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Disciplina:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica1.640 materiais52.959 seguidores
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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 8

CÔNICAS

Muitas descobertas importantes em matemática e em outras ciências estão relacionadas às
seções cônicas. Desde os tempos dos gregos clássicos como Arquimedes, Apolônio entre outros, já havia
estudos sobre essas curvas. No texto "Elementos de Euclides" (270 a.C.) tratavam de elipses, hipérboles e
parábolas ou, para usarmos o nome comum, seções cônicas. Estas são curvas obtidas quando um plano
intercepta um cone de revolução. Existe uma teoria completa das cônicas num tratado de Apolônio (200
a.C.). Ele mostra, por exemplo, que uma elipse é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal
modo que a soma de suas distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes e também que
uma hipérbole é o lugar descrito por um ponto que se movimenta de tal modo que a diferença de suas
distâncias a dois pontos dados, os focos, permanecem constantes. Desde o tempo de Apolônio que as seções
cônicas têm contribuído para descobertas importantes na Física. Em 1604, Galileu descobriu que,
lançando-se um projétil horizontalmente do topo de uma torre, supondo que única força atuante seja a da
gravidade, sua trajetória é uma parábola Kepler (que era mais astrônomo e físico do que matemático)
descobriu por volta de 1610 que os planetas se movem em elipses com o sol num dos focos. Por volta de
1686, Newton provou em seu livro "Principia Mathematica" que isso pode ser deduzido da lei de gravitação
e das leis da Mecânica. A pedra angular da Mecânica Quântica é o teorema espectral para transformações
lineares auto-adjuntas, descendentes das seções cônicas. Nos resultados obtidos por Newton sobre o
movimento planetário, aparece a equação das cônicas em coordenadas polares. A hipérbole é utilizada no
estudo descritivo da expansão dos gases em motores a explosão. A parábola é a curva que descreve a
trajetória de um projétil, desprezando a resistência do ar. Aparece ainda na construção de espelhos
parabólicos, utilizados em faróis de automóveis e em antenas parabólicas.

Como vimos no pequeno histórico acima, as seções cônicas são curvas planas
obtidas da interseção de um plano com um cone de revolução. São elas: a parábola, a
elipse e a hipérbole. A circunferência não é considerada uma cônica, apesar de poder
ser obtida também por uma seção de um cone. Devido a sua inquestionável
importância na matemática, em particular na geometria, e em outras ciências,
estaremos também introduzindo o estudo da circunferência.

Circunferência

Hipérbole Parábola

Elipse

80

1 EXPRESSÃO GERAL DE UMA CÔNICA

As cônicas e a circunferência são figuras planas. Portanto, suas representações

serão realizadas no plano cartesiano (ℜ2).
A expressão geral de uma cônica, exceto para a circunferência, é uma equação

do 2º grau da forma: 0FEyDxCyBxyAx 22 =+++++ .

O termo "xy" da equação geral das cônicas é chamado de "termo retângulo".

Quando a equação geral apresentar o termo retângulo, dizemos que a equação é

"degenerada". Quando a equação geral não apresentar o termo retângulo,

simplesmente chamares de equação geral. Geometricamente, a diferença entre a

equação geral e a equação geral degenerada está na posição da cônica em relação

aos eixos coordenados. Quando a equação geral é degenerada o eixo de simetria da

cônica é inclinado em relação aos eixos coordenados e quando a equação geral não é

degenerada o eixo de simetria da cônica é paralelo a um dos eixos coordenados.

Neste capítulo estaremos estudando somente as cônicas com equação geral não

degenerada. Posteriormente, quando introduzirmos o estudo de translação e rotação

de eixos, estudaremos as cônicas com equação geral degenerada.

Como a equação geral das cônicas apresenta uma expressão semelhante para

todas, ou seja, 0FEyDxCyBxyAx 22 =+++++ , uma forma de identificar a cônica

através da sua equação geral é utilizar a seguinte classificação:










⇒>−

⇒=−

⇒<−

hipérbole0AC4Bse
parábola0AC4Bse
elipse0AC4Bse

2

2

2

Por exemplo:

a) Se 04y4x4y5xy6x5 22 =−+−++ ⇒ 064AC4B2 <−=− ⇒ elipse.

b) Se 03y4x2yxy2x 22 =+−++− ⇒ 0AC4B2 =− ⇒ parábola.

c) Se 024x224y3xy18x3 22 =−+++ ⇒ 0288AC4B2 >=− ⇒ hipérbole.

Elipse de equação geral
não degenerada

x

y eixo de simetria

Elipse de equação geral
degenerada

x

y
eixo de simetria

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CIRCUNFERÊNCIA

Definição: é o lugar geométrico dos pontos do plano eqüidistantes de um ponto fixo

C (centro) do mesmo plano.

OBS: O segmento que une qualquer ponto da circunferência ao centro é chamado de

raio, denotado pela letra r. O segmento que une dois pontos quaisquer da

circunferência passando pelo centro e chamado de diâmetro, denotado pela letra d.

Vale a relação r2d = .

Seja a circunferência de centro C(m,n) e raio r. Seja P(x,y) um ponto qualquer

da circunferência.

Temos que r|CP| = , que é a equação vetorial da circunferência. Como

)ny,mx(CP −−= , então: r)ny()mx(|CP| 22 =−+−= , logo 222 r)ny()mx( =−+− .

Esta expressão é chamada de equação reduzida da circunferência.

O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,

uma equação do tipo 0edycxbyax 22 =++++ , e são assim que geralmente elas

aparecem na literatura.

Outra equação importante são as equações paramétricas, as quais são

definidas como segue. Na figura anterior, vamos determinar o senθ e o cosθ no

triângulo CPS.

θ+=⇒−=θ senrny
r
ny

sen e θ+=⇒−=θ cosrmx
r
mx

cos

As equações paramétricas da circunferência são:




θ+=
θ+=

senrny
cosrmx

, pi≤θ≤ 20 .

Exemplo (1): Determine as coordenadas do centro e o raio da circunferência

03y6x4yx 22 =−+−+ .

P(x,y)
y

x m Ox

n
C

r θ
S

Oy

O

r

82

Solução: Note a circunferência foi dada na forma da sua equação geral. Para

determinarmos o centro e o raio e necessário passar para forma reduzida,

completando os quadrados. Então:

0399y6y44x4x
22 )3y(

2

)2x(

2
=−−+++−+−

+−
��������������

 ⇒ 16)3y()2x( 22 =++− . Agora na forma da

equação reduzida podemos ver que o centro é igual C(2,-3) e o raio é igual a r = 4.

Exemplo (2): Determine a equação reduzida da circunferência, sabendo-se que um

de seus diâmetros é o segmento de extremos A(1,3) e B(5,-3).

Solução: O diâmetro é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência

passando pelo centro e vale r2d = . Logo o centro C(m,n) da circunferência é ponto

médio do diâmetro. Então: )0,3(
2
33

,
2
51

)n,m(C =






 −+
= . A distância entre A e B é o

valor do diâmetro. Assim, 132)33()15(|AB|d 22 =−−+−== , logo 13
2
d

r == .

Portanto, a equação reduzida é 13y)3x( 22 =+− .

ELIPSE

Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 do plano, com c2FF 21 = , chamamos de

elipse o lugar geométrico dos pontos deste plano, cuja soma das distâncias aos

pontos F1 e F2 é uma constante 2a>2c.

• C(m,n) é o centro;

• A1, A2, B1 e B2 são vértices;

• F1 e F2 são focos;

• a2AA 21 = é o eixo maior;

• b2BB 21 = é o eixo menor;

• c2FF 21 = é a distância focal;

• Relação notável para elipse: Do triângulo CB1F2 vem que 222 cba += .

n

m

P

B2

B1

A1 A2

Oy

Ox

F1 F2 C

a

c

b

O

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• Excentricidade:
a
c

e = . A excentricidade mede a abertura das cônicas, ou seja,

quanto mais "arredondada" ou "achatada" é a figura. Como, para elipse, c < a,

então 1e0 << . Assim, quanto mais próximo de 1 estiver a excentricidade, mais

achatada (alongada) é a elipse e, quanto mais próximo de zero, mais arredondada

ela será.

Seja P(x,y) um ponto qualquer da elipse. A distância do ponto P ao foco F1 é

dada por |PF| 1 e a distância do ponto P ao foco F2 é dada por |PF| 2 . Portanto, pela

definição da elipse escrevemos a expressão a2|PF||PF| 21 ====++++ chamada de equação

vetorial da elipse.

O desenvolvendo da equação vetorial resulta
Juliana Lopes fez um comentário
  • vc tem a resolução dos exercícios propostos?
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