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71

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 7

DISTÂNCIAS E ÂNGULOS

1 DISTÂNCIAS

Todos os conceitos vetoriais que são necessários para o cálculo de distâncias e

ângulos, de certa forma, já foram estudados nos capítulos anteriores. Apenas vamos

utilizá-los para desenvolver este capítulo. As fórmulas que serão demonstradas são

consequências da aplicação destes conceitos. Portanto, acreditamos que a

memorização de tais fórmulas não seja necessária, mas sim a compreensão dos

conceitos aplicados.

É importante lembrar que, considera-se como sendo a distância entre dois

objetos quaisquer a menor distância entre eles e, geometricamente, a menor

distância entre dois objetos é sempre a perpendicular.

1.1 Distância entre dois pontos

Sejam )z,y,x(Be)z,y,x(A 222111 dois pontos quaisquer do ℜ3. A distância ABd ,

entre os pontos A e B, coincide com o módulo do vetor AB , ou seja: |AB|dAB = .

Assim: )zz,yy,xx(ABAB 121212 −−−=−= . Portanto:

2
12

2
12

2
12AB )zz()yy()xx(|AB|d −+−+−==

1.2 Distância de um ponto a uma reta

Sejam P um ponto e vtAX:)r(
�

+= uma reta qualquer no ℜ3. A distância do

ponto P a reta (r) coincide com a altura relativa ao vértice P do triângulo determinado

pelos vetores AP e v
�

. Então hd )r(P = . Vamos determinar esta altura h da seguinte

forma. Da geometria plana a área do triângulo é dada por
2
h|v|

2
alturabase

AT
⋅

=

⋅

=

�

.

Do cálculo vetorial a área do triângulo é dada por
2

|vAP|
AT

�

×
= ⇒

2
|vAP|

2
h|v|

��

×
=

⋅

.

Portanto:
|v|
|vAP|

d )r(P �
�

×
=

|AB|dAB =
B A

(r)
hd )r(P =

AP

v
�

P

A

72

1.3 Distância de um ponto a um plano

Sejam )z,y,x(P ooo um ponto não contido no plano 0dczbyax:)( =+++pi , cujo

vetor normal é )c,b,a(n =
�

. Pela figura abaixo, a distância do ponto P ao plano (pi),

denotada por )(PD pi , coincide com a distância entre os pontos P e Q, que é igual ao

módulo do vetor QP , onde Q é a projeção ortogonal do ponto P sobre o plano (pi) e,

portanto, )(Q pi∈ . Seja Q(x,y,z), então: )zz,yy,xx(QP ooo −−−= . Os vetores neQP
�

são paralelos, logo o ângulo entre eles é 0o. Então:

o0cos|n||QP|nQP ⋅⋅=⋅
��

 ⇒ 222)(Pooo cbaD)c,b,a()zz,yy,xx( ++⋅=⋅−−− pi ⇒

222
ooo

)(P
cba

)czbyax(czbyax
D

++

++−++
=pi (*). Da equação do plano vem que

dczbyax −=++ . Substituindo a expressão (*) e tomando seu módulo (distância não

pode ser negativa) tem-se:
222
ooo

)(P
cba

|dczbyax|
D

++

+++
=pi

1.4 Distância entre duas retas

Sejam duas retas 11 vtAX:)r(
�

+= e 22 vtAX:)s(
�

+= . Se as retas forem

coincidentes, concorrentes ou perpendiculares a distância entre elas será adotada

com sendo igual a zero.

a) Reta Paralelas: A distância entre duas retas paralelas é constante e pode ser

determinada calculando-se a distância de um ponto qualquer de uma delas a outra,

como foi feito no item (1.2) para calcular a distância de um ponto a uma reta.

|v|
|vAA|

d
2

212
rs �

�

×
=

n
�

P

Q )(pi

)(PDQP pi=

12AA rsd

2v
�

 A2

A1 (r)

(s)

73

b) Reta Reversas ou Ortogonais: A distância entre as retas (r) e (s) reversas ou

ortogonais, coincide com a altura do paralelepípedo determinado pelos vetores

diretores 21 vev
��

 e pelo vetor 21AA . Na figura abaixo temos:

Da geometria espacial, o volume do paralelepípedo é igual a hAbVP ⋅= e do cálculo

vetorial: |]v,v,AA[|V 2121P
��

= . A área da base Ab é a área de um paralelogramo

determinado pelos vetores 21 vev
��

 e a altura rsdh = . Então:

|]v,v,AA[|hAb 2121
��

=⋅ ⇒ |]v,v,AA[|d|vv| 2121rs21
����

=⋅× ⇒
|vv|

|]v,v,AA[|
d

21

2121
rs ��

��

×
=

1.5 Distância entre dois planos

Sejam )( 1pi e )( 1pi dois planos de equações 0dzcybxa:)( 11111 =+++pi e

0dzcybxa:)( 22222 =+++pi . Se os planos forem coincidentes, concorrentes ou

perpendiculares a distância entre eles será adotada com sendo igual a zero. No caso

em que eles forem paralelos, a distância entre eles é a distância de qualquer ponto de

um deles ao outro. Assim:
222
ooo

cba

|dczbyax|
D

21
++

+++
=pipi

1.6 Distância entre uma reta e um plano

Sejam vtAX:)r(
�

+= uma reta e 0dczbyax:)( =+++pi um plano. Caso a

reta esteja contida no plano, ou for concorrente ou perpendicular ao plano a distância

entre eles e adotada como sendo zero. No caso em que a reta é paralela ao plano, a

distância entre eles é a distância de qualquer ponto da reta (r) ao plano (pi ). Assim:

222
ooo

r
cba

|dczbyax|
d

++

+++
=pi

21
D pipi

P

)( 1pi

)( 2pi

pird

A

(r)

(pi)

hdrs =

1v
�

1v
�

2v
�

1A

2A

(r)

(s)

⊡

74

Exemplo (1): Determine a distância do ponto P, interseção das retas

2
2z

3
1y

3x:)r(
−

−

=

+
=− e

1
1z

1y
3
1x

:)s(
−

−

=−=

−

, ao plano 03z2yx2:)( =−+−pi .

Solução: Fazendo P=(r)∩(s), temos: de










+−=⇒
−

−

=−

−=⇒
+

=−

(**)8x2z
2
2z

3x

(*)10x3y
3
1y

3x
:)r( .

Substituindo (*) e (**) em (s), tem-se: 4x110x3
3
1x

=⇒−−=
−

. Portanto,

P(4,2,0). Usando a fórmula da distância de um ponto a um plano tem-se:

222
ooo

)(P
cba

|dczbyax|
D

++

+++
=pi , onde o vetor normal )2,1,2()c,b,a(n −==

�

 e o ponto

)0,2,4()z,y,x(P ooo = . Então:
9

|328|

2)1(2

|302242|
D

222
)(P

−−

=

+−+

−⋅+−⋅
=pi ⇒ .c.u1D )(P =pi

(u.c. = unidades de comprimento).

Exemplo (2): Determine a distância entre as retas
1
2z

2
1y

3
x

:)r(
−

+
=

−

= e

2
1z

4
y

6
1x

:)s(
+

=

−

=

−

−

.

Solução: Note que as retas (r) e (s) são paralelas e de




−=

−

)1,2,3(v
)2,1,0(A

:)r(
1

1
� e de





−−=

−

)2,4,6(v
)1,0,1(A

:)s(
2

2
� . Vamos calcular a distância do ponto A1 à reta (s) usando a

expressão
|v|

|vAA|
d

2

221
rs �

�

×
= . Então: k10j8i2

246
111
kji

vAA 221
���

���

�

++−=

−−

−−=× ⇒

422|AA| 12 = e 142|v| 2 =
�

. Voltando a expressão: .c.u3d
142

422
d rsrs =⇒=

2 ÂNGULOS

2.1 Ângulo entre dois vetores:

O ângulo entre dois vetores CDveABu ==
��

, não nulos, é o ângulo

DPB)v,u(ang
�

��

==θ entre os segmentos orientados que representam os vetores, com

a restrição oo 1800 ≤θ≤ , quando os vetores são transportados para um mesmo

ponto de origem P.

75

Através da expressão do produto escalar entre dois vetores, podemos

determinar o ângulo θ entre eles em função do valor do cosθ. Assim, sempre

usaremos a expressão abaixo para determinar o ângulo entre dois vetores. Portanto,

θ⋅⋅=⋅ cos|v||u|vu
����

 ⇒
|v||u|

vu
cos ��

��

⋅

⋅

=θ . Como oo 1800 ≤θ≤ , neste intervalo temos

que )180cos(cos o θ−−=θ ⇒ |)180cos(||cos|cos o θ−=θ=θ .

2.2 Ângulo entre duas retas

Sejam duas retas 11 vtAX:)r(
�

+= e 22 vtAX:)s(
�

+= . O ângulo α entre as duas

retas é sempre o menor ângulo formado por elas, donde podemos concluir que

oo 900 ≤α≤ .

Se as retas forem coincidentes ou paralelas o ângulo entre elas é adotado com

sendo 0o. Se as retas forem perpendiculares ou ortogonais, por definição, o ângulo

entre elas já está definido e é igual a 90o.

No caso em que as retas são concorrentes ou reversas, podemos determinar o

ângulo entre elas através do ângulo entre seus vetores diretores. Assim, seja α o

ângulo entre as retas (r) e (s) e seja θ o ângulo entre seus vetores diretores. Como

vimos anteriormente temos que
|v||v|

vv
cos

21

21
��

��

⋅

⋅

=θ . Então:

a) se θ=α⇒≤θ≤ oo 900 b) se θ−=α⇒≤θ< ooo 18018090

Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos o θ−=θ=α ⇒

|v||v|
vv

cos
21

21
��

��

⋅

⋅

=α .

θ
α

2v
�

 (s)

(r) 1
v
�

 α=θ
2v
�

(s)

(r)

1v
�

u
�

A B
v
�

D

C

D

B

v
�

u
�

CA ≡

θ

76

2.3 Ângulo entre dois planos

Considere dois planos de equações gerais 0dzcybxa:)( 11111 =+++pi e

0dzcybxa:)( 22222 =+++pi com seus respectivos vetores normais 21 nen
��