P1_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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(incluindo as bases),
coaxiais com o objeto carregado. No painel (b) da figura, onde r > b, o campo sera´ ortogonal a` superf´ıcie
lateral da gaussiana, em qualquer posic¸a˜o, e paralelo a suas duas bases, em qualquer ponto delas. Destarte,∫

S

E ·nˆ dA =
∫
Slat

Er(r)dA

= Er(r)Alat

= Er(r)2πrh .

Por outro lado, a carga no interior de tal gaussiana e´, obviamente, a pro´pria carga calculada no item (a);
ou seja,

Qint = πρ(b
2 − a2)h .

Portanto, pela lei de Gauss,
Er(r)2πrh = πρ(b

2 − a2)h/ǫ0 ,
e, finalmente,

E(r) =
ρ(b2 − a2)

2ǫ0r
rˆ (r > b) .

�

(c) Na gaussiana cil´ındrica do painel (c) da figura acima, com 0 ≤ r < a, a expressa˜o para o fluxo continua
sendo Er(r)2πrh. Ja´ a carga no interior dessa nova gaussiana e´, por racioc´ınio ana´logo ao do item (a),
igual a:

Qint = ρπ(r
2 − a2)h .

Portanto, pela lei de Gauss,

E(r) =
ρ(r2 − a2)

2ǫ0r
rˆ (a ≤ r ≤ b) .

�

(d) Finalmente, na u´ltima regia˜o, representada no painel (d) da figura acima, a expressa˜o para o fluxo
mante´m-se, ainda, a mesma, mas, como a carga no interior da nova gaussiana e´ nitidamente zero, temos,
uma vez mais pela lei de Gauss,

E(r) = 0 (0 ≤ r ≤ a) .

�

2. Um fio retil´ıneo fino, de comprimento 2L, esta´ postado ao longo do eixo cartesiano X , com seu centro na
origem desse. A densidade linear de carga de tal fio e´ dada por

λ(x) = λ0|x|/L ,

onde λ0 = const.
(a) Calcule o potencial eletrosta´tico, V (x = 0, y, z = 0), para um ponto arbitra´rio do eixo cartesiano Y ,
com ordenada y > 0; fac¸a, como usual, o potencial igual a zero no infinito. [Sugesta˜o: lembre-se que, para
x > 0, temos, simplesmente, |x| = x, ao passo que, para x < 0, voceˆ deve usar que |x| = −x]. [1,2 ponto]
(b) Calcule, agora, a componente y do vetor campo ele´trico, Ey(x = 0, y, z = 0), em tal ponto. [0,8 ponto]
(c) Determine, por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),

4

dado por

dV =
1

4πǫ0

dq

r
,

=
1

4πǫ0

λdℓ

r
,

=
λ0

4πǫ0L

|x|dx√
x2 + y2

.

Logo,

V =
λ0

4πǫ0L

∫ L
x=−L

|x|dx√
x2 + y2

,

=
2λ0

4πǫ0L

∫ L
x=0

xdx√
x2 + y2

,

=
λ0

4πǫ0L

∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0

,

ou seja,

V (x = 0, y, z = 0) =
λ0

2πǫ0L

[√
L2 + y2 − |y|

]
.

�

(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo

Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y

,

ou seja,

Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0

2πǫ0L

[
sgn(y)− y√

L2 + y2

]
,

onde

sgn(y) :=

{
1, se y > 0;

−1, se y < 0.

�

(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos

dq = λdℓ,

= λ0
|x|
L

dx .

Logo, a carga total Q, sera´ dada por

Q =

∫ L
x=−L

λ0
|x|
L

dx ,

=

∫ 0
x=−L

λ0
−x
L

dx+

∫ L
x=0

λ0
x

L
dx ,

= 2

∫ L
x=0

λ0
x

L
dx ,

5

ou seja

Q = λ0L .

�

6

7