P1_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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P1_4h_f3unif_101_def_enunc_gab

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por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]

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2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por

λ(x) = λ0|x|/L ,
onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]

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Gabarito para Versa˜o C

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)

1. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:

(a) 1/2 e 1/2

(b) 1/2 e 2

(c) 1/2 e 1

(d) 1 e 2

(e) 1 e 1/2

2. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?

q −2q

Q

(a) q .

(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .

(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.

3. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:

(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0

(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0

(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)

(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)

(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)

(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)

4. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:

(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .

(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .

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5. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?

(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).

(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −

9q)/(4πb2).

(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).

(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).

(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −

9q)/(4πb2).

(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).

(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).

A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 6 e 7. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.

6. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto

e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

(f) 6

(g) 7

7. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:

(a) VA = VB = VC e VC = VD

(b) VA > VB > VC e VC = VD

(c) VA < VB < VC e VC = VD

(d) VA > VB > VC e VC > VD

(e) VA > VB > VC e VC < VD

(f) VA < VB < VC e VC < VD

(g) VA = VB = VC e VC < VD

Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)

F Se, num dado ponto, o campo eletrosta´tico e´ zero, enta˜o o potencial eletrosta´tico tambe´m vale zero
nesse ponto.

F Dado que a superf´ıcie de um condutor, em equil´ıbrio eletrosta´tico, e´ equipotencial, enta˜o as cargas
esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.

V Se o mo´dulo do vetor campo ele´trico tiver o mesmo valor em todos os pontos da superf´ıcie de um
condutor em equil´ıbrio eletrosta´tico, enta˜o as cargas esta˜o uniformemente distribu´ıdas em sua superf´ıcie.

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V Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da
origem do potencial.

V Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em
toda essa regia˜o.

Sec¸a˜o 3. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)

1. Uma “casca” cil´ındrica circular muito longa (infinita), de raio interno a e raio externo b, esta´ uniformemente
carregada, com uma densidade volumar ρ (= const).
(a) Determine a sua carga por unidade de comprimento (axial). [0,5 ponto]
(b) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r > b. [0,7 ponto]
(c) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o a < r < b. [0,9 ponto]
(d) Determine o vetor campo ele´trico para um ponto arbitra´rio na regia˜o r < a. [0,4 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Como a densidade volumar de carga na casca e´ uniforme, temos que a sua carga total, no trecho
de comprimento (ou altura) h mostrado no painel (a) da figura acima, sera´ proporcional ao seu volume:

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πb2h − πa2h. Mais especificamente, a carga ali contida sera´ dada por q = ρπh(b2 − a2), ou seja, a carga
por unidade de comprimento (axial ou longitudinal) e´

q

h
= πρ(b2 − a2) .

�

(b) Pela simetria cil´ındrica do objeto, o campo ele´trico em qualquer ponto (externo ou interno) sera´ or-
togonal ao eixo de simetria e seu mo´dulo so´ podera´ depender da distaˆncia (radial) r ate´ ele. Gaussianas
adequadas ao problema sera˜o, pois, superf´ıcies cil´ındricas circulares retas fechadas (incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫

S

E ·nˆ dA =
∫
Slat

Er(r)dA

= Er(r)Alat

= Er(r)2πrh .

Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,

Qint = πρ(b
2 − a2)h .

Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b

2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,

E(r) =
ρ(b2 − a2)

2ǫ0r
rˆ (r > b) .

�

(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio