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CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 9

COORDENADAS POLARES

O plano, também chamado de ℜ2, onde { }ℜ∈=ℜℜ=ℜ y,x/)y,x(x2 , ou seja, o
produto cartesiano de ℜ por ℜ, é o conjunto de todos os pares ordenados

ℜ∈∀ yex),y,x( . Ele é representado pelo Sistema de Coordenadas Cartesianas

Ortogonal, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja

interseção é o par ordenado O(0,0) , chamado de origem do sistema. Esses eixos são

denotados por Ox e Oy e chamados de eixos coordenados, orientados como mostra a

figura abaixo.

Todo ponto P(x,y) do plano é representado como na figura acima, onde x e y

são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Existe uma

correspondência biunívoca entre pares ordenados de números reais e pontos do

sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.

No entanto, existe outro sistema de coordenadas capaz de representar o plano.

É o Sistema de Coordenadas Polares, o qual é constituído por apenas um semi-

eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado pólo.

Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρρρρ,θθθθ), onde ρρρρ é à

distância do ponto P ao pólo p e θθθθ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o semi-

eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no sentido anti-

horário. Assim, 0≥ρ e pi≤θ≤ 20 .

y

x

P(x,y)

(0,0)

(–)

(–)

Oy (+)

(+)

Ox

I
II

IV III

θ
e p

P(ρ,θ)

ρ

97

Exemplo (1): Representar no Sistema de Coordenadas Polares os seguintes pontos

do plano: a) ),3(P
3
pi b) ),5(Q

3
2pi c) ),3(R

2
3pi

Podemos relacionar o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais com o

Sistema de Coordenadas Polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema cartesiano

com o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo positivo do eixo

Ox.

No triângulo retângulo temos: 222 yx +=ρ e










θρ=⇒
ρ

=θ

θρ=⇒
ρ

=θ

seny
y

sen

cosx
x

cos
. Pode-se

determinar o ângulo θ pelas relações anteriores ou por 







=θ

x
y

arctg , observando os

sinais das coordenadas x e y para definir a qual quadrante pertence o ângulo θ.

Portanto, as relações 222 yx +=ρ e




θρ=
θρ=

seny
cosx

, são consideradas as equações de

transformação de coordenadas entre o sistema cartesiano e o sistema polar.

Exemplo (2): Transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares os

seguintes pontos do plano: a)














2
5
,

2
35

P b) )1,1(Q − .

Solução: Usando as equações de transformação temos:

),()y,x(P θρ≡

θ

ρ
y

x

Oy

pO ≡
e

Ox

R

2
3pi

3

5

3
2pi 3

Q

3
pi

e p

P

p

98

a) 5
2
5

2
35

yx
22

222
=ρ⇒








+














=+=ρ e















=θ⇒=θ⇒
ρ

=θ

=θ⇒=θ⇒
ρ

=θ

2
1

sen
5
2
5

sen
y

sen

2
3

cos
5
2
35

cos
x

cos
 ⇒

6
pi

=θ . Portanto, ),5(P 6pi .

b) 2)1(1 222 =ρ⇒−+=ρ e













−=θ⇒−=θ⇒
ρ

=θ

=θ⇒=θ⇒
ρ

=θ

2
2

sen
2

1
sen

y
sen

2
2

cos
2

1
cos

x
cos

 ⇒
4
7pi

=θ .

Portanto, ),2(Q 4
7pi .

Exemplo (3): Transformar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas os

seguintes pontos do plano: a) ( )34,2P pi b) ),7(Q 65pi .
Solução:

a) Usando as equações de transformação temos:







−=⇒=⇒θρ=
−=⇒=⇒θρ=

pi

pi

3ysen2yseny

1xcos2xcosx

3
4
3
4

. Portanto, )3,1(P −− .

b) Analogamente para o ponto Q:










=⇒=

−=⇒=

pi

pi

2
7

ysen7y

2
37

xcos7x

6
5

6
5

. Portanto,













−

2
7
,

2
37

Q .

1 Equação Polar das Cônicas

1.1 Circunferência

Seja uma circunferência, representada no sistema polar, de centro ),(C αδ e raio

r. Seja ),(P θρ um ponto qualquer da circunferência.

Aplicando a Lei dos co-senos no triângulo pCP, temos:

)cos(2r 222 α−θρδ−δ+ρ= , que é a equação polar da circunferência.

p e

ρ
θ-α

α θ

),(P θρ

C δ

r

99

Alguns casos interessantes são:

a) circunferência que contém o pólo. Neste caso r=δ .

)cos(r2rr 222 α−θρ−+ρ= ⇒ )cos(r2( α−θ−ρ⋅ρ ⇒




α−θ=ρ⇒α−θ−ρ
=ρ

)cos(r2)cos(r2
0

Das relações anteriores vem que: 0=ρ é chamada de equação do pólo e

)cos(r2 α−θ=ρ é a equação da circunferência que contém o pólo.

b) circunferência com centro sobre o pólo. Neste caso 0=δ .

)cos(020r 222 α−θ⋅⋅ρ−+ρ= ⇒ 22r ρ= ⇒ ρ=r . Portanto, a expressão ρ=r é

a equação da circunferência com centro sobre o pólo.

1.2 Elipse

Considere uma elipse de eixo maior horizontal a2AA 21 = , eixo menor

b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo.

Seja ),(P θρ um ponto qualquer da elipse, na qual fazemos coincidir o pólo p

com o foco F1 e o eixo polar com o eixo maior da elipse.

p e

ρ
θ-α

α θ

),(P θρ

C
δ=r

p≡C
e

θ

),(P θρ

ρ=r

A2

),(P θρ

B2

e A1

B1

F1≡p F2

ρ δ
θ 2c

100

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:

θρ−+ρ=δ cosc4c4 222 . Da definição da elipse temos que a2|PF||PF| 21 =+ ⇒

a2=ρ+δ ⇒ ρ−=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos cossenos vem que:

θρ−+ρ=ρ− cosc4c4)a2( 222 ⇒ θρ−+ρ=ρ+ρ− cosc4c4a4a4 2222 . Da relação

notável da elipse 222 cba += ⇒ 222 bca =− . Então: )cosca(ca
2b

22 θ−ρ=−
�����

 ⇒

)cosca(b2 θ−ρ= ⇒
θ−

=ρ
cosca

b2
. Portanto,

θθθθ−−−−
====ρρρρ

cosca
b2

, que é a equação polar

da elipse.

Da equação polar
θ−

=ρ
cosca

b2
, dividindo todos os termos do segundo membro

da expressão pela constante a, vem que
θ−

=ρ
cos

a
c

a
a

a
b2

. Fazendo
a
b

p
2

= , chamado de

parâmetro da elipse e
a
c

e = é a excentricidade. Assim, equação polar da elipse é

mais comumente dada por
θ−

=ρ
cose1
p

.

1.3 Hipérbole

Considere uma hipérbole de eixo real horizontal a2AA 21 = , eixo menor

b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo. Façamos

coincidir o pólo p com o foco F2 e o eixo polar com o eixo real da hipérbole. Seja

),(P θρ um ponto qualquer da hipérbole.

Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:

)180cos(c4c4 o222 θ−ρ−+ρ=δ . Da definição da hipérbole temos que

a2|PF||PF| 21 =− ⇒ a2=ρ−δ ⇒ ρ+=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos

δ

180o-θ θ
ρ

e

),(P θρ

F1 F2≡p C

2c

101

cossenos: θρ++ρ=ρ+ cosc4c4)a2( 222 ⇒ θρ++ρ=ρ+ρ+ cosc4c4a4a4 2222 ⇒

)cosca(ca 22 θ⋅+−⋅ρ=− . Da relação notável da hipérbole 222 bac += ⇒

222 bca −=− ⇒ )cosca(ca
2b

22 θ⋅+−⋅ρ=−
−

�����
. Portanto:

θθθθ−−−−
====ρρρρ

cosca
b2

, que é a

equação polar da hipérbole.

Da equação polar
θ−

=ρ
cosca

b2
, dividindo todos os termos do segundo membro

da expressão pela constante a, vem que
θ−

=ρ
cos

a
c

a
a

a
b2

. Fazendo
a
b

p
2

= , chamado de

parâmetro da hipérbole e
a
c

e = é a excentricidade. Assim, equação polar da hipérbole

é mais comumente dada por
θθθθ−−−−

====ρρρρ
cose1
p

.

1.4 Parábola

Considere uma parábola de eixo de simetria horizontal com vértice V, foco F e

pRF = . Seja P(ρ,θ) um ponto qualquer da parábola. Façamos coincidir o pólo p com o

foco F e o eixo polar com o eixo de simetria da parábola.

No triângulo PQF vem que:
ρ

ρ−
=θ−=θ− pcos)180cos( o ⇒

θ−
=ρ

cos1
p

, onde

p é o parâmetro da parábola. Portanto, a equação polar da parábola é
θθθθ−−−−

====ρρρρ
cos1
p

.

OBS: Note que, a elipse, a hipérbole e a parábola têm as equações polares

semelhantes a menos da excentricidade
a
c

e = que para a elipse ( 1e0 << ) e para a

hipérbole ( 1e > ). Outro fato importante é que, apesar de adotarmos os mesmos

símbolos a2AA 21 = , b2BB 21 = e c2FF 21 = para a elipse e para a hipérbole, eles

tem significados geométricos diferentes na definição de cada cônica, mesmo porque a

p-ρ
180o-θ

(d)

Q

θ
ρ

e

),(P θρ

V

p

ρ

F
≡