P1_4h_f3unif_101_def_enunc_gab_08
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por fim, a carga total de tal fio. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

4

(a) Usamos o princ´ıpio de superposic¸a˜o para o potencial. Um elemento de carga infinitesimal gene´rico do fio,
de abscissa x e comprimento dx, gera um potencial (infinitesimal), no ponto de interesse (x = 0, y, z = 0),
dado por

dV =
1

4πǫ0

dq

r
,

=
1

4πǫ0

λdℓ

r
,

=
λ0

4πǫ0L

|x|dx√
x2 + y2

.

Logo,

V =
λ0

4πǫ0L

∫ L
x=−L

|x|dx√
x2 + y2

,

=
2λ0

4πǫ0L

∫ L
x=0

xdx√
x2 + y2

,

=
λ0

4πǫ0L

∣∣∣2√x2 + y2∣∣∣L
x=0

,

ou seja,

V (x = 0, y, z = 0) =
λ0

2πǫ0L

[√
L2 + y2 − |y|

]
.

�

(b) Como, no item (a), foi calculado o potencial para um ponto gene´rico do eixo Y , temos a possibilidade
de calcular, agora, a componente y, e somente esta, via a derivada parcial, obtendo

Ey(x = 0, y, z = 0) = −∂V (x = 0, y, z = 0)
∂y

,

ou seja,

Ey(x = 0, y, z = 0) =
λ0

2πǫ0L

[
sgn(y)− y√

L2 + y2

]
,

onde

sgn(y) :=

{
1, se y > 0;

−1, se y < 0.
�

(c) Por ser uma distribuic¸a˜o linear, temos

dq = λdℓ,

= λ0
|x|
L

dx .

Logo, a carga total Q, sera´ dada por

Q =

∫ L
x=−L

λ0
|x|
L

dx ,

=

∫ 0
x=−L

λ0
−x
L

dx+

∫ L
x=0

λ0
x

L
dx ,

= 2

∫ L
x=0

λ0
x

L
dx ,

5

ou seja

Q = λ0L .

�

6