Cálculo Elementar - UVA - AVA 2

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Resolução AVA 2 – Calculo Elementar
Curso: Engenharia de Produção / Aluno: Delio Amato da Costa Filho / Matrícula: 20201301308
Objetivos Gerais da Avaliação
1- Determine a função do preço do litro do suco em função do aumento.
2- Aponte a função da quantidade de suco (em litro) vendido em relação ao aumento.
3- Desenvolva a função da receita da fábrica em relação ao aumento.
4- Defina qual deveria ser o preço por 100 ml de suco para maximização da receita dos empresários.
5- Considerando que seus três principais concorrentes vendem os sucos naturais aos preços de R$41,20, R$38,60 e R$44,00, desenvolva um parecer quanto ao possível aumento no preço dos sucos, justificando suas colocações nos resultados das questões anteriores.
Para determinarmos a função do preço do preço do litro do suco em função do aumento, devemos somar um valor “X”, que representará o aumento, ao atual preço do litro, sendo assim, temos:
Temos que “X” representa o valor do aumento por litro, e o termo independente “20” representa o preço atual de 1 litro. Para que a equação mantenha sua coerencia, temos que: 
Uma vez que se , o preço do litro do suco será negativo.
1 - 
2 – Caso o aumento seja de 0,00R$/L, o volume de suco vendido por dia continuará sendo de 950L. E, caso o aumento seja de 1,50R$/L, o volume cairá em 16L por dia. Portanto chegamos as seguintes conclusões:
	X (Valor do aumento em R$/L)
	Y (Volume de suco vendido por dia em litros)
	0,00
	950
	1,50
	950 – 16 = 934
Identificamos que o termo independente da nossa função será 950, porquê quando X=0,00 temos que Y=950. Portanto:
Se X=1,50 temos que Y=934. Inserindo esses valores na função anterior temos que:
O termo A é menor que zero, o que indica que nossa função será decrescente. Quanto maior o valor de X (aumento), menor sera o valor de Y(Volume).
Portanto, temos que a função do volume de suco vendida (na grandeza de litros por dia) em relação ao aumento (na grandeza de R$/L) é dada por:
Em que o domínio da função (X) representa o valor do aumento, e a imagem da função (Y) representa o volume de suco em litros que será vendida diariamente.
Como “X” representa o aumento, a função será verdadeira para qualquer valor de “X” que obedeça a regra:
Uma vez que se -20>X, o preço do litro do suco será negativo, enquanto que se X>89,0625 o volume de suco vendido por dia será negativo, em ambos os cenários a equação perderá o seu sentido.
3 – Para determinarmos essa função, devemos utilizar algumas informações do procedimento 2 do nosso ensaio. Essas informações são:
	Aumento (R$/L)
	Receita (R$)
	Observações
	-20,00
	0,00
	Nesse caso o preço do litro do suco será R$0,00.
	89,0625
	0,00
	Nesse caso o volume de suco vendido por dia será de 0L.
	0,00
	19.000,00
	Se o aumento for 0,00 a receita da fabrica não irá mudar.
Podemos assumir como premissa que essa função será uma função do segundo grau, com duas raízes reais (Y=0 ; Y=“receita”), com o seguinte perfil:
Também podemos concluir que:
Se “X=-20” temos que: 
Se “X=89,0625” temos que: 
Se “X=0” temos que: 
Portanto: C=19.000. Criamos então o seguinte sistema:
Isolando “a” na primeira equação:.
..
Substituindo “a” na segunda equação:
Multiplicando todos os termos por “400” temos que :.
..
Precisamos agora encontrar o termo “a”, com base no sistema criado temos que:
Temos que : .
..
Portanto temos que a função da receita da fábrica (na grandeza de R$/dia) em relação ao aumento do preço do litro (na grandeza de R$/L) é dada por:
Em que o domínio da função (X) representa o valor do aumento, e a imagem da função (Y) representa a receita diária da fábrica.
Como “X” representa o aumento, a função será verdadeira para qualquer valor de “X” que obedeça:
Porquê se, o preço final do litro seria negativo e a receita também, e se X>89,0625 o volume vendido seria negativo, em ambos os cenários teriamos uma imagem negativa, como a imagem da função é a receita da fábrica, não podemos aceitar uma receita negativa.
4 - Para descobrirmos como maximizar a receita dos empresários precisamos analisar o vértice de X e de Y da função criada no procedimento 3 do nosso ensaio.
Temos que Vx e Vy são dados pelas seguintes equações:
Calculando Vx, temos que: 
Como Vx representa o aumento em R$/L, podemos utilizar também a equação encontrada no procedimento 1, dada por:
Substituindo “x” por 34,53125, temos que:
Portanto, para maximizar a receita dos empresários, o preço de 100mL de suco deverá ser de R$5,453125, arredondando esse valor, temos que o preço de 100mL deverá ser de R$5,45. 
5 – Primeiramente, vamos atribuir um nome para cada fábrica, temos então:
Fábrica A – Preço do litro R$41,20
Fábrica B – Preço do litro R$38,60
Fábrica C – Preço do litro R$44,00
Assumindo que as equações desenvolvidas para a Fábrica Sucos Saudáveis Ltda se mantenham verdadeiras para as outras 3 fábricas, temos então:
Para a Fábrica A:
Preço ideal do litro: R$54,50
Preço atual do litro: R$41,20
Substituindo os termos:
Portanto, a Fábrica A pode aumentar o preço do litro em até R$13,30 que continuará aumentando sua receita.
Já para a Fábrica B, temos:
Preço ideal do litro: R$54,50
Preço atual do litro: R$38,60
Substituindo os termos:
Portanto, a Fábrica B pode aumentar o preço do litro em até R$15,90 que continuará ganhando receita.
Por último, para a Fábrica C, temos:
Preço ideal do litro: R$54,50
Preço atual do litro: R$44,00
Substituindo os termos:
Portanto, a Fábrica C pode aumentar o preço do litro em até R$13,50 que continuará ganhando receita.
Temos como quadro então:
	Fábrica
	Aumento ideal para maximizar as receitas (R$)
	A
	13,30
	B
	15,90
	C
	10,50
Conclusão
A matemática, assim como toda ciência, mostra seu valor quando é utilizada para resolver problemas práticos como o proposto na AVA 2. 
Com pensamento crítico e uma boa base matemática é possível responder questionamentos que, ao primeiro olhar, parecem complexos. Utilizando as ferramentas disponíveis, foi possível elaborar um relatório conciso que respondeu todos os objetivos gerais e que, assim como foi utilizado para suco, pode ser utilizado para N produtos substindo apenas as variáveis do problema, um ótimo conhecimento para futuros gestores, empreendedores e consultores. 
Att,
Delio Amato