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Universidade Federal do MaranhãoUniversidade Federal do Maranhão Cálculo Diferencial e Integral IIICálculo Diferencial e Integral III Derivadas ParciaisDerivadas Parciais Professora: Greiciane Pinto LimaProfessora: Greiciane Pinto Lima Derivadas Parciais de Funções de Derivadas Parciais de Funções de Duas VariáveisDuas Variáveis Definição 1:Definição 1: Sejam f(x, y) uma função de duas variáveis e (x0, y0) D(f). A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x0, y0), denotada por , é dada por A derivada parcial de f em relação a x é a derivada da função g(x) = f(x, y0) no ponto x = x0, obtida a partir da fórmula de f mantendo y = y0 constante e x variável. ∆x = x – x0 g(x) g(x0) Lim g(x) – g(x0) /x – x0 = g’(x0) Sejam f(x, y) uma função de duas variáveis e (x0, y0) D(f). A derivada parcial de f em relação a y no ponto (x0, y0), denotada por é dada por A derivada parcial de f em relação a y é a derivada da função h(y) = f(x0, y) quando y= y0, obtida a partir da fórmula de f mantendo x = x0 constante e y variável. Lim h(y) – h(y0) /y – y0 = h’(y0) h(y) h(y0) ∆y = y – y0 Quando as derivadas parciais de f em relação a x e y existem em todos os pontos (x, y) do domínio de f, temos as funções derivadas parciais, dadas por: O limite acima é a derivada da função de uma variável g(x) = f(x, y) em relação a x quando mantemos y constante. Assim, podemos calcular a derivada parcial de f em relação a x, derivando a fórmula de f em relação a x, mantendo y constante. O limite acima é a derivada da função de uma variável h(y) = f(x, y) em relação a y quando mantemos x constante. Assim, podemos calcular a derivada parcial de f em relação a y, derivando a fórmula de f em relação a y, mantendo x constante. Exemplos: ● Nos exemplos a seguir, calcule as derivadas parciais em relação a x e em relação a y das funções nos pontos pedidos. a) f(x, y) = 2xy + 4x2 em (1, 2) Primeiro, vamos calcular as funções derivadas parciais em relação a x e y e, em seguida, aplicaremos aos resultados o ponto (1, 2): Cálculo da derivada parcial de f em relação a x: derivamos f em relação a x, considerando y constante. ● Cálculo da derivada parcial de f em relação a y: derivamos f em relação a y, considerando x constante. ● Para calcular as derivadas parciais de f no ponto (1, 2), basta calcular os valores das derivadas parciais obtidas em (1, 2): A derivada da função 4x2 sozinha, em relação a y é igual a zero, pois x é constante. b) f(x, y) = x2 + y2 em (- 1, 0). Prosseguimos como no exemplo anterior: Calculando as derivadas parciais obtidas no ponto (- 1, 0), temos: Na derivada em relação a x, y2 é constante, logo sua derivada será 0. Na derivada em relação a y, x2 é constante, logo sua derivada será 0. c) f(x, y) = 16 – x2 – y2 em (2, 3). Calculando as derivadas parciais obtidas no ponto (2, 3), temos: Derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y • Nos exemplos a seguir, calcule as derivadas parciais das funções pedidas. d) f(x, y) = 2x3 – 2xy2 – 3y e) f(x, y) = exy Dx[xy]. Du[eu] = yexy u = xy Dy[xy]. Du[eu] = xexy u = xy USAREMOS A REGRA DA CADEIA f) f(x, y) = sen(4x2 + 3x3) + y + 1 g) Dx[4x2 + 3x3] Du[senu], u = 4x 2 + 3x3 Em relação a y, a função sen(4x2 + 3x3) é constante, logo, sua derivada será 0. [x1/2]’ = 1/2x1/2 ● Nos exemplos a seguir, calcule as derivadas parciais das funções definidas por várias sentenças, nos pontos pedidos. h) Em (0, 0) A derivada de f em relação a x no ponto (0, 0) é a derivada da função g(x) = f(x, 0) = 0, se x ≠ 0 e g(x) = f(0, 0) = 0, se x = 0, logo g(x) = 0, para todo x real: A derivada de f em relação a y no ponto (0, 0) é a derivada da função h(y) = f(0, y) = 0, se y ≠ 0 e h(0) = f(0, 0) = 0, logo h(y) = 0 para todo y real: Para os demais pontos (x, y) ≠ (0, 0) as derivadas parciais podem ser calculadas, usando a fórmula f(x, y) = xy3/(x2 + y2): i) em (0, 0) A derivada de f em relação a x no ponto (0, 0) é a derivada da função g(x) = f(x, 0) = x, x ≠ 0 e g(0) = f(0, 0) = 0, logo g(x) = x para todo x real: A derivada de f em relação a y no ponto (0, 0) é a derivada da função h(y) = f(0, y) = - 1, se y ≠ 0 e h(0) = f(0, 0) = 0. Porém, h não é contínua em y = 0, logo h’(0) não existe, portanto: f(x) não contínua em x0, então f não possui derivada em x0 Diferenciabilidade de Funções de Diferenciabilidade de Funções de Duas VariáveisDuas Variáveis ● Definição 2:Definição 2: (Incremento) Seja f(x, y) uma função de duas variáveis e (x0, y0) D(f). O incremento de f em (x0, y0) quando x tem um incremento ∆x e y sofre um incremento ∆y é dado pela diferença: ∆f(x0, y0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0) Exemplos: a) Calcule o incremento de f para qualquer (x, y) D(f), onde f(x, y) = 3xy2 – 5x. ∆f(x, y) = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y) = x final y final = [3(x + ∆x)(y + ∆y)2 – 5(x + ∆x)] – (3xy2 – 5x) = [3x + 3(∆x)][y2 + 2y(∆y) + (∆y)2] – 5x – 5(∆x) – 3xy2 + 5x = 3xy2 + 6xy(∆y) + 3x(∆y)2 + 3(∆x)y2 + 6(∆x)(∆y)y + 3(∆x)(∆y)2 – 5x – 5(∆x) – 3xy2 + 5x = 6xy(∆y) + 3x(∆y)2 + 3(∆x)y2 + 6(∆x)(∆y)y + 3(∆x)(∆y)2 – 5(∆x). b) Calcule o incremento de f(x, y) = 2xy quando x sofre um incremento de – 1 a 3 e y sofre um incremento de 7 a 10. Por definição, temos: x0 = – 1; x0 + ∆x = 3; y0 = 7; y0 + ∆y = 10. Portanto, (-1, 1) a (2, 3) ; ∆x = 2 - (-1) = 3 e ∆y = 3 – 1 = 2 ∆f(– 1,7) = f(3, 10) – f(– 1, 7) = 2(3)(10) – 2(– 1) (7) = 60 + 14 = 74. Significa que f tem um aumento de 74 unidades quando (x, y) varia de ( – 1, 7) a (3, 10). Definição 3:Definição 3: (Função Diferenciável) Dizemos que f(x, y) é diferenciável em (x0, y0) D(f), se as derivadas parciais de f existem em (x0, y0) e, além disso, tais que e Exemplos: a) Verifique se a função f(x, y) = 3xy2 – 5x é diferenciável. O incremento de f é dado por: ∆f(x, y) = 6xy(∆y) + 3x(∆y)2 + 3(∆x)y2 + 6(∆x) (∆y)y + 3(∆x)(∆y)2 – 5(∆x). Calculando as derivadas parciais, temos: O que nos dá: Assim, podemos considerar: g(∆x, ∆y)∆x = [6y∆y + 3(∆y)2]∆x e h(∆x, ∆y)∆y = [3x(∆y)]∆y Como g, h → 0, quando (∆x, ∆y) →(0, 0), podemos concluir que f é diferenciável para qualquer (x, y) de seu domínio, logo, f é diferenciável. b) A função f(x, y) = ln(xy + 4) possui incremento em (x, y) dado por: ∆f(x, y) = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y) = ln[(x + ∆x) (y + ∆y) + 4] – ln (xy + 4). Calculando as derivadas parciais, temos: o que nos dá: Comparando com o incremento de f, observe que não conseguimos provar que f é diferenciável, usando a definição de função diferencial. Os próximos resultados nos auxiliarão nessa tarefa. ● Se f é diferenciável em (x0, y0), então f é contínua em (x0, y0)(equivalentemente, se f é não contínua, então f é não diferenciável); ● Se f admite derivadas parciais contínuas em (x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0). Exemplos: a) A função f(x, y) = ln(xy + 4) é diferenciável, pois suas derivadas parciais são contínuas. Ambas são contínuas em (x, y) D(f) b) Verifique se a função f é diferenciável em (0, 0). Vamos verificar se f é contínua em (0, 0). Pelo cálculo do limite ao longo dos caminhos C1: x = 0 e C2: x = y2, temos: Como os limites são diferentes, temos: Dessa forma, f é descontínua em (0,0) e, portanto, f é não diferenciável em (0, 0). ● Observe que em todos os outros pontos no domínio de f as derivadas parciais existem e são contínuas, logo, f é diferenciável para todo (x, y) ≠ (0, 0). ∆f < 0, f diminuiu ∆f = 0, f constante ∆f > 0, f aumentou Diferencial TotalDiferencial Total Definição 4:Definição 4: Seja f(x, y) = z uma função diferenciável, a diferencial total de f, denotadapor dz ou df, é definida pela fórmula: ● Se considerarmos dx = ∆x, dy = ∆y muito pequenos, então a diferencial total é aproximadamente o incremento de f: Exemplos: a) Calcule a diferencial total da função f(x, y) = x2 + y2 – xy no ponto f(1, 1). Substituindo (x, y) por (1, 1) na fórmula da diferencial, temos: b) Seja f(x, y) = ex + ln y. Usando a diferencial, calcule o valor aproximado de f quando (x, y) passa de (0, 1) para (- 0,002, 1, 001) e o erro que se comete ao fazer tal aproximação. Considerando ∆z dz, temos Onde o ponto inicial (0, 1) nos dá os valores x = 0 e y = 1 e o ponto final nos dá os valores – 0,002 = 0 + dx dx = - 0, 002 e 1, 001 = 1 + dy dy = 0, 001. Substituindo os valores encontrados na diferencial total, temos: Assim, ∆z - 0, 001 e, portanto – 0, 001 = ∆z = ∆f = f(– 0,002, 1,001) – f(0, 1) f(– 0,002, 1, 001) = – 0, 001 + f(0, 1) = – 0,001 + (e0 + ln 1) = – 0,001 + 1 = 0, 999 erro = v.r – v.a = 0,999001499 – 0,999 = 0,000001499. c) Calcule o valor aproximado da expressão (1,001)3,02, usando diferenciais. Vamos considerar f(x, y) = xy, com x = 1, x + dx = 1,001, y = 3 e y + dy = 3,02. Então ∆f(x, y) df(x, y, dx, dy) = yxy – 1 dx + xylnxdy Substituindo pelos valores dados, temos: ∆f(1, 3) df(1, 3, 0,001, 0,02) = 3.13 – 1 (0,001) + 13ln1(0,02) = 0,003. (1,001)3,02 = f(1,001, 3,02) = f(1, 3) + ∆f(1, 3) f(1, 3) + df(1, 3, 0,001, 0,02) = 13 + 0,003 = 1,003 (1,001)3,02 1,003 Lembrando que ∆f(1, 3) = f(1,001, 3,02) – f(1, 3) Derivadas Parciais de Ordem Derivadas Parciais de Ordem SuperiorSuperior Seja f(x, y) uma função de duas variáveis. As derivadas parciais e são as derivadas parciais de 1ª ordem de f. Se derivarmos as derivadas parciais de f em relação a x e em relação a y, obteremos as derivadas parciais de de 2ª ordem de f: ● Se derivarmos cada uma das derivadas parciais de 2ª ordem de f, obteremos as derivadas parciais de 3ª ordem de f: DERIVADAS PARCIAIS DE 2ª ORDEM DE f DERIVADAS PARCIAIS DE 3ª ORDEM DE f. . . . . . . ● Continuando este processo, obteremos as derivadas parciais de 4ª, 5ª, 6ª, …, enésima ordem de f. Essas derivadas parciais são chamadas de derivadas parciais de ordem superior da função f. Exemplos: a) Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem da função f(x, y) = – 3xy3 + 15x5y2. As derivadas parciais de f em relação a x e y são, respectivamente: As derivadas parciais de 2ª ordem são obtidas, derivando as derivadas parciais de 1ª ordem em relação a x e em relação a y: Note que as derivadas parciais mistas são iguais, isso será verdade sempre que estas forem funções contínuas. Portanto, para as funções polinomiais, cujas derivadas parciais de ordem qualquer são sempre contínuas, as derivadas mistas serão iguais. No geral isso acontecerá com todas as funções que possuem derivadas parciais contínuas de qualquer ordem. b) Calcule as derivadas parciais de 4ª ordem da função f(x, y) = – 20x5y6 – 12x. Derivando f em relação a x e y, temos: Derivando as derivadas acima obtidas em relação a x e a y, obteremos as derivadas parciais de 2ª ordem (f é polinomial, logo as derivadas mistas serão iguais): Derivando em relação a x e a y as derivadas parciais de 2ª ordem obtidas anteriormente, temos as derivadas de 3ª ordem: Derivando em relação a x e a y as derivadas parciais de 3ª ordem obtidas anteriormente, temos as derivadas de 4ª ordem: GradienteGradiente Definição 5:Definição 5: Seja f(x, y) uma função de duas variáveis e (x0, y0) D(f). O vetor gradiente de f no ponto (x0, y0) é o vetor cujas coordenadas são as derivadas parciais de f no ponto (x0, y0) em relação a x e em relação a y, denotaremos por f(x0, y0): Derivada DirecionalDerivada Direcional Definição 5:Definição 5: Seja f(x, y) uma função de duas variáveis e (x0, y0) D(f). A derivada direcional da função f no ponto (x0, y0) na direção do vetor unitário u = (a, b) é dada por: Se f admite derivada direcional na direção do vetor unitário u = (a, b) para todo (x, y) de seu domínio, então existe a função derivada direcional de f na direção de u, dada por: ● Cálculo da derivada direcional através do Cálculo da derivada direcional através do gradiente:gradiente: Se f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), então f admite derivada direcional no ponto (x0, y0) na direção de u, e Exemplos: a) Calcule a derivada direcional da função f(x, y) = xey no ponto (2, - 1) na direção do versor do vetor v = (2, 3). Como f é diferenciável em (2, - 1), temos: onde: e Portanto, b) Calcule onde f(x, y) = 3x2 – y2 + 4x e Como f é diferenciável, temos: c) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = x4y-2 no ponto (2, 1) na direção do vetor Onde é unitário e suas coordenadas são dadas por: A derivada direcional de f na direção de u será: ● Portanto, Observação:Observação: Se u = (x, y), então x = rcos e y = rsen, onde r é o módulo de u e é o ângulo entre o vetor u e o eixo x. Se u é unitário, então r = 1, logo x = cos e y = sen, podemos escrever u = cosi + senj. x = rcos y = rsen r u = (x, y) u = rcosi + rsenj d) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = (x + y2)e-y no ponto (- 1, -1) na direção do vetor unitário que faz um ângulo de 60° com o eixo x. Conforme a observação acima, temos: A derivada direcional de f na direção de u será: No ponto (-1, -1), temos: Interpretação da Derivada Interpretação da Derivada Direcional como Taxa de VariaçãoDirecional como Taxa de Variação Seja f(x, y) uma função de duas variáveis com (x0, y0) D(f) e u = (a, b) um vetor unitário. A reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem a direção de u é dada pela equação vetorial (x, y) = (x0 + at, y0 + bt). Dessa forma, a taxa de variação média de f quando (x, y) varia na direção do vetor u entre os pontos (x0, y0) e (x0 + at, y0 + bt) é definida por: Se fizermos t → 0 na fórmula acima, temos a taxa de variação instantânea de f em (x0, y0) na direção do vetor unitário u = (a, b), definida por: ● A taxa de variação instantânea mede quantas unidades f aumenta ou diminui, quando as variáveis x e y sofrem uma variação de uma unidade (∆x = ∆y = 1) a partir de (x0, y0) na direção do vetor unitário u = (a, b) . x0 y0 . x0 + at y0 + bt u ● As derivadas parciais e são casos particulares de derivadas direcionais na direção dos vetores (1, 0) e (0, 1), respectivamente. Dessa forma, mede a taxa de variação de f quando x varia e y permanece constante e mede a taxa de variação de f quando y varia e x permanece constante. Exemplos: a) Se um gás tem densidade 0 gramas por cm3, a 0°C e 760 mm de mercúrio, então sua densidade a T°C e P mm é dada por: (T, P) = 0(1 + T/273)760/P g/cm3 Calcule a taxa de variação da densidade em relação à temperatura e a taxa de variação da densidade em relação à pressão. Solução: A taxa de variação da densidade em relação à temperatura é a derivada parcial /T, dada por: A taxa de variação da densidade em relação à pressão é a derivada parcial da densidade em relação à pressão /P, dada por: b) Encontre a taxa de variação da pressão em relação à temperatura quando o volume de um gás for de 150 l e temperatura 400 K, onde P(V, T) = 8,31T/V Solução: A taxa de variação de P em relação à temperatura é a derivada parcial P/T, dada por: c) Se o volume de um gás confinado é de 150 l e a temperatura é 400 K, em quanto variará a pressão se o volume aumentar 1 l? Considere P(V, T) = 8T/V Solução: Devemos calcular a taxa de variação instantânea da pressão P no ponto (150, 400) quando T permanece constante e o volume varia 1 l, ou seja, a derivada parcial de P emrelação a V no ponto (150, 400): ● Taxa de Variação Máxima. Taxa de Variação Máxima. Sejam f(x, y) uma função de duas variáveis e (x0, y0) um ponto no domínio de f. Vamos considerar o ângulo entre o vetor unitário u = (a, b) e o vetor gradiente f(x0, y0), onde 0 ≤ ≤ p, então: Como cos [ – 1, 1] e u f(x0, y0) ● A derivada direcional de f em (x0, y0) tem valor máximo quando cos = 1, isto é, quando u estiver na mesma direção e mesmo sentido de f(x0, y0) e o valor máximo da derivada direcional será dado por: Portanto, a taxa de variação máxima de f no ponto (x0, y0) é igual ao módulo do vetor gradiente no ponto (x0, y0) e o gradiente está na direção e sentido em que f tem a taxa de variação máxima. Derivada direcional máxima ou taxa de variação máxima de f em (x0, y0) Direção da derivada direcional máxima ou direção da taxa de variação máxima de f em (x0, y0) Exemplos: a) Dê a taxa de variação máxima da função f(x, y) = 3xy/(4x2 + y) em (–1, 1). A taxa de variação máxima de f é o módulo do gradiente de f no ponto (–1, 1): b) A altitude de uma montanha em (x, y) é dada pela função f(x, y) = 2500 + 100(x + y2)e-0,3y^2. Dê a taxa de variação em (–1,–1) na direção do vetor unitário u que faz um ângulo de 45° com o gradiente f(–1,–1). Usaremos a fórmula . Substituindo pelos valores correspondentes, temos: onde: Portanto, Slide 1 Slide 2 Slide 3 Slide 4 Slide 5 Slide 6 Slide 7 Slide 8 Slide 9 Slide 10 Slide 11 Slide 12 Slide 13 Slide 14 Slide 15 Slide 16 Slide 17 Slide 18 Slide 19 Slide 20 Slide 21 Slide 22 Slide 23 Slide 24 Slide 25 Slide 26 Slide 27 Slide 28 Slide 29 Slide 30 Slide 31 Slide 32 Slide 33 Slide 34 Slide 35 Slide 36 Slide 37 Slide 38 Slide 39 Slide 40 Slide 41 Slide 42 Slide 43 Slide 44 Slide 45 Slide 46 Slide 47 Slide 48 Slide 49 Slide 50 Slide 51 Slide 52 Slide 53 Slide 54 Slide 55 Slide 56
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