Questão resolvida - Limite envolvendo o teorema do confronto - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Calcule o limite abaixo:
 
x ⋅ senlim
x 0→
2
1
x
Resolução:
Subtituindo o limite; x ⋅ sen = 0 ⋅ sen = 0 ⋅ senlim
x 0→
2
1
x
( )2
1
0
1
0
 
 é uma indeterminação, assim, é preciso estudar a função de equação , como visto 
1
0
1
x
abaixo:
Perceba que o limite da função é . A função seno é um tipo de função chamada 
1
x
+∞
limitada, já que varia sempre entre -1 e 1 mesmo a função tendendo para , com isso, +∞
podemos escrever as desiguadades:
-1 ⩽ sen ⩽ 1
1
x
Multiplicando a expressão por x , fica :2
 
 
-1 ⋅ x ⩽ x ⋅ sen ⩽ 1 ⋅ x2 2
1
x
2
- x ⩽ x sen ⩽ x2 2
1
x
2
Agora, aplicamos o limite aos termos :
 
- x ⩽ x sen ⩽ xlim
x 0→
2 lim
x 0→
2 2
1
x
lim
x 0→
2
 Os limites - x e x são iguais a zero;lim
x 0→
2 lim
x 0→
2
 
0 ⩽ x sen ⩽ 0lim
x 0→
2
1
x
Finalmente, podemos concluir que o limite pela esquerda e pela direita x senlim
x 0→
2 1
x
tende a zero e, assim:
 x sen = 0lim
x 0→
2
1
x