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Aulas Derivadas Parciais (3)

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Universidade Federal do MaranhãoUniversidade Federal do Maranhão
Cálculo Diferencial e Integral IIICálculo Diferencial e Integral III
Derivadas ParciaisDerivadas Parciais
Professora: Greiciane Pinto LimaProfessora: Greiciane Pinto Lima
 
Derivadas Parciais de Funções de Derivadas Parciais de Funções de 
Duas VariáveisDuas Variáveis
Definição 1:Definição 1: Sejam f(x, y) uma função de duas 
variáveis e (x0, y0)  D(f). A derivada parcial de 
f em relação a x no ponto (x0, y0), denotada por 
 , é dada por 
A derivada parcial de f em relação a x é a derivada da função g(x) = f(x, y0) no ponto x = x0, 
obtida a partir da fórmula de f mantendo y = y0 constante e x variável. 
∆x = x – x0
g(x) g(x0)
Lim g(x) – g(x0) /x – x0 = g’(x0)
 
Sejam f(x, y) uma função de duas variáveis e 
(x0, y0)  D(f). A derivada parcial de f em 
relação a y no ponto (x0, y0), denotada 
por é dada por
A derivada parcial de f em relação a y é a derivada da função h(y) = f(x0, y) quando y= y0, 
obtida a partir da fórmula de f mantendo x = x0 constante e y variável. 
Lim h(y) – h(y0) /y – y0 = h’(y0)
h(y) h(y0)
∆y = y – y0
 
Quando as derivadas parciais de f em relação 
a x e y existem em todos os pontos (x, y) do 
domínio de f, temos as funções derivadas 
parciais, dadas por: 
O limite acima é a derivada da função de uma variável g(x) = f(x, y) em relação a x quando 
mantemos y constante. Assim, podemos calcular a derivada parcial de f em relação a x, 
derivando a fórmula de f em relação a x, mantendo y constante.
O limite acima é a derivada da função de uma variável h(y) = f(x, y) em relação a y quando 
mantemos x constante. Assim, podemos calcular a derivada parcial de f em relação a y, 
derivando a fórmula de f em relação a y, mantendo x constante.
 
Exemplos:
● Nos exemplos a seguir, calcule as derivadas 
parciais em relação a x e em relação a y das 
funções nos pontos pedidos.
a) f(x, y) = 2xy + 4x2 em (1, 2)
Primeiro, vamos calcular as funções derivadas 
parciais em relação a x e y e, em seguida, 
aplicaremos aos resultados o ponto (1, 2):
Cálculo da derivada parcial de f em relação a 
x: derivamos f em relação a x, considerando y 
constante.
 
● Cálculo da derivada parcial de f em relação a y: 
derivamos f em relação a y, considerando x 
constante.
● Para calcular as derivadas parciais de f no 
ponto (1, 2), basta calcular os valores das 
derivadas parciais obtidas em (1, 2): 
A derivada da função 4x2 sozinha, em relação a y 
é igual a zero, pois x é constante.
 
b) f(x, y) = x2 + y2 em (- 1, 0).
Prosseguimos como no exemplo anterior:
Calculando as derivadas parciais obtidas no 
ponto (- 1, 0), temos:
Na derivada em relação a x, y2 é constante, logo 
sua derivada será 0. 
Na derivada em relação a y, x2 é constante, logo 
sua derivada será 0. 
 
c) f(x, y) = 16 – x2 – y2 em (2, 3).
Calculando as derivadas parciais obtidas no 
ponto (2, 3), temos:
Derivadas parciais de f em 
relação a x e em relação a y
 
• Nos exemplos a seguir, calcule as derivadas 
parciais das funções pedidas.
d) f(x, y) = 2x3 – 2xy2 – 3y
e) f(x, y) = exy
Dx[xy]. Du[eu] = yexy
u = xy
Dy[xy]. Du[eu] = xexy
u = xy
USAREMOS A REGRA DA CADEIA
 
f) f(x, y) = sen(4x2 + 3x3) + y + 1
g) 
Dx[4x2 + 3x3] Du[senu], u = 4x
2 + 3x3
Em relação a y, a função sen(4x2 + 3x3) é constante, logo, 
sua derivada será 0.
[x1/2]’ = 1/2x1/2
 
● Nos exemplos a seguir, calcule as derivadas 
parciais das funções definidas por várias 
sentenças, nos pontos pedidos.
h) Em (0, 0)
A derivada de f em relação a x no ponto (0, 0) é 
a derivada da função g(x) = f(x, 0) = 0, se x ≠ 0 
e g(x) = f(0, 0) = 0, se x = 0, logo g(x) = 0, para 
todo x real: 
 
A derivada de f em relação a y no ponto (0, 0) 
é a derivada da função h(y) = f(0, y) = 0, se y ≠ 
0 e h(0) = f(0, 0) = 0, logo h(y) = 0 para todo y 
real:
Para os demais pontos (x, y) ≠ (0, 0) as 
derivadas parciais podem ser calculadas, 
usando a fórmula f(x, y) = xy3/(x2 + y2): 
 
i) em (0, 0)
A derivada de f em relação a x no ponto (0, 0) é 
a derivada da função g(x) = f(x, 0) = x, x ≠ 0 e 
g(0) = f(0, 0) = 0, logo g(x) = x para todo x real:
A derivada de f em relação a y no ponto (0, 0) é 
a derivada da função h(y) = f(0, y) = - 1, se y ≠ 0 
e h(0) = f(0, 0) = 0. Porém, h não é contínua em 
y = 0, logo h’(0) não existe, portanto:
f(x) não contínua em x0, então f não 
possui derivada em x0
 
Diferenciabilidade de Funções de Diferenciabilidade de Funções de 
Duas VariáveisDuas Variáveis
● Definição 2:Definição 2: (Incremento) Seja f(x, y) uma função 
de duas variáveis e (x0, y0)  D(f). O incremento 
de f em (x0, y0) quando x tem um incremento ∆x e 
y sofre um incremento ∆y é dado pela diferença:
∆f(x0, y0) = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) – f(x0, y0)
Exemplos:
a) Calcule o incremento de f para qualquer (x, y)  
D(f), onde f(x, y) = 3xy2 – 5x.
∆f(x, y) = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y) = 
x final y final
 
= [3(x + ∆x)(y + ∆y)2 – 5(x + ∆x)] – (3xy2 – 5x) = 
[3x + 3(∆x)][y2 + 2y(∆y) + (∆y)2] – 5x – 5(∆x) – 
3xy2 + 5x = 3xy2 + 6xy(∆y) + 3x(∆y)2 + 3(∆x)y2 + 
6(∆x)(∆y)y + 3(∆x)(∆y)2 – 5x – 5(∆x) – 3xy2 + 5x 
= 6xy(∆y) + 3x(∆y)2 + 3(∆x)y2 + 6(∆x)(∆y)y + 
3(∆x)(∆y)2 – 5(∆x). 
b) Calcule o incremento de f(x, y) = 2xy quando x 
sofre um incremento de – 1 a 3 e y sofre um 
incremento de 7 a 10.
Por definição, temos: x0 = – 1; x0 + ∆x = 3; y0 = 
7; y0 + ∆y = 10. Portanto, 
(-1, 1) a (2, 3) ; ∆x = 2 - (-1) = 3 e ∆y = 3 – 1 = 2
 
∆f(– 1,7) = f(3, 10) – f(– 1, 7) = 2(3)(10) – 2(– 1)
(7) = 60 + 14 = 74.
Significa que f tem um aumento de 74 unidades 
quando (x, y) varia de ( – 1, 7) a (3, 10).
Definição 3:Definição 3: (Função Diferenciável) Dizemos 
que f(x, y) é diferenciável em (x0, y0)  D(f), se 
as derivadas parciais de f existem em (x0, y0) e, 
além disso,
 
tais que e 
 
Exemplos:
a) Verifique se a função f(x, y) = 3xy2 – 5x é 
diferenciável.
O incremento de f é dado por:
∆f(x, y) = 6xy(∆y) + 3x(∆y)2 + 3(∆x)y2 + 6(∆x)
(∆y)y + 3(∆x)(∆y)2 – 5(∆x).
Calculando as derivadas parciais, temos: 
O que nos dá: 
 
Assim, podemos considerar:
g(∆x, ∆y)∆x = [6y∆y + 3(∆y)2]∆x e h(∆x, ∆y)∆y = 
[3x(∆y)]∆y
Como g, h → 0, quando (∆x, ∆y) →(0, 0), 
podemos concluir que f é diferenciável para 
qualquer (x, y) de seu domínio, logo, f é 
diferenciável. 
b) A função f(x, y) = ln(xy + 4) possui incremento 
em (x, y) dado por:
∆f(x, y) = f(x + ∆x, y + ∆y) – f(x, y) = ln[(x + ∆x)
(y + ∆y) + 4] – ln (xy + 4).
 
 
Calculando as derivadas parciais, temos: 
o que nos dá:
Comparando com o incremento de f, observe 
que não conseguimos provar que f é 
diferenciável, usando a definição de função 
diferencial. Os próximos resultados nos 
auxiliarão nessa tarefa.
 
● Se f é diferenciável em (x0, y0), então f é 
contínua em (x0, y0)(equivalentemente, se f é 
não contínua, então f é não diferenciável);
● Se f admite derivadas parciais contínuas em 
(x0, y0), então f é diferenciável em (x0, y0).
Exemplos:
a) A função f(x, y) = ln(xy + 4) é diferenciável, 
pois suas derivadas parciais são contínuas. 
Ambas são contínuas em (x, y)  D(f)
 
b) Verifique se a função f é diferenciável em 
(0, 0).
Vamos verificar se f é contínua em (0, 0). Pelo 
cálculo do limite ao longo dos caminhos C1: x = 
0 e C2: x = y2, temos:
 
Como os limites são diferentes, temos:
Dessa forma, f é descontínua em (0,0) e, 
portanto, f é não diferenciável em (0, 0).
● Observe que em todos os outros pontos no 
domínio de f as derivadas parciais existem e 
são contínuas, logo, f é diferenciável para todo 
(x, y) ≠ (0, 0).
∆f < 0, f diminuiu
∆f = 0, f constante
∆f > 0, f aumentou
 
Diferencial TotalDiferencial Total
Definição 4:Definição 4: Seja f(x, y) = z uma função 
diferenciável, a diferencial total de f, denotadapor dz ou df, é definida pela fórmula:
● Se considerarmos dx = ∆x, dy = ∆y muito 
pequenos, então a diferencial total é 
aproximadamente o incremento de f: 
 
Exemplos:
a) Calcule a diferencial total da função f(x, y) = x2 
+ y2 – xy no ponto f(1, 1).
Substituindo (x, y) por (1, 1) na fórmula da 
diferencial, temos:
b) Seja f(x, y) = ex + ln y. Usando a diferencial, 
calcule o valor aproximado de f quando (x, y) 
passa de (0, 1) para (- 0,002, 1, 001) e o erro 
que se comete ao fazer tal aproximação. 
 
Considerando ∆z  dz, temos
Onde o ponto inicial (0, 1) nos dá os valores x 
= 0 e y = 1 e o ponto final nos dá os valores – 
0,002 = 0 + dx  dx = - 0, 002 e 1, 001 = 1 + 
dy  dy = 0, 001. Substituindo os valores 
encontrados na diferencial total, temos:
Assim, ∆z  - 0, 001 e, portanto 
 
– 0, 001 = ∆z = ∆f = f(– 0,002, 1,001) – f(0, 1)  
f(– 0,002, 1, 001) = – 0, 001 + f(0, 1) = – 0,001 + 
(e0 + ln 1) = – 0,001 + 1 = 0, 999
erro = v.r – v.a = 0,999001499 – 0,999 = 
0,000001499.
c) Calcule o valor aproximado da expressão 
(1,001)3,02, usando diferenciais.
Vamos considerar f(x, y) = xy, com x = 1, x + dx 
= 1,001, y = 3 e y + dy = 3,02. Então
∆f(x, y)  df(x, y, dx, dy) = yxy – 1 dx + xylnxdy 
 
Substituindo pelos valores dados, temos:
∆f(1, 3)  df(1, 3, 0,001, 0,02) = 3.13 – 1 (0,001) + 
13ln1(0,02) = 0,003.
(1,001)3,02 = f(1,001, 3,02) = f(1, 3) + ∆f(1, 3)  
f(1, 3) + df(1, 3, 0,001, 0,02) = 13 + 0,003 = 
1,003  (1,001)3,02  1,003
Lembrando que ∆f(1, 3) = f(1,001, 3,02) – f(1, 
3)
 
Derivadas Parciais de Ordem Derivadas Parciais de Ordem 
SuperiorSuperior
Seja f(x, y) uma função de duas variáveis. As
derivadas parciais e são as
derivadas parciais de 1ª ordem de f.
Se derivarmos as derivadas parciais de f em 
relação a x e em relação a y, obteremos as 
derivadas parciais de de 2ª ordem de f:
 
● Se derivarmos cada uma das derivadas 
parciais de 2ª ordem de f, obteremos as 
derivadas parciais de 3ª ordem de f:
DERIVADAS PARCIAIS DE 2ª ORDEM DE f
 
DERIVADAS PARCIAIS DE 3ª ORDEM DE f.
.
.
.
.
.
.
 
● Continuando este processo, obteremos as 
derivadas parciais de 4ª, 5ª, 6ª, …, enésima 
ordem de f. Essas derivadas parciais são 
chamadas de derivadas parciais de ordem 
superior da função f.
Exemplos:
a) Calcule as derivadas parciais de 2ª ordem da 
função f(x, y) = – 3xy3 + 15x5y2.
As derivadas parciais de f em relação a x e y 
são, respectivamente: 
 
As derivadas parciais de 2ª ordem são obtidas, 
derivando as derivadas parciais de 1ª ordem 
em relação a x e em relação a y: 
Note que as derivadas parciais 
mistas são iguais, isso será 
verdade sempre que estas 
forem funções contínuas. 
Portanto, para as funções 
polinomiais, cujas derivadas 
parciais de ordem qualquer 
são sempre contínuas, as 
derivadas mistas serão iguais. 
No geral isso acontecerá com 
todas as funções que 
possuem derivadas parciais 
contínuas de qualquer ordem. 
 
b) Calcule as derivadas parciais de 4ª ordem da 
função f(x, y) = – 20x5y6 – 12x.
Derivando f em relação a x e y, temos:
Derivando as derivadas acima obtidas em 
relação a x e a y, obteremos as derivadas 
parciais de 2ª ordem (f é polinomial, logo as 
derivadas mistas serão iguais): 
 
Derivando em relação a x e a y as derivadas 
parciais de 2ª ordem obtidas anteriormente, 
temos as derivadas de 3ª ordem: 
 
Derivando em relação a x e a y as derivadas 
parciais de 3ª ordem obtidas anteriormente, 
temos as derivadas de 4ª ordem: 
 
GradienteGradiente
Definição 5:Definição 5: Seja f(x, y) uma função de duas 
variáveis e (x0, y0)  D(f). O vetor gradiente de f 
no ponto (x0, y0) é o vetor cujas coordenadas 
são as derivadas parciais de f no ponto (x0, y0) 
em relação a x e em relação a y, denotaremos 
por f(x0, y0):
 
Derivada DirecionalDerivada Direcional
Definição 5:Definição 5: Seja f(x, y) uma função de duas 
variáveis e (x0, y0)  D(f). A derivada direcional 
da função f no ponto (x0, y0) na direção do vetor 
unitário u = (a, b) é dada por:
Se f admite derivada direcional na direção do 
vetor unitário u = (a, b) para todo (x, y) de seu 
domínio, então existe a função derivada 
direcional de f na direção de u, dada por:
 
● Cálculo da derivada direcional através do Cálculo da derivada direcional através do 
gradiente:gradiente: Se f(x, y) é diferenciável em (x0, y0), 
então f admite derivada direcional no ponto 
(x0, y0) na direção de u, e
Exemplos:
a) Calcule a derivada direcional da função 
f(x, y) = xey no ponto (2, - 1) na direção do 
versor do vetor v = (2, 3).
 
Como f é diferenciável em (2, - 1), temos:
onde:
e
Portanto,
 
b) Calcule onde f(x, y) = 3x2 – y2 + 4x e
Como f é diferenciável, temos:
c) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = 
x4y-2 no ponto (2, 1) na direção do vetor 
 
Onde é unitário e suas
coordenadas são dadas por:
A derivada direcional de f na direção de u será:
● Portanto,
 
Observação:Observação: Se u = (x, y), então x = rcos e 
y = rsen, onde r é o módulo de u e  é o 
ângulo entre o vetor u e o eixo x.
Se u é unitário, então r = 1, logo x = cos e y = 
sen, podemos escrever u = cosi + senj.
x = rcos 
y = rsen 
r
u = (x, y) u = rcosi + rsenj
 
d) Calcule a derivada direcional de f(x, y) = 
(x + y2)e-y no ponto (- 1, -1) na direção do vetor 
unitário que faz um ângulo de 60° com o eixo x.
Conforme a observação acima, temos:
A derivada direcional de f na direção de u será: 
 
 
No ponto (-1, -1), temos:
 
Interpretação da Derivada Interpretação da Derivada 
Direcional como Taxa de VariaçãoDirecional como Taxa de Variação
Seja f(x, y) uma função de duas variáveis com 
(x0, y0)  D(f) e u = (a, b) um vetor unitário. A 
reta que passa pelo ponto (x0, y0) e tem a 
direção de u é dada pela equação vetorial (x, y) 
= (x0 + at, y0 + bt). Dessa forma, a taxa de 
variação média de f quando (x, y) varia na 
direção do vetor u entre os pontos (x0, y0) e (x0 
+ at, y0 + bt) é definida por:
 
Se fizermos t → 0 na fórmula acima, temos a 
taxa de variação instantânea de f em (x0, y0) na 
direção do vetor unitário u = (a, b), definida por:
● A taxa de variação instantânea mede quantas 
unidades f aumenta ou diminui, quando as 
variáveis x e y sofrem uma variação de uma 
unidade (∆x = ∆y = 1) a partir de (x0, y0) na 
direção do vetor unitário u = (a, b)
.
x0
y0
.
x0 + at
y0 + bt u
 
● As derivadas parciais e são casos
particulares de derivadas direcionais na direção 
dos vetores (1, 0) e (0, 1), respectivamente.
Dessa forma, mede a taxa de variação de 
f quando x varia e y permanece constante e
mede a taxa de variação de f quando y varia e 
x permanece constante.
 
Exemplos:
a) Se um gás tem densidade 0 gramas por cm3, a 
0°C e 760 mm de mercúrio, então sua densidade 
a T°C e P mm é dada por:
(T, P) = 0(1 + T/273)760/P g/cm3 
Calcule a taxa de variação da densidade em 
relação à temperatura e a taxa de variação da 
densidade em relação à pressão.
Solução:
A taxa de variação da densidade em relação à 
temperatura é a derivada parcial /T, dada por:
 
A taxa de variação da densidade em relação à 
pressão é a derivada parcial da densidade em 
relação à pressão /P, dada por:
 
b) Encontre a taxa de variação da pressão em 
relação à temperatura quando o volume de um 
gás for de 150 l e temperatura 400 K, onde 
P(V, T) = 8,31T/V
Solução:
A taxa de variação de P em relação à 
temperatura é a derivada parcial P/T, dada 
por:
 
 
c) Se o volume de um gás confinado é de 150 l e 
a temperatura é 400 K, em quanto variará a 
pressão se o volume aumentar 1 l? Considere 
P(V, T) = 8T/V
Solução:
Devemos calcular a taxa de variação 
instantânea da pressão P no ponto (150, 400) 
quando T permanece constante e o volume 
varia 1 l, ou seja, a derivada parcial de P emrelação a V no ponto (150, 400):
 
● Taxa de Variação Máxima. Taxa de Variação Máxima. Sejam f(x, y) uma 
função de duas variáveis e (x0, y0) um ponto no 
domínio de f. Vamos considerar  o ângulo 
entre o vetor unitário u = (a, b) e o vetor 
gradiente f(x0, y0), onde 0 ≤  ≤ p, então:
Como cos   [ – 1, 1] e 
 
u
f(x0, y0)

 
● A derivada direcional de f em (x0, y0) tem valor 
máximo quando cos  = 1, isto é, quando u 
estiver na mesma direção e mesmo sentido de 
f(x0, y0) e o valor máximo da derivada direcional 
será dado por:
Portanto, a taxa de variação máxima de f no 
ponto (x0, y0) é igual ao módulo do vetor gradiente 
no ponto (x0, y0) e o gradiente está na direção e 
sentido em que f tem a taxa de variação máxima. 
Derivada direcional máxima ou taxa 
de variação máxima de f em (x0, y0) 
Direção da derivada direcional 
máxima ou direção da taxa de 
variação máxima de f em (x0, y0) 
 
Exemplos:
a) Dê a taxa de variação máxima da função 
f(x, y) = 3xy/(4x2 + y) em (–1, 1).
A taxa de variação máxima de f é o módulo do 
gradiente de f no ponto (–1, 1): 
 
b) A altitude de uma montanha em (x, y) é dada 
pela função f(x, y) = 2500 + 100(x + y2)e-0,3y^2. 
Dê a taxa de variação em (–1,–1) na direção do 
vetor unitário u que faz um ângulo de 45° com 
o gradiente f(–1,–1).
Usaremos a fórmula .
Substituindo pelos valores correspondentes, 
temos:
onde: 
 
Portanto,
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