P1_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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ana´logo ao do item (a),
igual a:

Qint = ρπ(r
2 − a2)h .

Portanto, pela lei de Gauss,

E(r) =
ρ(r2 − a2)

2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .

�

(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,

E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .

�

2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por

λ(x) = λ0|x|/L ,

onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]

4

(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por

dV =
1

4πǫ0

dq

r
,

=
1

4πǫ0

λdℓ

r
,

=
λ0

4πǫ0L

|x|dx√
x2 + y2

.

Logo,

V =
λ0

4πǫ0L

∫ L
x=−L

|x|dx√
x2 + y2

,

=
2λ0

4πǫ0L

∫ L
x=0

xdx√
x2 + y2

,

=
λ0

4πǫ0L

∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0

,

ou seja,

V (x = 0, y, z = 0) =
λ0

2πǫ0L

[√
L2 + y2 − |y|

]
.

�

(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo

Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y

,

ou seja,

Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0

2πǫ0L

[
sgn(y)− y√

L2 + y2

]
,

onde

sgn(y) :=

{
1, se y > 0;

−1, se y < 0.

�

(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos

dq = λdℓ,

= λ0
|x|
L

dx .

5

Logo, a carga total Q, sera´ dada por

Q =

∫ L
x=−L

λ0
|x|
L

dx ,

=

∫ 0
x=−L

λ0
−x
L

dx+

∫ L
x=0

λ0
x

L
dx ,

= 2

∫ L
x=0

λ0
x

L
dx ,

ou seja

Q = λ0L .

�

6

7

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Primeira Prova (P1) – 13/05/2010

Versa˜o: D

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:

Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o

Parte objetiva (total)

Parte discursiva: Questa˜o 1

Parte discursiva: Questa˜o 2

Total

INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!

1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!

2. A prova constitui-se de duas partes:

• uma parte de doze (12) questo˜es objetivas, perfazendo um total de 5,0 pontos, sendo sete (7) questo˜es
de mu´ltipla escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, e cinco (5) questo˜es de verdadeiro ou falso,
cada uma das quais valendo 0,3 ponto, essas u´ltimas com penalizac¸a˜o tal que uma resposta
errada cancela uma correta.

• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.

3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.

4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)

Formula´rio

F
e
= qE , E =

1

4πǫ0

q

r2
rˆ ,

∮
S

E ·nˆ dA = Qint
ǫ0

,

∮
C

E ·dℓ = 0 , E = −∇V , U = 1
4πǫ0

qq′

r

C = Q/V

1

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (7×0,5=3,5 pontos)

1. Considere duas placas finas, planas, infinitas, si-
tuadas nos planos cartesianos z = 0 e z = L > 0,
com densidades superficiais de carga iguais a −σ
e 2σ, respectivamente, onde σ = const. Assinale
a opc¸a˜o que indica as expresso˜es corretas para o
vetor campo ele´trico nas regio˜es (i) z < 0, (ii)
0 < z < L, e (iii) z > L, nessa ordem:

(a) 0, (σ/ǫ0)zˆ, 0 .

(b) 0, −(σ/ǫ0)zˆ, 0 .
(c) [σ/(2ǫ0)]zˆ, [3σ/(2ǫ0)]zˆ, −[σ/(2ǫ0)]zˆ .
(d) −(σ/ǫ0)zˆ, −(3σ/ǫ0)zˆ, (σ/ǫ0)zˆ .
(e) −[σ/(2ǫ0)]zˆ, [−3σ/(2ǫ0)]zˆ, [σ/(2ǫ0)]zˆ .

2. Para uma casca esfe´rica condutora, de raio
interno a e raio externo b, com centro no ponto P
e inicialmente neutra, transfere-se uma carga Q.
Em seguida, uma part´ıcula (pontual) de carga 9q
e´ colocada no ponto P . Quais sa˜o as expresso˜es
corretas para as densidades superficiais de carga
sobre as superf´ıcies interna e externa da casca
condutora, nessa ordem?

(a) σint = (Q − 9q)/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).

(b) σint = 9q/(4πa
2) e σext = (Q −

9q)/(4πb2).

(c) σint = −9q/(4πa2) e σext = (Q +
9q)/(4πb2).

(d) σint = −9q/[4π(b − a)2] e σext = (Q +
9q)/(4πb2).

(e) σint = (Q + 9q)/(4πa
2) e σext = (Q −

9q)/(4πb2).

(f) σint = (9q − Q)/(4πa2) e σext =
−9q/(4πb2).

(g) σint = −9q/(4πa2) e σext = Q/(4πb2).

A figura a seguir refere-se a`s questo˜es 3 e 4. Ela mos-
tra, esquematicamente, uma sec¸a˜o transversal (plana)
de um objeto condutor macic¸o (de carga ele´trica
total nula), colocado em um campo eletrosta´tico
externo, apo´s atingido o equil´ıbrio eletrosta´tico.

3. Algumas das linhas de campo ele´trico, parcial-
mente desenhadas na figura, esta˜o erradas e na˜o
podem corresponder a uma situac¸a˜o f´ısica real.
Assinale a seguir cada linha imposs´ıvel [Atenc¸a˜o:
nesta questa˜o, pode haver mais de um item correto

e cada marcac¸a˜o errada anula uma certa! ]

(a) 1

(b) 2

(c) 3

(d) 4

(e) 5

(f) 6

(g) 7

4. Na figura acima mencionada, as letras A, B, C
e D assinalam quatro diferentes pontos. Marque
a opc¸a˜o que relaciona corretamente os potenciais
eletrosta´ticos nos referidos pontos:

(a) VA = VB = VC e VC = VD

(b) VA > VB > VC e VC = VD

(c) VA < VB < VC e VC = VD

(d) VA > VB > VC e VC > VD

(e) VA > VB > VC e VC < VD

(f) VA < VB < VC e VC < VD

(g) VA = VB = VC e VC < VD

2

5. Considere um triaˆngulo equila´tero, com aresta de
comprimento a. Suponha que, em seus ve´rtices,
ha´ part´ıculas (pontuais) com cargas q, −2q e Q,
conforme mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es
a seguir fornece corretamente o valor da carga Q,
em func¸a˜o de q, para que a energia eletrosta´tica
armazenada em tal sistema seja nula?

q −2q

Q

(a) q .

(b) −q .
(c) −2q.
(d) 2q .

(e) Isso e´ imposs´ıvel, porque sempre se dis-
pende alguma energia para aproximar
corpos carregados.

6. Dois capacitores, de capacitaˆncias C1 e C2 = 2C1,
sa˜o ligados em se´rie a uma bateria que fornece
uma voltagem V0 ao sistema. A raza˜o, Q1/Q2,
entre as cargas armazenadas nos capacitores 1 e
2, e a raza˜o, V1/V2, entre as diferenc¸as de po-
tencial entre as placas dos dois capacitores sa˜o,
respectivamente:

(a) 1/2 e 1/2

(b) 1/2 e 2

(c) 1/2 e 1

(d) 1 e 2

(e) 1 e 1/2

7. Na figura a seguir, temos duas part´ıculas (pontu-
ais), com carga q e −q. Aquela de carga q esta´
envolvida por uma superf´ıcie (gaussiana) cu´bica,
com aresta de comprimento a, situando-se no cen-
tro do cubo. Um segmento de reta, tambe´m de
comprimento a, perpendicular a uma das faces do
cubo, une as duas part´ıculas. Para esse arranjo
obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo ele´trico so-
bre toda a superf´ıcie gaussiana; (II) o fluxo do
vetor campo ele´trico sobre a face do cubo situada
entre as cargas; (III) o potencial ele´trico num dos
ve´rtices (ponto P) nessa mesma face. Os valores
para essas grandezas sa˜o, na mesma ordem:

(a) 2q/ǫ0, q/(6ǫ0), 0

(b) q/ǫ0, q/(3ǫ0), 0

(c) q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)

(d) q/ǫ0, q/(3ǫ0), q/(πaǫ0)

(e) 2q/ǫ0, 0, q/(
√
3πaǫ0)

(f) 0, q/(6ǫ0), q/(πaǫ0)

Sec¸a˜o 2. Verdadeiro (V) ou falso (F) (5×0,3=1,5 ponto; uma questa˜o errada anula uma correta!)

Uma esfera na˜o condutora de raio a tem uma distribuic¸a˜o de cargas uniforme no seu volume. Podemos
afirmar que o valor do potencial eletrosta´tico em um ponto na sua superf´ıcie depende da escolha da origem
do potencial.

Se o campo eletrosta´tico e´ zero em toda uma regia˜o, enta˜o o potencial eletrosta´tico e´ constante em toda