Matemática Essencial
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Matemática Essencial

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Matemática Essencial:  Alegria  Financeira  Fundamental  Médio  Geometria  Trigonometria  Superior  Cálculos

	Ensino Superior: Glossário de Álgebra Linear

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"O temor do Senhor é o princípio sabedoria; e o conhecimento do Santo é o entendimento."
Provérbios 9:10 A Bíblia Sagrada
autoespaço O autoespaço associado ao autovalor c de uma matriz A é o núcleo da matriz A-cI. O autoespaço é um subespaço vetorial de Rn.
autovalor Um autovalor de uma matriz quadrada A é um escalar c tal que Av=cv é verdadeiro para algum vetor v não nulo.
autovetor Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não nulo V tal que Av=cv é verdadeiro para algum escalar c.
base Um conjunto de vetores {v1,...,vk} contido em um subespaço W é uma base para W, se:
{v1,...,vk} é linearmente independente
{v1,...,vk} gera W.
combinação linear Um vetor v é uma combinação linear dos vetores v1, ..., vk se existem escalares a1, ..., ak tal que
v = a1v1 +...+ akvk
complemento ortogonal O complemento ortogonal de um subespaço S de Rn é o conjunto de todos os vetores vRn que são ortogonais a todos os vetores de S.
conjunto ortogonal Um conjunto de vetores em Rn é ortogonal se o produto escalar de quaisquer dois vetores deste conjunto é zero.
conjunto ortonormal Um conjunto de vetores em Rn é ortonormal se é um conjunto ortogonal de vetores e cada vetor tem comprimento 1.
consistente Um sistema de equações lineares é consistente se tem pelo menos uma solução. Ver: inconsistente.
coordenadas relativas a uma base Se uRn pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores de uma base {v1,...,vn} de Rn
u = a1v1 +...+ anvn
os coeficientes a1,...,an são as coordenadas do vetor u relativo a esta base {v1,...,vn}.
dependência linear Uma relação de dependência linear para um conjunto de vetores {v1,...,vk} é uma equação da forma
a1v1 +...+ akvk = Ö
em que nem todos os escalares a1,..., ak são nulos.
diagonalizável Uma matriz é diagonalizável se ela é semelhante a uma matriz diagonal.
dimensão A dimensão de um subespaço W é o número de vetores em qualquer base de W. Se W é o subespaço nulo, dizemos que a sua dimensão é 0.
espaço coluna O espaço coluna de uma matriz é o subespaço gerado pelas colunas da matriz considerada como um conjunto de vetores.
espaço linha o espaço linha de uma matriz é o subespaço gerado pelas linhas da matriz considerada como um conjunto de vetores.
espaço vetorial Espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V de objetos (denominados vetores), munido de duas operações binárias: adição e multiplicação por escalar, satisfazendo às seguintes propriedades:
Associativa Quaisquer que sejam uV, vV e wV, tem-se que
(u + v) + w = u + (v + w)
Comutativa Quaisquer que sejam uV, vV e wV, tem-se que
u + v = v + u
Elemento neutro Existe um elemento ÖV tal que para todo vV
Ö + v = v
Elemento oposto Para cada vV, existe -vV tal que
v + (-v) = Ö
Produto pelo escalar 1 Para todo vV, tem-se que
1.v = v
Distributiva da adição pelo escalar Para todo escalar cK e para todos vV e wV, vale:
c.(v+w) = c.v + c.w
Distributiva dos escalares pelo vetor Para todos os escalares cK e dK e para todo vV, vale:
(c+d).v = c.v + d.v
Associatividade mista Para todos os escalares cK e dK e para todo vV, vale:
(c.d).v = (d.c).v = c.(dv)
forma escalonada por linhas Uma matriz está na forma escalonada por linhas, se:
Linhas nulas: Todas as linhas que são totalmente nulas são colocadas juntas na parte de baixo da matriz;
Pivot: O primeiro elemento não nulo (contado da esquerda para a direita) em cada linha não nula aparece em uma coluna à direita da primeiro elemento não nulo da linha anterior (se existir algum na linha anterior).
forma reduzida escalonada por linhas Uma matriz está na forma reduzida escalonada por linhas se:
Forma da matriz: escalonada por linhas;
Unitário: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o número 1, isto é, o pivot é , e
Unicidade do pivot: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é o único elemento não nulo nesta coluna.
gera Um conjunto de vetores {v1,...,vk} gera um subespaço S se todo vetor de S pode ser escrito como combinação linear de v1,...,vk.
gerado O subespaço gerado por um conjunto de vetores {v1,...,vk} é o subespaço S de todas as combinações lineares de v1, ..., vk. Afirmamos que este subespaço S é gerado pelo conjunto de vetores {v1,...,vk} e que este conjunto de vetores gera S.
homogêneo Um sistema de equações lineares Ax=b é homogêneo se b=Ö. Se b é diferente de Ö, o sistema é denominado não-homogêneo.
identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros elementos da matriz são iguais a zero. Ver matriz identidade.
imagem de uma transformação linear A imagem da transformação linear T é o conjunto de todos os vetores T(v), onde vdom(T) = domínio de T.
inconsistente Um sistema de equações lineares é inconsistente se ele não possui qualquer solução. Ver: consistente.
inversa Uma matriz B é uma inversa para uma matriz A se
A B = B A = I
inversível Uma matriz é inversível se ela tem uma inversa. Uma palavra sinônima é não-singular.
linearmente dependente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente dependente se a equação
a1v1 +...+ akvk = Ö
tem uma solução, sendo que nem todos os escalares a1,...,ak podem ser nulos, isto é, se {v1,...,vk} satisfaz uma relação de dependência linear.
linearmente independente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é linearmente independente se, a única solução para a equação
a1v1 +...+ akvk = Ö
é a solução onde todos os escalares a1,...,ak são nulos, isto é, se {v1,..., vk} não satisfaz qualquer relação de dependência linear.
matriz elementar É uma matriz que pode ser obtida por operações elementares por linhas sobre a matriz identidade.
matriz identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e todos os outros escalares são nulos.
matriz ortogonal Uma matriz A é ortogonal se A é inversível e sua inversa é igual à sua transposta, isto é:
A-1 = At
matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua transposta, isto é:
A = At
matrizes linha equivalentes Duas matrizes são linha equivalentes se uma pode ser obtida da outra por uma sequência de operações elementares por linhas.
multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica do autovalor c de uma matriz A é o número de vezes que o fator (t-c) ocorre no polinômio característico de A.
multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica de um autovalor c de uma matriz A é a dimensão do autoespaço de c.
não-singular Uma matriz quadrada A é não-singular se a única solução para a equação Ax=Ö é x=Ö. Uma palavra sinônima é inversível. Ver: singular.
núcleo de uma matriz O núcleo de uma matriz A de ordem m×n é o conjunto de todos os vetores xRn tal que Ax=Ö.
núcleo de uma transformação linear O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto de todos os vetores v do domínio de T tal que T(v) = Ö.
nulidade de uma matriz Nulidade de uma matriz é a dimensão do núcleo dessa matriz.
nulidade de uma transformação linear Nulidade de uma transformação linear é a dimensão do núcleo dessa transformação.
operações elementares por linhas Operações elementares por linhas realizadas sobre uma matriz são:
Trocar duas linhas;
Multiplicar linha por escalar não nulo;
Somar múltiplo de linha com outra linha.
polinômio característico Polinômio característico de uma matriz quadrada A de ordem n é o polinômio na variável t definido por
p(t) = det(A - t In)
posto de uma matriz É o número de linhas não nulas quando a mesma está escrita na forma reduzida escalonada por linhas. O posto de uma matriz coincide com a dimensão do espaço linha da matriz.
posto de uma transformação linear O posto de uma transformação linear (e também de uma matriz pensada como uma transformação linear) é a dimensão da imagem da transformação linear. Observação: Há um teorema que afirma que as duas definições de posto de uma matriz são equivalentes.
semelhante As matrizes A e B são semelhantes se existe uma matriz quadrada