2012-2-L1-CIII
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Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Matema´tica

Lista 1 de Exerc´ıcios Extras – Ca´lculo III

Professor: Hugo D. Ferna´ndez Sare. Turmas: IQA/CMA/IG1 + EQA. 2012-2.

Superf´ıcies

1. Identifique as seguintes superf´ıcies qua´dricas (como superf´ıcies de IR3).

(a) x2 + y2 + z2 − 4x− y + 2z + 10 = 0.

(b) x2 − 49 = 0.

(c) x2 + y2 + z2 + 32 = 0.

(d) z2 + x− y + 3 = 0.

(e) x2 + 2y − 3z + 4 = 0.

2. Veja quais das seguintes afirmac¸o˜es sa˜o verdadeiras ou falsas. Justifique.

(a) x2 + y2 + 4z2 − 2x− 8z + 5 = 0 e´ uma superf´ıcie sime´trica com relac¸a˜o ao plano-xz.

(b) A equac¸a˜o x2 − y2 = 2 representa uma hipe´rbole em IR3.

(c) Toda superf´ıcie cil´ındrica e´ uma qua´drica.

(d) 4y2+z2 = pix e´ uma superf´ıcie sime´trica com relac¸a˜o aos planos-xz e xy, em relac¸a˜o ao eixo-x
e passa pela origem.

3. Uma superf´ıcie se move de tal forma que sua distaˆncia ao eixo-x e´ igual a sua distaˆncia ao plano
z = 3. Calcule a equac¸a˜o da trajeto´ria dessa part´ıcula. Que superf´ıcie representa dita trajeto´ria.

4. Uma esfera tem o centro localizado na reta x = y = z e e´ tangente a` reta
x

2
=

y − 1

3
= z + 1 no

ponto (0, 1, 2). Calcule a equac¸a˜o da esfera.

5. Determine a superf´ıcie que resulta da intersec¸a˜o de

(a)
x− 6

3
=

y + 2

−6
=

z − 2

4
e

x2

81
+

y2

36
+

z2

9
= 1.

(b) 2x− 2z − y = 10 e 2z =
x2

9
+

y2

4
.

Integrais Duplas

1. Use integrais duplas para calcular a a´rea das regio˜es indicadas.

(a) O lac¸o direito da curva r2 = 2a2 sen (2θ).

(b) O interior de r = 2 + sen (3θ).

(c) A regia˜o interior a` curva r = a(1 + cos(θ)) e exterior a r = a.

(d) Interior da curva r = 1 + cos(θ) e a` direita de x = 3/4.

2. Seja R limitada pelas curvas y = x, y = 0 e x = 1. Calcule

∫ ∫
R

1

(1 + x2 + y2)3/2
dxdy.

3. Calcule a integral

∫ ∫
R

(x2 + y2)2dxdy onde R e´ a regia˜o resultado da intersec¸a˜o das regio˜es

x2 + y2 − 4x− 6y + 12 ≤ 0 e y + x ≤ 5.

4. Calcule a a´rea da regia˜o resultado da intersec¸a˜o das regio˜es xy − 3x− 2y + 5 ≤ 0, 2y − x− 4 ≤ 0
e y − 4x+ 2 ≥ 0.

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Integrais Triplas

1. Use coordenadas cil´ındricas para resolver as seguintes questo˜es.

(a) Calcule o volume da regia˜o limitada acima pela superf´ıcie z = x+ y, abaixo pelo plano-xy e
nos lados pelas superf´ıcies x2 + y2 = a2, x = a e y = a.

(b) Calcule o volume da regia˜o limitada acima por z = x2+y2, abaixo pelo plano-xy e lateralmente

por x2 + y2 = 1 +
z2

4
.

(c) Calcule o volume da regia˜o no interior da superf´ıcie r = a sen (θ) (dada em coordenadas
cil´ındricas), limitada acima por x2+ y2+ z2 = a2 e abaixo pela metada superior da superf´ıcie
x2

a2
+

y2

a2
+

z2

b2
= 1, (b < a).

(d) Calcule o volume da regia˜o limitada acima pela superf´ıcie x2 + y2 + z2 = a2 e abaixo por
z = r ctg (α) (dada em coordenadas cil´ındricas com α constante). Use este resultado para
calcular o volume de um hemisfe´rio de raio a.

(e) Calcule o volume do segmento esfe´rico de altura h retirado de uma esfera de raio a por um
plano a uma distaˆncia a− h do centro.

2. Use coordenadas esfe´ricas para resolver as seguintes questo˜es.

(a) Calcule o volume da superf´ıcie ρ = 2a sen (ϕ) (dada em coordenadas esfe´ricas).

(b) Uma cunha e´ retirada de uma esfera so´lida de raio a, formada por dois planos que se in-
terceptam sobre um diaˆmetro. Sendo α o aˆngulo entre esses planos, calcume o volume da
cunha.

(c) Use integral tripla (em coordenadas esfe´ricas) para verificar que o volume de um cone de

altura h e raio r e´ V =
1

3
pir2h.

(d) Esboc¸e a regia˜o limitada pela superf´ıcie ρ = a(1 − cos(ϕ)) (dada em coordenadas esfe´ricas),
e calcule seu volume.

(e) Calcule a massa de uma esfera so´lida de raio a centrada na origem supondo-se a densidade
num ponto P igual ao produto das distaˆncias de P a` origem e ao eixo-z.

13 de Novembro de 2012.

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