GA_cap_08
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GA_cap_08

Disciplina:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica1.643 materiais53.017 seguidores
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à medida que a excentricidade se afasta de 1.

• As retas (r1) e (r2) são chamadas de assíntotas. Elas são muito úteis no esboço da

hipérbole, norteando a abertura dos ramos, uma vez que, os ramos não

interceptam e nem tangenciam as assíntotas. Suas equações são determinadas

por: )mx(
a
b

)ny( −±=− para hipérbole de eixo real horizontal (eixo real 21AA

paralelo ao eixo Ox) e )mx(
b
a

)ny( −±=− para hipérbole de eixo real vertical (eixo

real 21AA paralelo ao eixo Oy).

y

x

P

n

m

(r1)

F1 F2 A1 A2

B2

B1

C a

c b

(r2)

Q

89

Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. Pela definição temos que:

a2|PF||PF| 21 ====−−−− que é a equação vetorial da hipérbole.

A exemplo do que foi realizado com a elipse, o desenvolvimento da equação

vetorial resulta na equação reduzida. Então:

Equação reduzida:

a) Hipérbole de eixo real horizontal: 1
b

)ny(

a

)mx(
2

2

2

2
====

−−−−

−−−−

++++
−−−−

b) Hipérbole de eixo real vertical: 1
a

)ny(

b

)mx(
2

2

2

2
====

−−−−

++++
−−−−

−−−−

O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral, ou seja,

uma equação da forma: 0yxyx 22 ====φφφφ++++θθθθ++++γγγγ++++ββββ++++αααα .
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal como na figura abaixo, com

centro em )n,m(C , com eixo real a2AA 21 = , imaginário b2BB 21 = e distância focal

c2FF 21 = . Traça-se uma circunferência C1 com centro em )n,m(C e raio igual a "c", a

circunferência C2 com centro em )n,m(C e raio igual a "a" e uma das assíntotas (r1).

A1

A2

C

m

n

hipérbole de eixo real vertical

A1 A2

m

n
C

hipérbole de eixo real horizontal

Q

F1

P

F2
A1 A2

C
a

c

y=b+n

n

m x=m+c

θ

(r1)
C1 C2

B1

B2

b

90

Seja P(x,y) um ponto qualquer da hipérbole. A interseção da assíntota (r1) com

a circunferência C1 é o ponto Q. Pelos pontos Q e A2, traça-se uma paralela ao Oy.

Pela construção temos que ba = e as coordenadas do ponto P(x,y) são cmx += e

bny += . Do triângulo retângulo CA2Q vem que:

c
a

cos =θ ⇒
θ

=

cos
1

a
c

 ⇒ θ=− secamx ⇒ θ+= secamx

a
b

tg =θ ⇒ θ= atgb ⇒ θ=− btgny ⇒ θ+= btgny .

Analogamente, podemos demonstrar as equações paramétricas para uma

hipérbole de eixo real vertical. Assim:

Equações Paramétricas

a) Hipérbole de eixo real horizontal:




θθθθ++++====
θθθθ++++====

btgny
secamx

, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

b) Hipérbole de eixo real vertical:




θθθθ++++====
θθθθ++++====

secany
btgmx

, pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤ 20

OBS: É muito comum determinar as equações paramétricas fazendo a seguinte

identificação: da equação reduzida temos 1
b
ny

a
mx 22

=






 −
−







 −
. Usando a relação da

trigonometria 1tgsec 22 =θ−θ . Confrontando as duas expressões teremos:

a
mx

sec
−

=θ ⇒ θ+= secamx e
b
ny

tg
−

=θ ⇒ θ+= btgny .

Exemplo (5): Determine os focos e os vértices da hipérbole de equação normal

0199y64x18y16x9 22 =−−−− .

Solução: Escrevendo a equação na forma reduzida teremos:

0199)44y4y(16)11x2x(9 22 =−−++−−+− ⇒

0199649)2y(16)1x(9 222 =−+−+−− ⇒ 144)2y(16)1x(9 222 =+−− ⇒

144
144

144
)2y(16

144
)1x(9 22

=

+
−

−

 ⇒ 1
9
)2y(

16
)1x( 22

=

−

+
+

−

 ou 1
9
)2y(

16
)1x( 22

=

+
−

−

.

A equação reduzida mostra que a hipérbole é de eixo real horizontal e,

4a16a2 =⇒= , 3b9b2 =⇒= . Da relação notável: 222 bac += ⇒ 5c = . O centro é

C(m,n) = (1,-2).

vértices:




−=−

−=+

)2,3()n,am(A
)2,5()n,am(A

2

1 focos:




−=−

−=+

)2,4()n,cm(F
)2,6()n,cm(F

2

1

91

Exemplo (6): O eixo real de uma hipérbole é vertical e suas assíntotas são as retas

03yx2:)r( 1 =−+ e 03yx2:)r( 2 =+− . Escreva sua equação reduzida sabendo-se

que ela passa pelo ponto P(0,7) e faça um esboço.

Solução: A interseção das assíntotas é o centro C(m,n). Resolvendo o sistema linear





=+−

=−+

03yx2
03yx2
, determinamos o centro C(0,3). Fazendo uma identificação com as

equações das assíntotas )mx(
b
a

)ny( −±=− e




+=

+−=

3x2y
3x2y
, determinamos os

coeficientes angulares 2
b
a ±= . Dai, podemos escrever que a=2b. Como a hipérbole

passa pelo ponto P(4,6)=(x,y), então ele satisfaz a equação reduzida

1
a

)ny(

b

)mx(
2

2

2

2
=

−

+
−

−

.Logo: 1
)b2(

)37(

b

)00(
2

2

2

2
=

−

+
−

−

 ⇒ 1
b4

16

b

0
22

=+
−

 ⇒ 2b = e

4a = . Portanto, a equação reduzida é 1
16

)3y(
4

x 22
=

−

+
−

.

4 PARÁBOLA

Definição: É o lugar geométrico dos pontos do plano, eqüidistantes de uma reta (d)

fixa e de um ponto fixo (F), não pertencente à reta (d).

Os elementos da parábola são:

• Vértice: V(m,n)

• F: foco

• (d): reta diretriz

A1

A2

C(0,3)

-1

3

7

(r2) (r1)

-1 1

Q

O

2
p

m

(d)

P

F V n

2
p

R

92

• A reta que passa por F e V é o eixo de simetria da parábola

• O segmento pRF = , onde p é chamado de parâmetro da parábola

• Os segmentos
2
p

VFRV ==

Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pela definição temos que:

|FP||QP| ==== que é a equação vetorial.

O desenvolvimento da equação vetorial resulta na equação reduzida. Considere

uma parábola com eixo de simetria horizontal (paralelo ao eixo Ox) como na figura

abaixo. Então sua equação vetorial é |FP||QP| = . Como )y,x(P , 






− y,mQ
2
p e






 + n,mF

2
p , vem que 





 +−= 0,mxQP

2
p e 







−−−= ny,mxFP
2
p . Assim:

|FP||QP| = ⇒ 2
2

2
p2

2
p )ny()mx()mx( −+







−−=




 +− ⇒

2
2

2
p2

2
p )ny()mx()mx( −+







−−=




 +− ⇒

 ⇒ 2
4
p2

4
p2 )ny(p)mx()mx(p)mx()mx(

22
−++⋅−−−=+⋅−+− ⇒

)mx(p2)ny( 2 −⋅=− . Que é a equação reduzida de uma parábola com eixo de

simetria horizontal.

Analogamente demonstra-se a equação reduzida de uma parábola com eixo de

simetria vertical (paralelo ao eixo Oy). Então:

Equação reduzida:

a) Parábola com eixo de simetria horizontal:







±±±±====

−−−−====−−−−

2
p

mx:diretriztaRe

)mx(p2)ny( 2

b) Parábola com eixo de simetria vertical:







±±±±====

−−−−====−−−−

2
p

ny:diretriztaRe

)ny(p2)mx( 2

Q

O

2
p

m

(d)

P

F V n

2
p

R

2
pm +

2
pm − x

y

93

O desenvolvimento da equação reduzida resulta na equação geral. Para uma

parábola com eixo de simetria horizontal temos:

)mx(p2)ny( 2 −⋅=− ⇒ pm2px2nny2y 22 −=+− ⇒ xm
p2

n
y

p
n

y
p2
1 22

=++− .

Fazendo:
p2
1

a = ,
p
n

b = e m
p2

n
c

2
+= , temos a expressão cbyayx 2 ++++++++==== , que é a

equação geral de uma parábola de eixo de simetria horizontal. Note que neste caso

a variável x esta em função da variável y, ou seja, )y(fx ==== . Analogamente, obtemos

a equação geral de uma parábola com eixo de simetria vertical que é dada por

cbxaxy 2 ++++++++==== , e neste caso a variável y está em função da variável x, ou seja,

)x(fy ==== .

Considere uma parábola com eixo de simetria horizontal com vértice )n,m(V ,

reta diretriz (d). Seja P(x,y) um ponto qualquer da parábola. Pelo vértice V, traça-se

uma reta paralela ao eixo Oy obtendo o ponto S.

Do triângulo retângulo RSV vem que:
2

p
ny

tg
−

=θ ⇒ θ=− tg
2
p

ny ⇒ θ+= tg
2
p

ny .

Como θ=− 2
2

2 tg
4
p

)ny( e )mx(p2)ny( 2 −=− , igualando as duas expressões vem que:

θ=− 2
2
tg

4
p

)mx(p2 ⇒ θ+= 2tg
8
p

mx . Essas são as equações paramétricas para uma

parábola com eixo de simetria horizontal. Analogamente, pode-se demonstrar as

equações paramétricas de uma parábola com eixo de simetria vertical. Então:

Equações Paramétricas:

a) Parábola com eixo de simetria horizontal: pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤










θθθθ++++====

θθθθ++++====
20,

tg
2
p

ny

tg
8
p

mx 2

b) Parábola com eixo de simetria vertical: pipipipi≤≤≤≤θθθθ≤≤≤≤









Juliana Lopes fez um comentário
  • vc tem a resolução dos exercícios propostos?
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