Questão resolvida - Sólido de revolução- região vazada - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determinar o volume gerado pela revolução em torno do eixo x da área limitada pelas 
curvas , e . y = e2x y = 1 x = 1
 
Resolução: 
 
A área da região é pode ser vista abaixo;
O volume desejado é dado pela diferença entre os volumes gerados com a rotação de e e2x
da reta constante , a equação que fornece o volume pelo método dos discos e aruelas y = 1
é dado por:
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
O volume gerado pela região é dado por;
V = 𝜋 e dx -𝜋 1 dx = 𝜋 e dx - 1dxR
1
0
∫ 2x 2
1
0
∫ [ ]2
1
0
∫ 4x
1
0
∫
resolvendo as integrais em suas formas indefinidas :
 
 
 
1dx = x∫
e dx u = 4x du = 4dx dx =∫ 4x → → → du
4
Suubstituindo : e dx = e = =∫ 4x ∫ u du
4
e
4
u e
4
4x
Voltando para com as integrais resolvidas para a fórmula do volume da região, fica :
 
 V = 𝜋 - x = 𝜋 - - 1 - 0 = 𝜋 - - 1 = 𝜋 - - 1R
e
4
4x 1
0
1
0
e
4
4 1( ) e
4
4 0( )
( )
e
4
4 e
4
0 e
4
4 1
4
 V = 𝜋 +R
e
4
4 -1 - 4
4
 
V = 𝜋 -R
e
4
4 5
4
 
 
 
(Resposta)