para designar a operação de primitivação de uma função f , no intervalo [ ]ba, é ∫ , notação de Leibniz. O símbolo ∫ ( esse alongado de soma ), é o sinal da integral. ( ) ( )xfdxf(x) dx d =∫ Exemplo: Se a derivada em relação a x da função f (x) = x2+4 é xxxfDxxf dx df 202)()(' =+=== , então: Uma primitiva de x2 dx df = é f(x) = x2 + 0 = x2 ; outra primitiva é f(x) = x2 – 2 , outra primitiva é f(x) = x2 + 3 , Apostila de Cálculo II 3 Assim, a função f ( x ) = x2 + C é primitiva de f (x) = x2 + 4, onde C é uma constante arbitrária, chamada constante de integração. Variando o valor de C, obtém-se uma infinidade de primitivas. A integral ∫ += C)x(fdx)x('f , é chamada integral indefinida e representa uma família de primitivas. No caso, f(x) = x2 + C é uma família de parábolas. Numa família de curvas, os seus gráficos diferem entre si apenas por uma translação vertical . Significado geométrico da constante de integração “C “: Geometricamente: a constante de integração “C”, representa a ordenada do ponto onde a curva corta o eixo 0y. x y y = f (x ) + C1 y = f (x ) + C2 C1 y = f (x ) + C3 y = f ( x ) + C4 C3 C2 C4 Apostila de Cálculo II 4 Propriedades da integral indefinida: ∫ ∫ ℜ∈= Condedx,f(x)Cf(x)dxC ; [ ] ∫ ∫±=∫ ± dxg(x)dxf(x)dxg(x)f(x) Tabela das integrais indefinidas fundamentais: Definição: Seja I ⊂ R; a função G é uma primitiva de ƒƒƒƒ em I , se e somente se: ( ) ( ) Ixparaxf dx Gxd ∈∀= 1. 1nparaC 1n uduu 1n n −≠∫ + + = + 2 ∫ +==∫ − Culn u duduu 1 3 ∫ += Cadualna uu ∫ += Cedue uu 4 Csenuduucos +=∫ 5 ∫ +−= Cucosdusenu 6 Cutgduusec 2 +=∫ 7 ∫ +−= Cugcotduueccos 2 8 Cusecduutg.usec +=∫ 9 ∫ +−= Cuseccosduugcot.useccos 10 CucosarcCusenarc u1 du 2 +−=∫ += − ou CucosCusen u1 du 11 2 +−=∫ += − −− 11 CugcotarcCutgarc u1 du 2 +−=+=∫ + ou CugcotCutg u1 du 11 2 +−=+=∫ + −− Apostila de Cálculo II 5 Obs: f -1 (x) indica função inversa de f (x). MÉTODOS DE INTEGRAÇÃO: 1) Integração por Mudança de Diferencial As fórmulas para integrais indefinidas tem objetivo limitado, pois não se pode usá-las diretamente para calcular integrais como por exemplo dx 1x∫ + . Pode-se usar o seguinte artifício para resolvê-la: Seja u= x+1. Logo du=dx e com a mudança de variável fica-se com C 2 3 u u 2 3 2 1 +=∫ . Voltando a variável inicial ( ) C 1x 3 2dx 1x 2 3 ++=∫ + . Após fazer a substituição u = g (x) pode ser necessário inserir um fator constante k no integrando para se obter uma forma adequada ∫ du f(u) . Deve-se multiplicar por k 1 para manter a igualdade. Exercício Resolvido: Calcular dx 75x∫ + Seja u= 5x + 7 e du= 5 dx . Como du contém o fator 5, a integral a resolver não está na forma ∫ du f(u) . Pode-se fazer então dx 5 . 7 x 5. 5 1 dx . .5 5 1 7 x 5 dx 7 x 5 ∫ + = ∫ +=∫ + . Agora tem –se 2 3 u 5 1du u 5 1 2 3 2 1 =∫ . Voltando a variável original ( ) C75x 15 2 dx 75x 3 ++=∫ + Apostila de Cálculo II 6 Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫ dx4x cos 2) ( ) dx 1x2 73∫ + 3) ( ) dx 1x3 1x 63 2 ∫ +− − x 4) dx x6 - 7 .x 3 2∫ 5) dx x x cos∫ 6) dx5x sen x.5cos 3∫ 7) dx x 1 x 11 2 3 ∫ + − 8) ∫ + dx 6x) (1 sen 9) dx 2x cos 4x sen∫ 10) dx 4x sen .4x tg 1∫ 2) Integração por Substituição Algébrica Este método consiste em substituir uma expressão por uma variável, com a finalidade de eliminar um radical, eliminar adições e subtrações do denominador, etc. O problema é resolvido na nova variável. Exercício Resolvido: Apostila de Cálculo II 7 Calcular a integral I = dx 23x 9x∫ − Fazendo 3 dtdx 3 2t xt2x3 =⇒+=∴=− ctln2t t dt2dt t t 3 dt t 3 2t9 I ++=∫+∫=∫ + =∴ Voltando para a variável x: I = dx 2x3 x9∫ − = 3x – 2 + 2 ln (3x – 2 ) + c 1) Método da Integração por Partes Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que: ∫ ∫ ∫= = += du v - (u.v) d dv u du v - u.v) ( d dv u du v dv u d(u.v) Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios. a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫ dv para encontrar a expressão de v. Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv. Apostila de Cálculo II 8 b) Você deverá obter uma integral ∫ du v que seja mais simples ou pelo menos semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫ du v será mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação. Exemplos: 1) Calcular a integral ∫ dx ex x . Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve facilmente. Então: xx x e dx e vdx du dx e dv x u =∫== == ( ) C1e C x.edx e-e x.dx e . x xxxxxx +−=+−=∫∫ = xe 2) Calcular a integral ∫ dx x sen x Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx xcos vdx du dx x sen dv x u −== == Csen xx.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫ = x 3) Calcular a integral ∫ dx e x 3x2 Apostila de Cálculo II 9 Use as expressões dx e dv e x u 3x2 == ; neste caso a integral subsequente deverá ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes. 3x3x 3x2 e 3 1 dx e vdx 2x du dx e dv x u =∫== == dxex 3 2 e 3 1 . xdx 2x e 3 1 e 3 1 . xdx e.x 3x3x23x3x23x2 ∫−=∫−=∫ Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫ : 3x3x 3x e 3 1 dx e vdx du dx e dv x u =∫== == 3x3x3x3x3x e 9 1 e 3 1 . xdx e 3 1 e 3 1 . xdx e.x −=∫−=∫. A integral inicial fica: C e 27 2 e x 9 2 e 3 1 . xdx e.x 3x3x3x23x2 ++−=∫ Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫ dx x cos x. 2) ∫ dx e .x 2x Apostila de Cálculo II 10 3) ∫ dx x ln 4) ∫ dxx sec .x 2 5) ∫ dx e . x -x 6) ∫ dx e . x -3x 7) ∫ dx x sen . e x 2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas Se o integrando contém expressões das formas ( ) ( ) ( )n22n22n22 xa ou ax xa +−− , tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2, u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica: a) Desenhe um triângulo retângulo. b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembre- se de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões ( ) ( ) ( )222222 xa ou ax ,xa +−− que aparecem na sua integral. c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente. Temos os seguintes tipos de substituições: Apostila de Cálculo II 11 (a) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa − , use a substituição: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ( ) θ cos axa 22 =− . (b) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 ax − , use a substituição dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− . Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ( ) θ tg a ax 22 =− (c) Se no integrando aparece a expressão ( )n22 xa + , use a substituição dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ . Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2== e ( ) θsec a xa 22 =+ Apostila de Cálculo II 12 Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura. Resolvidos 1) Calcular a integral ( ) dx x16x 1 22 ∫ − Faz-se a substituição cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dx com , θ sen 4 x 2 === ( ) ( ) θ cotg 16 1 - θcossec 16 1 dθ θsen 1 16 1 dθ θ cos 4. θ cos 4 . θsen 16. 1 dx x16x 1 2 2222 = ∫=∫=∫=∫ − Voltando a variável original ( ) ( ) C x x16 16 1 - dx x16x 1 2 22 + − =∫ − 2) Calcular a integral dx x4 1 2 ∫ + Faz- se a substituição θsec 2 x4 e dθ θ sec 2 dx com , θ tg 2 x 22 =+== . C tgθ secθ ln dθ θsec dθ θ sec 2 θsec 2 1 dx x4 1 2 2 ++=∫=∫=∫ + . Voltando a variável original C 2 x 2 x4 ln dx x4 1 2 2 ++ + =∫ + 3) Calcular a integral dx x 9x2∫ − Faz-se a substituição θ tg 3 9x e dθ θ tg θsec 3 dx com , θsec 3 x 2 =+== . Apostila de Cálculo II 13 ( ) θ 3tgθ 3 dθ3 dθ θsec 3 dθ 1θsec 3 dθ θtg 3 dθ tgθ secθ 3 θsec 3 θ tg 3 dx x 9x 222 2 −= =∫ ∫−=∫ −=∫=∫=∫ − Voltando a variável original C 3 x arcsen39x dx x 9x 22 +−−=∫ − Exercícios: Calcular as integrais: 1) ∫ 2x-16 dx 2) ∫ − 25x dx 2 3) ( )∫ − 232x6 dx 4) dx 81 1 2∫ + x 5) dx 36 1 2 ∫ −x 6) ∫ + 2x1x dx Apostila de Cálculo II 14 4) Método de Integração: Decomposição em Frações Parciais Apresenta-se uma seqüência de passos que se usam para calcular integrais de funções racionais da forma p(x)/q(x) onde p e q são polinômios em x e o grau de p é estritamente menor do que o grau de q (funções racionais próprias). A técnica de integração de funções racionais por fatoração em frações parciais é dividida em dois casos: linear e quadrático. Caso linear Trata-se do caso em que o denominador é fatorável em diferentes fatores lineares (repetidos ou não). Consideremos a integral dx x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 ∫ . 1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Por exemplo, a função racional x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 é imprópria, pois o grau do numerador é igual ao grau do denominador. Fazemos então a divisão e obtemos x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 2 23 23 += . A integral transforma-se em dx x8 - x2 - x 16 - x 68 - x6 - x5 23 23 =∫ dx x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 23 2 +∫ , cuja primeira parcela é trivial. Concentramo-nos agora na fração própria, que está preparada para ser fatorada em frações parciais. 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador fatora-se como x3-2x2- 8x=x(x-4)(x+2). 3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas através de frações parciais. No caso da função racional x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 23 2 basta escrever 2x C 4-x B x A x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 23 2 + ++= . Usando algum método para resolver esta equação (por exemplo, calculando a soma das parcelas do lado direito e Apostila de Cálculo II 15 resolvendo o sistema de equações lineares que se obtém igualando termos de mesmo grau), obtemos A=2, B=-8/3 e C=14/3. 4) Se o denominador de uma função racional básica é da forma (ax+b), use a substituição u=(ax+b). Neste exemplo, temos dx 2x 314 4-x 38 x 2 dx 5 dx x8 - x2 - x 16 - x 28 - x4 5 23 2 ∫ ∫ + +−+= +∫ e esta última integral se resolve facilmente usando as substituições indicadas para cada parcela. 5) Se o denominador possui fatores lineares repetidos da forma (ax+b)k, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral ( ) dx 1xx 2 x 4 x3 2 2 ∫ + ++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma ( ) ( )2 21 2 2 1x B 1x B x A 1xx 2 x 4 x3 + + + += + ++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=1, B2=-1. Portanto, temos ( ) dx 1xx 2 x 4 x3 2 2 =∫ + ++ ( ) dx 1x 1 1x 1 x 2 2 + − + +∫ e esta última integral se resolve facilmente através de substituições indicadas (u=ax+b) para cada parcela. Caso quadrático Trata-se do caso em que o denominador não é fatorável apenas em fatores lineares; o denominador apresentará, portanto, termos quadráticos (repetidos ou não). Consideremos a integral . 1) Reduza as funções racionais impróprias a frações próprias através de divisão. Neste exemplo, já partimos de uma função própria e esta etapa já está feita. Apostila de Cálculo II 16 2) Fatore o denominador. No caso presente, o denominador se fatora como x3+x2+4x+4=x2(x+1)+4(x+1)=(x+1)(x2+4). Observe que o fator x2+4 é irredutível (isto é, não pode ser escrito como o produto de dois polinômios de grau 1 com coeficientes reais). 3) Decomponha a função racional em uma soma de funções racionais básicas. Devemos escrever a função racional dada na forma 1x C 4x B A x 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 + + + + = +++ ++ x . Resolvendo esta equação, encontramos A=3, B=0 e C=5. Dessa forma1x 5 4x 3x 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 + + + = +++ ++ x 4) Finalmente podemos calcular a integral dx 1x 5 4x 3x dx 4 x 4 x 20 x 3 x8 223 2 ∫ + + + =∫ +++ ++ x fazendo substituições imediatas. 5) Se o denominador possui fatores quadráticos repetidos da forma (ax2+bx+c)k, use k frações parciais correspondentes. Por exemplo, para calcular a integral dx 1)(xx 2xx 22 3 ∫ + ++ usamos a decomposição em frações parciais, que tem a forma ( )22 22 2 11 22 3 1x CxB 1x CxB x A 1)(xx 2xx + + + + + += + ++ . Resolvendo esta equação, obtemos A=2, B1=-2, C1=1, B2=-2 e C2=0. Portanto, temos dx 1)(xx 2xx 22 3 ∫ + ++ = ( ) dx 1x 2x 1x 2x-1 x 2 222 ∫ + − + + . Observe que a primeira e terceira parcelas podem ser feitas por substituições óbvias; porém a segunda parcela parece diferente. Reescrevendo tudo desta forma: ( ) dx 1x 2x 1x 1 1x 2x x 2 2222 ∫ + − + + + − +, o problema se resolve facilmente. Exercícios: Apostila de Cálculo II 17 Calcular as integrais: 1) dx 1x 2 2∫ − 2) dx 3x2xx 913x4x 23 2 ∫ −+ −+ 3) ( )( ) dx 2x1x 4 - x 29 x18 - x3 3 23 ∫ −+ + 4) dx 48x- x2 21 -x - x 23 2 ∫ −+ x 5) dx 4xx 163x x6 x 3 23 ∫ + +++ A Integral Definida Seja f uma função contínua num intervalo [a,b] e tal que 0 (x) f ≥ para todo [ ]ba, x ∈ . Apostila de Cálculo II 18 Vamos calcular a área da região compreendida entre o gráfico de f e o eixo x, para x variando em [ a, b]. Para tanto, vamos considerar uma partição do intervalo [a,b], constituída pelo conjunto de pontos { }bx,.....,xx,xaP n21,0 === . Dessa maneira, ficam determinados n sub-intervalos, cada um deles da forma [ ]i1-i x,x , sendo que o índice i varia de 1 até n, isto é, ni1 ≤≤ . No caso de tomarmos as n divisões de [a,b] todas do mesmo tamanho, temos que cada um dos sub- intervalos terá comprimento 1-ii xxx −=∆ , para ni1 ≤≤ . Vamos considerar um ponto xi* em cada um dos sub-intervalos [ ]i1-i x,x , obtendo um valor aproximado para a área da região, que é dado por: Qualquer uma das somas i n 1i * i x).(x f ∆∑ = é denominada soma de Riemann para a função f, relativa à partição P e aos números xi, para - Quando fazemos crescer indefinidamente o número de pontos da partição, isto é, fazemos ∞→n , obtemos: i n 1i * i n x).(x flim ∆∑ =∞→ = [ ] A f)(P, s lim n = ∞→ Apostila de Cálculo II 19 Definição: a integral definida da função f, sendo 0 (x) f ≥ no intervalo [a,b], é igual ao limite da soma das áreas dos n retângulos, quando o número desses retângulos tende a infinito. Nesse caso a integral fornece a área da região compreendida entre o eixo horizontal e o gráfico da função f, para x percorrendo o intervalo [a,b]. A integral definida verifica algumas propriedades: Propriedade 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então a função g f ± é integrável em [a,b] e: [ ] ∫∫ ±=∫ ± bb aa b a dx (x) g dx (x) fdx (x) g (x) f . Propriedade 2: Se k é uma constante e f é uma função integrável no intervalo [a,b], então a função k.f é integrável em [a,b] e : . Propriedade 3: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e 0 (x) f ≥ em [a,b] então . Propriedade 4: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c é um ponto qualquer do intervalo [a,b], então : . Apostila de Cálculo II 20 Teorema Fundamental do Cálculo Integral O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece a importante conexão entre o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de se determinar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partir do problema de se encontrar a área de uma figura plana Teorema : Seja f uma função contínua no intervalo [a,b]. A função F, dada por ∫= x a dt (t) f (x) F , é derivável em todos os pontos interiores ao intervalo ]a,b[ e sua derivada é dada por F'(x)=f (x). O Teorema Fundamental do Cálculo nos permite facilmente calcular áreas pois, a partir dele, podemos mostrar que: Se f é uma função contínua no intervalo [a,b], então ∫ = b a (a) G - (b) G dt t) ( f , onde G é uma qualquer primitiva de f, isto é, tal que G'=f. Resolvidos Calcular as integrais definidas: 1) ∫ 2 0 2 dx x 3 8 3 0 3 2 3 x dx x 33 2 0 32 0 2 =−==∫ 2) ∫ pi 0 dx x sen 2(-1)--(-1)) 0 cos (- - cos - x cos dx x sen 0 0 ===−=∫ pipi pi Apostila de Cálculo II 21 3) ( ) dx1x 21 0 2∫ + ( ) ( ) 15 281 3 2 5 1 x 3 x2 5 x dx 1x2x dx1x 10 351 0 24 21 0 2 =++= ++=∫ ++=∫ + 4) dx x 32 x 2 - x 5 4 1 3∫ + 6 259 2- x32 2 3 x2 2 5xdx x23 x2 - x 5 dx x 32 x 2 - x 5 4 1 2-2 3 24 1 3-2 14 1 3 = +−=∫ +=∫ + Exercícios: Calcular as integrais definidas: 1) ( )dx 3 x 4 - x4 1 2∫ + 2) ( )dz 1 - z3z 83 2 3∫ + 3) ∫ 12 7 dz 4) dt t 3- t 9 4 ∫ 5) ( )ds 2s 8 0 3 2∫ + 6) ( ) dx3 x 2 21 0 ∫ + − 7) dx 9x x 4 0 2 ∫ + Apostila de Cálculo II 22 a b y = f (x) a b f (x) g (x) 8) dx 2 x sen 3 3 0 ∫ pi 9) ( )∫ +4 0 3 dx2x cos .2x sen1 pi 10) dx x7 x 1 0 3 5 4 ∫ + Aplicações da Integral Definida Cálculo de Áreas Se f (x) é contínua e positiva no intervalo [a,b], então a área limitada por f (x), o eixo x e as retas x=a e x=b é dada por: ∫= b a dx (x) f A Se f (x) e g(x ) são contínuas em [a,b] com [ ]ba, x , (x) g (x) f ∈∀≥ , então a área limitada por f (x) , g (x) , retas x=a e x=b é dada por: ( )∫= b a dx (x) g - (x) f A Apostila de Cálculo II 23 a b f (x) g (x) c No caso de no intervalo [a,b] a função f (x) nem sempre for maior que g(x), então: ( ) ( )∫+∫= b c c a dx (x) f - (x) g dx (x) g - (x) f A Podemos ainda isolar x em cada uma das funções obtendo x = f (y) e x = g (y). Se (y) g (y) f ≥ no intervalo [ c,d ], então a área entre os gráficos de f (y), g (y) e as retas y = c e y = d será: [ ]∫= d c dy (y) g - (y) f A Resolvidos 1) Obter a área limitada pelas curvas x ye xy 2 == . a) esboçar a região, designando por y = f (x) a fronteira superior e por y = g (x) a fronteira inferior. Achar o valor x = a e o valor x = b dos pontos de intersecção das regiões. Nessa caso a=0 e b=1. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 x 0.2 0.4 0.6 0.8 1 y Apostila de Cálculo II 24 b) esboçar um retângulo vertical típico e designar por dx a largura. 1) Expressar a área do retângulo como [ f (x)- g (x)]. dx . Nesse caso a área vale ( )2xx − .dx 2) Obter o valor da área através do cálculo da integral: ( ) 3 1 3 x 2 3 xdx xx dx xx A 10 32 3 1 022 11 0 2 = −=∫ −=∫ −= 2) Achar a área limitada pelas curvas 0 3- x 2 y e 6 xy 2 =+=+ -1 1 2 3 x -2 2 4 6 y pontos de intersecção == −== −=+ 3bx 1ax x236x- 2 12 ( ) ( )[ ] ( ) 3 32 x3x 3 xdx 3x2x- dx 3x26x- A 31 2 33 1- 23 1- 2 = ++−=∫ ++=∫ +−−+= − 3) Obter a área limitada pelas curvas x ye 4x y2 2 2 =+= . pontos de intersecção == == =− 2 d y -2cy y4 y2 2 122 Apostila de Cálculo II 25 -4 -2 2 4 x -2 -1 1 2 y . ( )[ ] [ ] [ ] 3 32 y4 3 y -dy 4 y dy 4 y2y dy 4 y2y A 2 2 32 2 2 2 2 22 2 2 22 = +=+−=+−=−−= − −−− ∫∫∫ Exercícios: 1) Calcular a área limitada pelos gráficos das funções 2y- xe 1 xy 2 =+= e as retas x=-2 e x=2. 2) Calcular a área limitada pelo gráfico das funções x4-2x )(x g e 2xf(x) 22 =−= . 3) Encontre a área da região limitada pela curva 6 x 5 x2 xy 23 +−−= , o eixo x e as retas x = -1 e x = 2. Cálculo de Volumes de Rotação Uma área ao girar em torno de um eixo gera um sólido de revolução de volume V. a) Giro em torno do eixo x Seja f (x) contínua em [ a,b ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de x= a, de x=b e do eixo dos x é dado por: Apostila de Cálculo II 26 [ ] dx (x) f V b a 2∫= pi b) Giro em torno do eixo y Seja f (y) contínua em [ c,d ]. O volume V do sólido de revolução gerado pela rotação da região delimitada pelos gráficos de f, de y= c, de y=d e do eixo dos y é dado por [ ] dy (y) f V d c 2∫= pi c) Giro em torno do eixo x, com a área não apoiada no eixo x. Seja uma região limitada pelos gráficos de x=a, x=b e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g , com 0 (x) g (x) f ≥≥ para todo x em [ a,b ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo x, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: [ ] [ ] dx (x) g -dx (x) f V b a 2 b a 2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dx (x) g - (x) f 2b a 2∫ pi d) Giro em torno do eixo y, com a área não apoiada no eixo y. Seja uma região limitada pelos gráficos de y=c, y=d e pelos gráficos de duas funções contínuas f e g , com 0 (y) g (y) f ≥≥ para todo y em [ c,d ]. Fazendo-se essa área girar em torno do eixo y, obtém-se um sólido cujo volume é dado por: [ ] [ ] dy (y) g -dy (y) f V d c 2 d c 2 ∫∫= pipi = { [ ] [ ] }dy (y) g - (y) f 2d c 2∫ pi Exemplos: 1) A área limitada pelo gráfico de 1 xy 2 += , retas x = -1 e x = 1 e o eixo x, gera um volume V. Determinar o valor de V. Apostila de Cálculo II 27 ( ) ( ) 15 56 x 3 x2 5 x dx 1x2x dx 1x V 1 1 3 51 1- 24 1 1- 22 pipipipi = ++=++=+= − ∫∫ 2) A região limitada pelo eixo y e os gráficos de 3 xy = , y = 1 e y = 8 gira em torno do eixo y. determine o volume do sólido resultante. ( ) 5 93 3 5 y dy dy y V 8 1 3 5 8 1 3 21 1 2 3 2 pipipipi = === ∫∫ y Exercícios: 1) A área limitada pelos gráficos de 1x 2 1 y, 2xy 2 +=+= , x = 0 e x = 1 gira em torno do eixo x. Determinar o volume do sólido resultante. 2) A área do exercício anterior gira em torno da reta y = 3. Determine o volume gerado. 3) Esboce a região R e determine o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo indicado para: a) x4 xy 2 −= , y = 0 ; em torno do eixo dos x. b) xy = , x + y =4 , x = 0 ; em torno do eixo dos x.
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