GA_cap_08
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GA_cap_08

Disciplina:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica1.643 materiais53.017 seguidores
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θθθθ++++====

θθθθ++++====
20,

gcot
8
p

ny

gcot
2
p

mx

2

2
p

S y

x

Q

R

m

(d)

P(x,y)

F V n θ

94

Exemplo (7): Determine o vértice, foco e a reta diretriz da parábola 8x6xy 2 +−= .

Faça um esboço da parábola.

Solução: A equação dada está na forma normal e é de uma parábola de eixo vertical

com concavidade para cima. Vamos passar para forma reduzida, então:

899x6xy
2)3x(

2 +−+−=

−

�������
 ⇒ )1y(1)3x( 2 +⋅=− . Identificando com a equação

)ny(p2)mx( 2 −=− , temos que o vértice V(m,n) = (3,-1) e 2p = 1 ⇒
4
1

2
p

e
2
1

p == .

Logo, o foco é ),3()n,m(F 4
3

2
p

−=+ e a reta diretriz (d): 4
5y −= .

Exemplo (8): O foco de uma parábola é o ponto F(4,3) e sua reta diretriz é (d):

x=2. Determine sua equação normal e as equações paramétricas.

Solução: Se a diretriz é a reta x = 2, então a parábola é de eixo horizontal. O vértice

V(m,n) é ponto médio do segmento QF que une a reta diretriz ao foco, logo V(3,3) e

o parâmetro p = 2. Como o foco está à direita da diretriz, sua concavidade é voltada

para a direita. Veja a figura abaixo. Desenvolvendo a equação reduzida obtemos a

equação normal:

)3x(4)3y()mx(p2)ny( 22 −=−⇒−=− ⇒ 12x49y6y2 −=+− ⇒
4
21

y
2
3

y
4
1

x 2 +−=

As equações paramétricas são:










θ+=

θ+=

tg
2
p

ny

tg
8
p

mx 2

 ⇒







θ+=
θ+=

tg3y

tg
4
1

3x 2

8

4 2

1−
4

3
−

4
5

−

3

F

V (d)

2 3

Q

p

4

(d)

F V 3

95

Exercícios Propostos

1) Determine a equação geral da circunferência que tem centro sobre o eixo Ox e na

qual uma de suas cordas tem por extremo os pontos A(6,4) e B(3,-5).

Resp: 016x6yx 22 =−−+

2) Escrever a equação geral da circunferência que passa pelos pontos A(0,1), B(1,2) e

C(1,8). Resp: 09y10x6yx 22 =+−++

3) Um satélite em órbita elíptica e excentricidade 3
1 , viaja ao redor da Terra, situada

num dos focos da trajetória do satélite. Sabendo-se que a distância mais próxima do

satélite a Terra é de 300 Km, calcular a maior distância. Resp: 600 Km

4) Dada à elipse de equações paramétricas




θ+=
θ+=

sen32y
cos53x

, determine a interseção

dela com a reta
5
14x3

y:)r(
−

= . Resp: A(8,2) e B(3,-1)

5) Uma hipérbole eqüilátera é aquela em que ab = . Determine a equação reduzida e

as equações paramétricas de uma hipérbole eqüilátera de focos F1(-4,0) e F2(4,0).

Resp:






θ=
θ=

=+
tg22y
sec22xe8yx 22

6) Mostre que a equação Eyx4 22 =− , sendo ℜ∈E e 0E ≠ , representa uma família

de hipérboles de excentricidade constante igual a 5 .

7) Determine o parâmetro, o foco, o vértice e a reta diretriz da parábola de equação

x12y2 = . Resp: 3x:)d(e)0,3(F),0,0(V,6p −==

8) Determine o parâmetro, o vértice, o foco e a reta diretriz da parábola

3x2xy 2 ++−= . Resp:
4
17

y:)d(e
4
15
,1F),4,1(V,

2
1

p =







=
Juliana Lopes fez um comentário
  • vc tem a resolução dos exercícios propostos?
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