GA_cap_07
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GA_cap_07

Disciplina:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica1.642 materiais53.010 seguidores
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. O

ângulo α entre os dois planos é sempre o menor ângulo formado por eles e

oo 900 ≤α≤ .

Se os planos forem coincidentes ou paralelos o ângulo entre eles é adotado com

sendo 0o. Se os planos forem perpendiculares, por definição, o ângulo entre eles já

está definido e é igual a 90o.

No caso em que os planos são concorrentes, podemos determinar o ângulo

entre eles através do ângulo entre seus vetores normais. Assim, seja α o ângulo entre

os planos (pi1) e (pi2) e seja θ o ângulo entre seus vetores normais. Então:

a) se θ=α⇒≤θ≤ oo 900 b) se θ−=α⇒≤θ< ooo 18018090

Portanto, em ambos os casos a) e b) temos que: |)180cos(||cos|cos o θ−=θ=α ⇒

|n||n|
nn

cos
21

21
��

��

⋅

⋅

=α .

2.4 Ângulo entre uma reta e um plano

Considere uma reta de equação vetorial vtAX:)r(
�

+= , cujo vetor diretor é v
�

 e

um plano de equação geral 0dczbyax:)( =+++pi , cujo vetor normal é n
�

. O ângulo

α entre a reta e o plano e o menor ângulo formado por eles e oo 900 ≤α≤ .

Caso a reta seja paralela ao plano, em particular, se ela estiver contida no plano

o ângulo entre eles é adotado como sendo 0o. Se a reta for perpendicular ao plano,

por definição, o ângulo entre eles já está definido e é igual a 90o.

No caso em que a reta é concorrente ao plano, podemos determinar o ângulo

entre eles através do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal ao plano.

Assim, seja α o ângulo entre a reta (r) e o plano (pi) e seja θ o ângulo entre o vetor

diretor da reta e o vetor normal ao plano. Então:

θ=α

)( 2pi

)( 1pi

α

1n
�

2n
�

2n
�

1n
�

α

)( 2pi

)( 1pi

α

1n
�

2n
�

2n
�

1n
�

 θ

77

a) se θ−=α⇒≤θ≤ ooo 90900 b) se ooo 9018090 −θ=α⇒≤θ<

Nestes casos devemos determinar o ângulo θ entre o vetor diretor da reta e o

vetor normal ao plano entre através do valor de
|n||v|

nv
cos ��

��

⋅

⋅

=θ e, posteriormente,

determinar o ângulo α , uma vez que: a) se θ−=α⇒≤θ≤ ooo 90900 e b) se

ooo 9018090 −θ=α⇒≤θ< .

Exemplo (3): Determine o ângulo entre os planos 03zyx2:)( 1 =+−+pi e

04yx:)( 2 =−+pi .

Solução: Estamos interessados em determinar o ângulo α entre os planos, em

função do ângulo θ entre os vetores normais que são )0,1,1(ne)1,1,2(n 21 =−=
��

. Note

que: como LI}n,n{ 21
��

 e 0nn 21 ≠⋅
��

, logo os planos são concorrentes. Então:

21

21

nn

nn
|cos|cos

��

��

⋅

⋅

=θ=α ⇒
26

3

011)1(12

0)1(1112
cos

222222
⋅

=

++⋅−++

⋅−+⋅+⋅
=α ⇒

2
3

cos =α . Portanto, o30=α .

Exemplo (4): Sejam a reta
3
2z

2
1y

x:)r(
−

=

−

−

= e o plano 03z5yx:)( =++−pi .

Qual é o ângulo entre eles?

Solução: Queremos determinar o ângulo α entre a reta e o plano em função do

ângulo θ entre o vetor diretor da reta )3,2,1(v −=
�

 e o vetor normal ao plano

)5,1,1(n −=
�

. Note que a reta é concorrente ao plano. Vamos determinar θ usando a

expressão
|n||v|

nv
cos ��

��

⋅

⋅

=θ . Então:
222222 5)1(13)2(1

53)1()2(11
cos

+−+⋅+−+

⋅+−⋅−+⋅
=α ⇒

θ

α
)(pi

v
�

n
�

 )r(

θ
α

)(pi

v
�

n
�

)r(

78

7
42

cos =θ . Como 0cos >θ ⇒ oo 900 ≤θ≤ ⇒ θ−=α o90 . Portanto,














−=α

7
42

arccos90o .

Exercícios Propostos

1) Sejam o plano 015z5y5x3:)( =−++pi . Ao "passar" pelo ℜ3 ele deixa traços e

intercepta os eixos coordenados em pontos P, Q e R, cujo esboço do plano (pi) é o

triângulo PQR. Determine o ângulo do vértice R do triângulo PQR.

Resp:













=α=θ

34
173

arccos

2) Determine o ângulo entre as retas, cujos vetores diretores são )h,g,f(v 1111 =
�

 e

)h2,g,f(v 1222 =
�

, sabendo-se que 21 vvAB
��

+= , com A(2,3,-1) e B(4,-3,5), 1iv1 =⋅
�

�

 e

ji8kv2
���

�

−−=× . Resp: 







=θ

27
7

arccos

3) Sejam A(2,3,0), B(2,1,4) e C(4,1,4) vértices de um triângulo ABC. Sejam M e N

pontos médios dos lados AC e BC, respectivamente. Determine o ângulo entre as

retas suportes do lado AC e do segmento MN. Resp:













=θ

6
30

arccos

4) Determine a distância entre as retas 1ze2y
2
1x

:)r( −=−=
−

 e

2ze
2
2y

4
1x

:)s( =
−

=

−

. Resp: .c.u3d =

5) Determine a distância da reta 2z5y
3
x

:)r( −=−= ao plano

030z5y2x:)( =−−+pi . Resp: .c.u30d =