Calculo_III-Lista_1
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Calculo_III-Lista_1

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Professor Anatoli CÁLCULO III Lista 1 – 05.11.98
 EXERCÍCIOS

 Página 1 de 1

Troque a ordem de integração:

1. ∫ ∫
1

0

3

2

x

x

dydx)y,x(f

2. ∫ ∫
−1

0

3

2
1

2

2

y

y

dxdy)y,x(f

3. ∫ ∫
−1

0

2 2x

x

dydx)y,x(f

4. ∫ ∫
1

0

2

3

x

x

dydx)y,x(f

5. ∫ ∫
2

0

2x

x

dydx)y,x(f

6. ∫ ∫
−

1

0

x

x

e

e

dydx)y,x(f

7. ∫ ∫
−

a ax

xax

dydx)y,x(f
2

0

2

2 2

8. ∫ ∫
−1

0

2 y

y

dxdy)y,x(f

9. ∫ ∫
−1

0

23 y

y

dxdy)y,x(f

10. ∫ ∫
−

−−

1

0

3

1

2

2

y

y

dxdy)y,x(f

Calcule a área da região limitada
pelas curvas:
1. yx,xy 95253 22 ==
2. 222 =+= x,xy
3. 02 === y,xcosy,xcosy
4. xxy,xxy 524 22 −=−=
5. 0424 2 =−+−= yx,yx
6. 310 xy,x,y ===
7. xey,x,y,x ==== 200

8.
x

y,y,y,x 1310 ====

9. yyx,xy,y 21 22 −=+−=−=
10. 222 =+= x,xy

Calcule o volume limitado pelas
superfícies:

1.
40

00822

=++=

===+

zyx,z
,y;x,yx

2. 00422 2 ===++= z,y,zyx,yx
3. 014 22 ==++ z,zyx
4. 01222 ===+= z,y,xy,yxz

5.
000

424 2

===

=+−=

z,y,x
,yx,xz

6.
040

102

===

===

z,y,y
,x,x,xyz

7. 095 22 ==+= z,yx,yz

8.
0063

12236
===+

=+=++

z,y,yx
,yx;zyx

9.
001

1 2

===

=++=

z,y,x
,xy,yxz

10. 40 22 =+== yx,xyz,z

11.
0222

2222

===

=++=

z,xyx

,xyx,yxz

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 EXERCÍCIOS

 Página 2 de 2

Calcule as integrais duplas:

1. 2
0 pipi ≤≤≤≤ΩΩ∫∫

Ω

+ yo,x:dycose ysenx

2. ( ) 21022 ====ΩΩ+∫∫
Ω

y,y,x,xy:dyx

3. ( ) 2023 22 ===ΩΩ+−∫∫
Ω

y,yx,x:dyxyx

4. ( ) 212 ===ΩΩ+∫∫
Ω

x,xy,xy:dysenxcos

5. ( )








+≥≤+=ΩΩ+∫∫
Ω

3
3
293 22 xy,yxdyx

6. ( ) xy,y,x:dyxsen ===ΩΩ+∫∫
Ω 2

0 pi

7. ( ) ( ) ( )542732 ,C,,B,,A:dx B
C

A ∆≡ΩΩ∫∫
Ω

8. ( ) 201022 ====ΩΩ+∫∫
Ω

y,y,x,x:dyy

9. 100 =+==ΩΩ∫∫
Ω

yx,y,x:dxy

10. ( ) 3002 =+==ΩΩ+∫∫
Ω

yx,y,x:dyx

11. 202 =+==ΩΩ∫∫
Ω

yx,y,xy:dy

12.
x

y,xy,x:dyx 1222 ===ΩΩ∫∫
Ω

−

13. ylnx,y,y,x:dxdye
x

====Ω∫∫
Ω

210

14. ( ) ty,xy,x:dyxcos ===ΩΩ+∫∫
Ω

0

15. ( ) 156 ===ΩΩ+∫∫
Ω

x,xy,xy:dyx

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 EXERCÍCIOS

 Página 3 de 3

Calcule as integrais duplas usando a mudança de variáveis:

1. 11 2
2

2

2

2

2

2

2

=+ΩΩ−−∫∫
Ω b

y
a

x
:d

b
y

a

x

2.
baqpbyx,ayx,qxy,pxy:

d

<<<<====Ω

Ω∫∫
Ω

002222

3.

( ) ( )
1311

23

−=−=+=−=+Ω

Ω−+∫∫
Ω

yx,yx,yx,yx:

dyxyx

4. ( ) 21112 22 =+=++==ΩΩ+∫∫
Ω

yx,yx,xy,xy:dx

5. 4
411

2
22 yx,yx,yx:dx −=−=−=ΩΩ∫∫

Ω

Observação: mudança x = x² - v², y = xv

6.
12122222

12
2

=+=−=+=−Ω

Ω
−−

+
∫∫
Ω

xy,xy,xy,xy:

d
xy
xy

7. 9494

22222 yxyx
:d −=








+ΩΩ∫∫

Ω

8. ( ) { }41
22

222
≤+≡Ω

++

Ω
∫∫
Ω

yx
yx

d

9.
222222 Rzyx,Rxyx:d =++=+ΩΩ∫∫

Ω

10. ( ) { }11 2222 ≤+≡ΩΩ+−∫∫
Ω

yxdyx

Observação: Em caso de dúvida em relação a Ω, considere Ω no 1º quadrante.

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 EXERCÍCIOS

 Página 4 de 4

LISTA DAS RESPOSTAS
Ordem de integração

1. ∫ ∫∫ ∫ +
3

2

1

3
1

2

0

2
1

3
1 y

y

y

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

2.

∫ ∫

∫ ∫∫ ∫

−

+

+

3

2

3

0

2

2
1

1

0

2
1

0

2

0

2
x

x

dydx)y,x(f

dydx)y,x(fdydx)y,x(f

3. ∫ ∫∫ ∫
−

+
2

1

2

0

1

0 0

2yy

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

4. ∫ ∫
1

0

3 y

y

dxdy)y,x(f

5. ∫ ∫∫ ∫ +
4

2

2

2

2

0
2

y

y

y

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f

6. ∫ ∫∫ ∫ +
e

yln
e y

ln

dxdy)y,x(fdxdy)y,x(f
1

11

1

1

1

7. ∫ ∫∫ ∫
++

−−

+
a a

yaa

a yaa

a

y

dydx)y,x(fdxdy)y,x(f
0

2

0
2

22

22

2

8. ∫ ∫∫ ∫
−

+
2

1

2

0

1

0 0

xx

dydx)y,x(fdydx)y,x(f

9. ∫ ∫∫ ∫

−

+
3

1

2
3

0

1

0 0

2
x

x

dydx)y,x(fdydx)y,x(f

10. ∫ ∫∫ ∫
−

−

−

+
1

0

1

0

0

1

1

0

2 xx

dydx)y,x(fdydx)y,x(f

Área da região
1. 5 2.

3
32

 3.
2
1

4.
2

27
 5.

3
4

 6.
4
1

7. 12 −e 8. 3ln

9.
42

1 pi
+

10. Correção:
( ) 414 222 =+−= yx,xy

Resposta: 82 −pi
Volume do corpo

1.
3

2328 −pi 2. 2
17

3.
4
pi

 4.
105
88

 5.
3

40

6.
9

32
 7. 90 8. 12

9.
60
79

 10. 4 11. 32
45pi

Integrais duplas
1. ( )( )11 −− piee 2. 5
3.

21
244

4. Correção:
pi=+==Ω yx,y,x: 4400

Resp.: ( )22141 −+pi
5.

169
432

−

6. 1 7. 26

8.
3

14
 9.

24
1

 10.
2

27

11.
6
5

 12.
4
9

 13.
2
1

14. 2− 15.
3
125

Mudança de variáveis
1. abpi32
2. ( )( )abpq −−31
3. 320 4. 1 5. 24
6. 43 7. 6 8. pi54
9. ( ) 392 43 R−pi 10. pi32