A2-REVISÃO MATEMÁTICA

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Revisão Matemática
Crescimento Econômico
Kézia de Lucas Bondezan
Derivadas
A derivada de uma função, , em relação a , mostra 
como , varia quando varia minimamente.
Qual o significado de 
Quando se trata do crescimento econômico, é comum 
utilizar a derivada em relação ao tempo.
Nesse caso, o estoque de capital, pib ou outra variável é 
derivada em relação ao tempo e refere-se ao mesmo que 
era em uma função no exemplo anterior.
Qual o significado de 
Se o estoque de capital cresce ao longo do tempo então 
A notação mais utilizada para se referir a uma derivada em 
relação ao tempo é a “notação do ponto”, logo:
Qual o significado de 
A medida que o intervalo de tempo ao longo do qual calculamos a 
variação é reduzida, a expressão - , expressa por unidade de 
tempo, aproxima-se da variação instantânea, 
Dessa maneira, seja , o intervalo de tempo (ano, dia, mês, hora), 
então:
∆ →
∆
O que é taxa de crescimento?
A forma mais simples de se pensar em taxas de crescimento é pelas
variações percentuais.
Exemplos: estoque de capital, crescimento do PIB, inflação.
Portanto uma maneira para se calcular uma taxa de crescimento é pela
variação percentual.
O que é taxa de crescimento?
Entretanto, em economia é mais conveniente se pensar em termos de taxas 
de variação instantânea.
Assim, definimos a taxa de crescimento como a derivada , dividida pelo seu 
valor inicial 
Assim, 
̇
é a uma taxa de crescimento.
Importante relembrar: “variação percentual”
Taxas de crescimento e Logaritmos Naturais
Entretanto, em economia é mais conveniente se pensar em termos de taxas 
de variação instantânea.
Assim, definimos a taxa de crescimento como a derivada , dividida pelo seu 
valor inicial 
Assim, 
̇
é a uma taxa de crescimento.
Importante relembrar: “variação percentual”
O que é taxa de crescimento?
A forma mais simples de se pensar em taxas de crescimento é pelas 
variações percentuais. Exemplos: estoque de capital, crescimento do PIB, 
inflação. Portanto uma maneira para se calcular uma taxa de crescimento 
é pela variação percentual.
; 
As taxas de crescimento e logaritmos naturais
Propriedades:
1- Se, ntão log 
2- Se , então log 
3- Se , então 
4- Se , então 
5- Se , então ̇
As taxas de crescimento e logaritmos naturais
Propriedades:
5- Se , então ̇
Propriedade fundamental: a derivada com relação ao tempo do logaritmo de uma 
variável é a taxa de crescimento dessa variável.
Exemplo: 
̇
Tire o log e derive
Suponha a seguinte função Cobb- Douglas 
Se tirarmos os logaritmos de ambos os lados
Utilizando a propriedade 3
Tire o log e derive
Derivando ambos os lados em relação ao tempo vemos observar como a taxa de crescimento do 
produto se relaciona com o crescimento dos insumos.
O que implica
̇
=
̇
)
̇
, 
O que implica dizer que a taxa de crescimento do produto é uma média 
ponderada das taxas de crescimento do capital e do trabalho
Razões e taxas de crescimento
Suponhamos agora que e que é constante ao longo do 
tempo, ou seja, Tirando o logaritmo e derivando em 
relação ao tempo:
= -
Portanto, se a razão entre duas variáveis é constante, as taxas 
de crescimento devem ser iguais. 
Imagine uma variável que apresente crescimento exponencial
poderia medir o produto per capita de uma economia, 
+ portanto a taxa de crescimento poderia ser calculada por 
meio de 
Ou poderíamos calcular a taxa de crescimento entre 
os tempo 
A integração é, em termos de cálculo, o equivalente a soma.
Ou seja, o produto é o somatório de 10 insumos diferentes.
Em termos de integrais teríamos :
Importante recordar que integrais e derivadas são como
multiplicação e divisão, elas se “cancelam”
mutuamente.
Em que é uma constante e
Suponhamos que uma variável cresça a uma taxa constante
, isto é:
O que isso significa a respeito do nível de x? Para responder
isso observe que a taxa de crescimento de x é a derivada do
logaritmo:
Resolvemos essa equação diferencial aplicando integrais.
Reescrevendo a equação diferencial
Agora integramos os dois lados da equação
o que implica que:
Em que mais uma vez C é uma constante. Portanto, o logaritmo
natural de uma variável que cresce a uma taxa constante é uma
função linear do tempo.
Tirando o exponencial dos dois lados, obtemos:
o que implica que:
Em que mais uma vez C é uma constante. Portanto, o logaritmo
natural de uma variável que cresce a uma taxa constante é uma
função linear do tempo.
Tirando o exponencial dos dois lados, obtemos: