P1_4h_f3unif_092_def_enunc_gab_09
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Gabarito para Versa˜o A

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)

1. Em uma regia˜o do espac¸o, o potencial ele-
trosta´tico e´ dado por

V (x, y, z) = a(2x2 + yz) , a = const ,

onde x, y, z sa˜o as tradicionais coordenadas carte-
sianas. O vetor campo ele´trico no ponto (2b, b, 2b)
e´ dado por

(a) −ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .

(b) −ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .

(c) ab(8xˆ+ 2yˆ + zˆ) .

(d) ab(8xˆ+ yˆ + 2zˆ) .

(e) 0, pois temos simetria plana.

2. Seja a associac¸a˜o de capacitores da figura abaixo:

a

b

C C C C

A capacitaˆncia equivalente entre os pontos a e b
vale:

(a) C/4 .

(b) 3C/4 .

(c) C/3 .

(d) 4C/3 .

3. Uma superf´ıcie imagina´ria fechada envolve com-
pletamente um dipolo ele´trico e nenhuma outra
part´ıcula carregada. Podemos afirmar que:

(a) o campo ele´trico e´ zero em todos os pon-
tos da superf´ıcie.

(b) o campo ele´trico e´ normal a` superf´ıcie em
todos os pontos da mesma.

(c) o fluxo do campo ele´trico atrave´s da su-
perf´ıcie na˜o pode ser igual a zero, pois ha´
cargas envolvidas pela mesma.

(d) o fluxo do campo ele´trico atrave´s de uma

parte da superf´ıcie pode na˜o ser igual a
zero.

4. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio interno
a e raio externo b, inicialmente neutra, transfere-
se uma cargaQ. Em seguida, uma part´ıcula (pon-
tual) de carga −10q e´ colocada no seu centro.
Qual e´ a expressa˜o correta para a densidade de
carga sobre a superf´ıcie externa da casca condu-
tora?

(a) σ = −10q/(4πb2) .

(b) σ = −Q/(4πb2) .

(c) σ = (Q− 10q)/(4πb2) .

(d) σ = (Q+ 10q)/(4πb2) .

(e) σ = (10q −Q)/(4πb2) .

5. Considere as configurac¸o˜es A e B de part´ıculas
(pontuais) carregadas representadas na figura
abaixo. Efetue a ordenac¸a˜o da energia potencial
eletrosta´tica armazenada em cada caso, levando
em conta que, nos dois casos, a separac¸a˜o entre a
part´ıcula central e as demais tem sempre o mesmo
valor.

q q −q
A :

q −q q
B :

(a) UA < UB.

(b) UA = UB.

(c) UA > UB.

(d) Os dados sa˜o insuficientes.

1

6. Sabe-se que o mo´dulo do campo ele´trico na regia˜o
entre duas placas planas muito grandes, separa-
das por uma pequena distaˆncia, e com densida-
des superficiais de mesmo mo´dulo, σ, e´ dado por
E = σ/ǫ0. Podemos afirmar que:

(a) as duas placas sa˜o condutoras.

(b) as duas placas sa˜o isolantes.

(c) uma das placas e´ condutora e a outra
placa e´ isolante.

(d) as densidades superficiais de cargas nas
placas teˆm o mesmo sinal.

(e) as densidades superficiais de cargas nas

placas teˆm sinais opostos.

7. Um diele´trico e´ inserido entre as placas de um ca-
pacitor de placas planas e paralelas, preenchendo
completamente a regia˜o entre elas. Inicialmente,
o espac¸o entre elas estava preenchido com ar e o
capacitor estava carregado com uma carga Q e
desconectado de qualquer bateria. Depois da in-
serc¸a˜o do diele´trico, podemos afirmar que

(a) a carga nas placas do capacitor aumenta.

(b) a diferenc¸a de potencial entre as placas
do capacitor aumenta.

(c) o campo ele´trico no interior do capacitor

diminui.

(d) a energia ele´trica armazenada permanece
a mesma.

Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F)

F Considere uma superf´ıcie cu´bica, de aresta com comprimento R, e uma superf´ıcie esfe´rica, de raio
com comprimento tambe´m R. Dentro de cada uma dessas superf´ıcies temos uma part´ıcula de carga q.
Podemos concluir que o fluxo do campo ele´trico atrave´s da superf´ıcie cu´bica e´ maior que aquele atrave´s
da superf´ıcie esfe´rica.

F O potencial eletrosta´tico e´ o mesmo em todos os pontos na superf´ıcie de um condutor em equil´ıbrio
eletrosta´tico, logo a densidade superficial de carga sera´ a mesma em todos os pontos dessa superf´ıcie.

F Uma part´ıcula (pontual) de carga Q e´ mantida fixa enquanto outra part´ıcula (pontual), de carga q, e´
trazida para perto da primeira a velocidade constante. Podemos concluir que o trabalho efetuado pela
forc¸a eletrosta´tica atuante sobre a part´ıcula de carga q e´ positivo se ambas as cargas tiverem o mesmo
sinal.

2

Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas

1. Um anel uni-dimensional, circular, pertence ao plano cartesiano XY e tem raio R e centro na origem do
sistema de coordenadas cartesianas. Ele possui uma distribuic¸a˜o estaciona´ria de carga, cuja densidade
linear e´ dada por

λ(θ) =

{
λ0 cos θ , se 0 ≤ θ ≤ π ;
0 , se π < θ < 2π .

Aqui λ0 e´ uma constante e θ e´ o usual aˆngulo polar, medido a partir do eixo OX , no sentido trigonome´trico.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico no centro do anel. [1,5 ponto]
(c) Determine o potencial no centro do anel, tomando-o igual a zero no infinito. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) A carga total em qualquer curva C e´ sempre dada por

Q[C] =

∫
C

λ(r)dℓ .

No caso,

Q =

∫ pi
θ=0

λ0 cos θRdθ

ou
Q = 0 .

Este resultado era de se esperar visto que a distribuic¸a˜o e´ sime´trica em torno de θ = π/2: o mesmo tanto
de carga positiva existe no primeiro quadrante que de carga negativa no segundo quadrante e distribu´ıda
“igualmente”.

(b) Por simetria, o campo ele´trico resultante no centro do anel so´ tera´ componente x. A contribuic¸a˜o para
tal de um elemento de carga infinitesimal, a um aˆngulo polar θ, e´ dada por

dEx = k0
dq

R2
(−rˆ) · xˆ

= −k0
λ(θ)dℓ

R2
cos θ

= −
k0λ0
R

cos2 θdθ .

Logo

E(0) = −
k0λ0
R

∫ pi
θ=0

cos2 θdθ xˆ

Ora, do formula´rio, tiramos que ∫ pi
θ=0

cos2 θdθ = π/2 .

Portanto, finalmente,

E(0) = −
πk0λ0
2R

xˆ = −
λ0

8ǫ0R
xˆ .

(c) O potencial e´ dado por

V (0) =

∫
C

k0dq

R
;

Logo, trivialmente,

V (0) = 0 .

�

3

2. Considere uma bola esfe´rica isolante (com constante diele´trica igual a 1), de raio R, com uma distribuic¸a˜o
estaciona´ria de carga esfericamente sime´trica, cuja densidade volumar e´ dada por

ρ(r) =

{
Ar2 , se 0 ≤ r ≤ R ;
0 , se R < r <∞ .

Aqui A e´ uma constante e r e´ a usual distaˆncia radial, desde o centro da bola.
(a) Determine a carga total de tal distribuic¸a˜o. [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico fora e dentro de tal bola carregada. [1,0 ponto]
(c) Determine o potencial eletrosta´tico fora e dentro de tal bola carregada, tomando-o igual a zero no
infinito. [1,0 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) A carga total em qualquer regia˜o R e´ sempre dada por

Q[R] =

∫
R

ρ(r)dV .

Enta˜o, no caso da bola, temos que sua carga total Q sera´ simplesmente

Q =

∫ R
r=0

ρ(r)4πr2dr

= 4πA

∫ R
r=0

r4dr ,

ou

Q =
4

5
πAR5 .

(b) Devido a` simetria esfe´rica, o vetor campo ele´trico criado pela bola so´ tera´ componente radial, componente
esta dependente somente da distaˆncia r. Logo, conve´m calcularmos o campo pela lei de Gauss; como
gaussiana, adotamos uma superf´ıcie esfe´rica conceˆntrica com a bola carregada e de raio gene´rico r. O fluxo
atrave´s dela sera´

ΦE[S] :=

∮
S

E · nˆdA

=

∮
S

Er(r)rˆ · rˆdA

= Er(r)

∮
S

dA

= 4πr2Er(r) .

Para aplicarmos, de fato, a lei de Gauss, precisamos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana; para
tanto, temos duas possibilidades:

• R ≤ r <∞:
Nesse caso,

Qint = Q .

Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, vem

E = Er(r)rˆ =
1

4πǫ0

Q

r2
rˆ =

AR5

5ǫ0r2
rˆ .

4

• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,

Qint =

∫ r
r′=0

Ar′24πr′2dr′

=
4

5
πAr5 .

Portanto, pela pro´pria lei de Gauss, novamente, vem

E =
Ar3

5ǫ0
rˆ =

Q

4πǫ0

r3

R5
rˆ .

(c) Calcularemos o potencial V (r), num dado ponto de coordenada radial r, por integrac¸a˜o, a partir do
infinito, do campo ele´trico deduzido no item anterior. Teremos, pois, duas possibilidades:

• R ≤ r <∞:
Nesse caso,

V (r) − V (∞) = −

∫ r
r=∞

Er(r)dr .

Como V (∞) = 0, isso implica

V (r) =
1

4πǫ0

Q

r
=

AR5

5ǫ0r
.

• 0 ≤ r ≤ R:
Nesse caso,

V (r)− V (R) = −

∫ r
r=R

Er(r)dr .

Como, da u´ltima equac¸a˜o, V (R) = Q/(4πǫ0R) = AR
4/(5ǫ0), isso implica

V (r) −
AR4

5ǫ0
=

A

20ǫ0
(R4 − r4) ,

ou seja,

V (r) = −
A

20ǫ0
(r4 − 5R4) = −

Q

16πǫ0R5
(r4 − 5R4) .

�

5