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P1 de Álgebra Linear II
02/04/09
-----------------Gabarito--------------------
1ª. Questão
Considere a matriz A abaixo:
=
3764
4221
3642
2
1
2
1
A
a. Diga s e existe uma fatoração LU (i sto é, se existem matrizes L e U, tal que L é tri angular inferior
com diagonal principal com entradas todas 1 e U trian gular superior, com A = LU). Se existir,
encontre-a. Se n ão existir, demonstre este fato e encontre uma matriz de permutação P tal que
PA admita uma fatoração LU e encontre estas matriz es L e U.
b. Resolva usando a decomposição LU obtida no item a, o sis tema Ax=(1,7,0,2)
c. Calcule o determinante de A.
LUPA
=
=
=
9000
2100
5320
2
1
2
1
1402
0101
0014
0
0
0
1
3764
4221
3642
2
1
2
1
0010
0100
1000
0
0
0
1
Para resolver o sistema o sistema Ax=(1,7, 0,2), precisamos fazer PAx=Pb, logo vamos resolver:
=
2
0
7
1
0010
0100
1000
0
0
0
1
9000
2100
5320
2
1
2
1
1402
0101
0014
0
0
0
1
4
3
2
1
x
x
x
x
, resolvemos primeiro
=
7
1
2
1
1402
0101
0014
0
0
0
1
4
3
2
1
y
y
y
y
temos então que
1
1
=
y
,
2
2
=
y
,
1
3
=
y
e
9
4
=
y
. Finalmente,
resolvendo
=
9
1
2
1
9000
2100
5320
2
1
2
1
4
3
2
1
x
x
x
x
, obtemos
8
1
=
x
,
5
2
=
x
,
1
3
=
x
e
1
4
=
x
.
Conferindo:
=
=
2
0
7
1
1
1
5
8
3764
4221
3642
2
1
2
1
Ax
. O det(A)=Det(P
-1
).det(L).det(U)=-1x1x18=-18
2ª. Questão
Considere a matriz
=
110
220
112
1
1
2
T
a. Determine uma base para o espaço nulo de T
b. Determine a(s) equação(ões) para o espaço linha de T
c. Determine uma base para a imagem de T.
d. O sistema
)
2
,
1
,
1
,
1
=
Tx
tem solução? Caso sua resposta seja afirmativa, calcule-a.
e. Se você formar um c onjunto S com os vet ores qu e encontrou no i tem c, q uantos vetores
no máximo, você pode adicionar a S d e modo qu e este conjunto ainda seja LI.
Exemplifique.
Escalonando T obtemos
000
000
110
1
0
1
, portanto uma base para o es paço nulo é S
nulo
={(-1,-1,1)}, uma
base para o espaço linha é S
linha
={(1,0,1),(0, 1,1)}, logo a equação para o espaço linha é x
1
+x
2
-x
3
=0.
Uma base para a imagem é {(1,-1,0,0),(0,0,1,√2/2)}, logo achando as equações para a imagem
temos:
0
2
1
=
+
x
x
e
0
2
2
4
3
=
x
x
. Como o vetor
)
2
,
1
,
1
,
1
não atende as equaçõe da
imagem, ele não pertence a imagem e portanto o sistema não tem solução. Como imagem é um
subespaço de dimensão 2 em R
4
, podemos adicionar no máximo mais 2 vetores de modo que o conjunto
continue LI.