O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada
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O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada

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O Determinante como uma Forma Multilinear

Alternada

Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi

21 de maio de 2004

Uma func¸a˜o f do conjunto das matrizes n× n em R e´ chamada forma multilinear
ou n-linear se para qualquer matriz A, n× n, e escalares α e β,

f




A1
...

Ak−1
αX + βY
Ak+1
...
An




= αf




A1
...

Ak−1
X

Ak+1
...
An




+ βf




A1
...

Ak−1
Y

Ak+1
...
An




,

onde X = [x1 . . . xn ] e Y = [ y1 . . . yn ].

Teorema 1. Se f e´ uma forma multilinear, enta˜o para qualquer matriz A, n× n,

f




A1
...

An


 =

n∑
k1=1

n∑
k2=1

. . .

n∑
kn=1

a1k1a2k2 . . . anknf




Et
k1

...

Et
kn




Demonstrac¸a˜o. Cada linha i pode ser escrita como

Ai =
n∑

ki=1

aikiE
t

ki
.

1

2
Assim, aplicando-se a multilinearidade segue que

f




A1
...
An


 = f




∑
n

k1=1
a1k1E

t

k1

...∑
n

kn=1
anknE

t

kn


 =

n∑
k1=1

a1k1f




Et
k1∑

n

k2=1
a2k2E

t

k2=1
...∑

n

kn=1
anknE

t

kn


 =

=
n∑

k1=1

n∑
k2=1

. . .

n∑
kn=1

a1k1a2k2 . . . anknf




Et
k1

...
Et
kn




Assim uma forma multilinear fica inteiramente determinada se conhecemos os nn va-

lores f




Et
k1

...
Et
kn


, para k1 = 1, . . . , n, . . . kn = 1, . . . , n.

Dizemos que uma forma multilinear e´ alternada se

f




A1
...
Ak
...
Al
...
An




= 0, sempre que Ak = Al.

Proposic¸a˜o 2. Uma forma multilinear e´ alternada se, e somente se, ela e´ anti-

sime´trica, isto e´, para qualquer matriz A, n× n,

f




A1
...

X
...

Y
...

An




= −f




A1
...

Y
...

X
...

An




, para X = [x1 . . . xn ] e Y = [ y1 . . . yn ].

O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada 21 de maio de 2004

3
Demonstrac¸a˜o. Se f e´ alternada, enta˜o

0 = f




A1
...

X + Y
...

X + Y
...
An




= f




A1
...
X
...
X
...
An




+ f




A1
...
X
...
Y
...
An




+ f




A1
...
Y
...
X
...
An




+ f




A1
...
Y
...
Y
...
An




= 0 + f




A1
...
X
...
Y
...
An




+ f




A1
...
Y
...
X
...
An




+ 0,

de onde segue que f e´ anti-sime´trica. Deixamos para o leitor como exerc´ıcio mostrar que
se f e´ anti-sime´trica, enta˜o f e´ alternada.

Como consequ¨encia ime´diata desta proposic¸a˜o temos o seguinte resultado.

Corola´rio 3. Se f e´ uma forma multilinear alternada, enta˜o para toda permutac¸a˜o σ dos

inteiros 1, . . . , n e toda matriz A, n× n,

f




Aσ(1)
...

Aσ(n)


 = εσf




A1
...

An


 ,

onde εσ e´ o sinal da permutac¸a˜o σ, ou seja, εσ e´ igual a +1 se σ e´ o resultado de um
nu´mero par de transposic¸o˜es e e´ igual a −1 se e´ o resultado de um nu´mero ı´mpar de
transposic¸o˜es.

Assim, toda forma multilinear alternada e´ determinada pelo seu valor na matriz iden-
tidade In, como mostra o pro´ximo resultado.

21 de maio de 2004 Reginaldo J. Santos

4
Teorema 4. Se f e´ uma forma multilinear alternada, enta˜o para qualquer matriz A,

n× n,

f




A1
...

An


 =

∑
σ

εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f(In)

Demonstrac¸a˜o. Sendo f multilinear temos que

f




A1
...
An


 =

n∑
k1=1

n∑
k2=1

. . .

n∑
kn=1

a1k1a2k2 . . . anknf




Et
k1

...
Et
kn




Neste somato´rio sa˜o nulas todas as parcelas em que ha´ repetic¸o˜es dos ı´ndices k1, . . . , kn,
restando apenas aquelas em que

(k1, k2, . . . , kn) = (σ(1), . . . , σ(n))

e´ uma permutac¸a˜o dos inteiros. Neste caso,

a1k1a2k2 . . . ankn = a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)

e a parcela correspondente

a1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f




Et
σ(1)
...

Et
σ(n)


 = εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f




Et1
...
Et
n


 .

Portanto,

f




A1
...
An


 =

∑
σ

εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n)f(In),

o somato´rio e´ extendido a todas as permutac¸o˜es σ dos inteiros 1, . . . , n.

Assim, toda forma multilinear alternada e´ determinada pelo seu valor na matriz iden-
tidade In. Como ja´ mostramos que o determinante e´ uma forma multilinear alternada
que vale 1 na matriz identidade, temos a seguinte caracterizac¸a˜o do determinante.

O Determinante como uma Forma Multilinear Alternada 21 de maio de 2004

REFEREˆNCIAS 5

Corola´rio 5. O determinante e´ a u´nica forma multilinear alternada que vale 1 na matriz
identidade e ale´m disso para qualquer matriz A, n× n,

det(A) =
∑
σ

εσa1σ(1)a2σ(2) . . . anσ(n).

Refereˆncias

[1] Kenneth Hoffman and Ray Kunze. A´lgebra Linear. Livros Te´cnicos e Cient´ıficos Ed.
S.A., Rio de Janeiro, 3a. edition, 1979.

[2] Serge Lang. Linear Algebra. Springer Verlag, New York, 3a. edition, 1987.

[3] Elon L. Lima. A´lgebra Linear. IMPA, Rio de Janeiro, 2a. edition, 1996.

[4] Seymour Lipschutz. A´lgebra Linear. McGraw-Hill, Sa˜o Paulo, 3a. edition, 1994.

[5] Reginaldo J. Santos. Um Curso de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear. Imprensa
Universita´ria da UFMG, Belo Horizonte, 2003.

21 de maio de 2004 Reginaldo J. Santos