GA_cap_08
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GA_cap_08

Disciplina:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica1.643 materiais53.021 seguidores
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em outra expressão chamada de

equação reduzida da elipse. Vamos fazer este desenvolvimento.

Considere uma elipse de centro )n,m(C , focos )n,cm(F1 − e )n,cm(F2 + e eixo

maior horizontal, ou seja, o eixo maior da elipse 21AA é paralelo ao eixo coordenado

Ox. Seja )y,x(P um ponto qualquer da elipse como mostra a figura abaixo.

Temos que:

( ) ( )
( ) ( )





−−−=⇒−+−=

−+−=⇒−−−=

ny,c)mx(PFny),cm(xPF

ny,c)mx(PFny),cm(xPF

22

11 ⇒
[ ]
[ ]






−+−−=

−++−=

22
2

22
1

)ny(c)mx(|PF|

)ny(c)mx(|PF|

 Como a2|PF||PF| 21 =+ ⇒ |PF|a2|PF| 21 −= . Elevando ao quadrado ambos os lados

desta última igualdade vem que: ( )2221 |PF|a2|PF| −= ⇒
2

22
22

1 |PF||PF|a4a4|PF| +⋅−= ⇒ |PF|a4a4|PF||PF| 2
22

2
2

1 ⋅−=− ⇒

[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 22
2

22
2

22
⋅−=








−+−−−








−++− ⇒

[ ] [ ] |PF|a4a4)ny(c)mx()ny(c)mx( 222222 ⋅−=−−−−−−++− ⇒
|PF|a4a4c)mx(c2)mx(c)mx(c2)mx( 2

22222
⋅−=−−+−−+−+− ⇒

n

m

P

B2

B1

A1 A2

Oy

Ox

F1 F2 C
c

O

c

m-c m+c x

y

84

|PF|a4a4)mx(c4 2
2

⋅−=− ⇒ |PF|aa)mx(c 2
2

⋅−=−− . Elevando ambos os membros

ao quadrado vem que:

[ ] ( )2222 |PF|aa)mx(c ⋅−=−− ⇒ [ ] 22222 |PF|)a(a)mx(c ⋅−=−− ⇒
[ ] [ ] 222222 )ny(c)mx()a(a)mx(c 








−+−−⋅−=−− ⇒

( )22224222 )ny(c)mx(c2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−⋅=+−−− ⇒
22222224222 )ny(aca)mx(ca2)mx(aa)mx(ca2)mx(c −++−−−=+−−− ⇒

0caa)ny(a)mx(a)mx(c 224222222 =−+−−−−− ⇒

0)ca(a)ny(a)mx()ac( 22222222 =−⋅+−−−⋅− (*)

Pela relação notável da elipse 222 cba += ⇒ 222 bca =− . Substituindo na equação

(*) vem que:

0ba)ny(a)mx(b 222222 =⋅+−⋅−−⋅− ⇒ 222222 ba)ny(a)mx(b −=−⋅−−⋅−

Dividindo todos os termos da equação por ( 22 ba ⋅− ) vem que:

22

22
2

22

2
2

22

2

ba

ba
)ny(

ba

a
)mx(

ba

b

−

−

=−⋅

−

−−⋅

−

−

 ⇒ 1)ny(
b

1
)mx(

a

1 2
2

2
2

=−⋅+−⋅

e finalmente obtemos a equação reduzida da elipse: 1
b

)ny(

a

)mx(
2

2

2

2
====

−−−−

++++
−−−−

Esta expressão acima demonstrada é a equação reduzida de uma elipse de eixo

maior horizontal (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Ox), mas existem as elipses de

eixo maior vertical (eixo maior 21AA paralelo ao eixo Oy) e suas equações são

diferentes. O desenvolvimento para obtermos a equação reduzida de uma elipse de

eixo maior vertical é análogo ao que fizemos para a elipse de eixo maior horizontal e,

portanto, não apresentaremos este desenvolvimento. De uma forma geral temos:

Equação Reduzida:

a) Elipse de eixo maior horizontal: 1
b

)ny(

a

)mx(
2

2

2

2
====

−−−−

++++
−−−−

b) Elipse de eixo maior vertical: 1
a

)ny(

b

)mx(
2

2

2

2
====

−−−−

++++
−−−−

OBS: Em uma elipse, se a = b, temos que 222 cba += ⇒ 222 caa += ⇒ 0c = .

Fazendo a = b na equação reduzida vem que: 1
a

)ny(

a

)mx(
2

2

2

2
=

−

+
−

 ⇒

85

222 a)ny()mx( =−+− , que é a equação de uma circunferência de raio R = a, ou

seja, a circunferência pode ser considerada uma elipse de excentricidade nula, pois,

0
a
0

a
c

e === .

Desenvolvendo-se a equação reduzida da elipse obtém-se outra expressão

chamada de equação geral, a qual tem a forma 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα . Vamos
fazer este desenvolvimento para o caso de uma elipse de eixo maior horizontal, cuja

equação reduzida é 1
b

)ny(

a

)mx(
2

2

2

2
=

−

+
−

. Multiplicando toda a equação por 22ba

vem que: 22
2

222

2

222
ba

b

)ny(ba

a

)mx(ba
=

−

+
−

 ⇒ 222222 ba)ny(a)mx(b =−⋅+−⋅ ⇒

22222222 ba)nny2y(a)mmx2x(b =+−⋅++−⋅ ⇒

0banayna2yambxmb2xb 222222222222 =−+−++− ⇒

0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222 =−++−−+ . Fazendo:

� �
0)bambna(yna2xmb2yaxb 222222222222 =−++−−+

φθγβα
���� ����� ������������

, obtém-se a equação geral

da elipse 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .

Considere como na figura abaixo, uma elipse E de eixo maior horizontal, com

centro em )n,m(C , com eixo maior a2AA 21 = e eixo menor b2BB 21 = , a

circunferência Ci com centro em )n,m(C e raio igual a "b", inscrita na elipse, a

circunferência Cc com centro em )n,m(C e raio igual a "a", circunscrita na elipse e

)y,x(P EE um ponto qualquer da elipse E.

Por P, traça-se uma paralela ao eixo Oy, que determina em Cc o ponto )y,x(R cc

e uma paralela ao eixo Ox, que determina em Ci o ponto )y,x(M ii . De acordo com as

equações paramétricas de uma circunferência tem-se:





θ⋅+=
θ⋅+=

senbny
cosbmx

:)I(
i

i e




θ⋅+=
θ⋅+=

senany
cosamx

:)II(
c

c , pi≤θ≤ 20 .

Por outro lado, os pontos C, M e R são colineares. De fato:

0
1asenncosam
1bsenncosbm
1nm

=

θ+θ+
θ+θ+

86

Equivalentemente, o segmento PM é paralelo ao eixo Ox. Dessa forma, cE xx = e

iE yy = , ou seja:




θ⋅+=
θ⋅+=

senbny
cosamx

:)I(
E

E , pi≤θ≤ 20 . Portanto, as equações

paramétricas da elipse são:




θ⋅+=
θ⋅+=

senbny
cosamx

E

E , pi≤θ≤ 20 .

Analogamente podem ser determinadas as equações paramétricas de uma

elipse de eixo maior vertical. De uma forma geral temos:

Equações Paramétricas:

a) Elipse de eixo maior horizontal:




θθθθ++++====
θθθθ++++====

bsenny
cosamx

, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

b) Elipse de eixo maior vertical:




θθθθ++++====
θθθθ++++====

asenny
cosbmx

, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte

identificação: da equação reduzida temos 1
b
ny

a
mx 22

=






 −
+







 −
. Usando a relação

fundamental da trigonometria 1sencos 22 =θ+θ e, confrontando as duas expressões

teremos:
a
mx

cos
−

=θ ⇒ θ+= cosamx e
b
ny

sen
−

=θ ⇒ θ+= senbny .

Exemplo (3): Determine o centro, vértices, focos e a excentricidade da elipse

x2+4y2-4x-32y+32=0.

Solução: Como a elipse foi dada na sua forma normal, devemos completar os

quadrados e passá-la para a forma reduzida. Então:

Ox

Oy
R

m xE=xc

yE=yi

B2

B1

A1
A2

C

P

Q

M

N n
θ

Cc

Ci

87

032)1616y8y(444x4x
22 )4y(

2

)2x(

2
=+−+−+−+−

−

−

�� ��� ���������
 ⇒ 032644)4y(4)2x( 22 =+−−−+− ⇒

⇒
36
36

36
)4y(4

36
)2x( 22

=

−

+
−

 ⇒ 1
9
)4y(

36
)2x( 22

=

−

+
−

. Como 22 ba > , então







=⇒=

=⇒=

3b9b

6a36a
2

2
, e a elipse é de eixo maior horizontal. Da relação notável vem que

33ccba 222 =⇒+= . Da equação reduzida temos que o centro é C(2,4).

)4,4()n,am(A1 −=− , )4,8()n,am(A2 =+ , )7,2()bn,m(B1 =+ , )1,2()bn,m(B2 =− ,

)4,332()n,cm(F1 −=− e )4,332()n,cm(F2 +=+ .

Exemplo (4): Determine a equação reduzida da elipse de excentricidade
5
4
, cujos

focos são pontos da reta 04x =+ e sendo B1(-1,3) um dos extremos do eixo menor.

Solução: Como os focos estão sobre a reta 4x −= , trata-se de uma elipse de eixo

maior vertical. Geometricamente podemos determinar o centro )3,4(C − , 3b = e

)3,7(B2 − . Como 5
4

a
c

e == ⇒ a
5
4

c = . Da relação ⇒+= 222 cba ⇒







+=

2
22 a

5
4

3a

⇒=− 9a
25
16

a 22 5a = e 4c = .

 Portanto, a equação reduzida será 1
25

)3y(
9
)4x( 2

=

−

+
+

.

332 − 332 + 8

B2

B1

A2 A1

y

x

F1 F2
C

2 -4

4

x

y

7

8

-2

-7 -1 -1

3

x −=

-4

88

HIPÉRBOLE

Definição: Dados dois pontos fixos F1 e F2 de um plano, tais que c2FF 21 = ,

chamamos de hipérbole o lugar geométrico dos pontos do plano, cujo módulo da

diferença das distâncias aos pontos F1 e F2 é uma constante c2a2 < .

Seus elementos são:

• C(m,n) é o centro;

• A1, A2 são vértices;

• F1 e F2 são focos;

• a2AA 21 = é o eixo real (ou eixo transverso);

• b2BB 21 = é o eixo imaginário (ou eixo conjugado);

• c2FF 21 = é a distância focal;

• Relação notável para elipse: Do triângulo CA2Q ⇒ 222 bac +=

• Excentricidade:
a
c

e = . Como, para hipérbole, ca < , então 1e > . Assim, quanto

mais próximo de 1 estiver à excentricidade, mais fechados são os ramos da

hipérbole e, mais abertos eles serão
Juliana Lopes fez um comentário
  • vc tem a resolução dos exercícios propostos?
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