GA_cap_09
8 pág.

GA_cap_09

Disciplina:Cálculo Vetorial e Geometria Analítica1.642 materiais52.985 seguidores
Pré-visualização2 páginas
R

102

relação notável da elipse é 222 cba += e da hipérbole é 222 bac += . Assim, o

parâmetro
a
b

p
2

= , adotado na equação polar da elipse e da hipérbole é diferente e

não tem nada em comum com o parâmetro p da definição da parábola.

Exemplo (4): Determine a equação geral da circunferência de equação polar

θ−=ρ sen6 .

Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22 yx +=ρ e

θ⋅ρ= seny ⇒
ρ

=θ ysen . Substituindo na equação θ−=ρ sen6 vem que:

22

22

yx

y
6yx

+
⋅−=+ ⇒ y6yx

2
22

−=






 + ⇒ 0y6yx 22 =++ .

Exemplo (5): Dada a elipse de eixo maior horizontal e equação polar
θ−

=ρ
cos35

32
,

escrever suas equações paramétricas e a equação reduzida.

Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22 yx +=ρ e

θ⋅ρ= cosx ⇒
ρ

=θ xcos . Substituindo na equação
θ−

=ρ
cos35

32
 vem que:

ρ
⋅−

=ρ
x

35

32
 ⇒

ρ
−ρ

=ρ
x35

32
 ⇒ ρ⋅=−ρ⋅ρ 32)x35( ⇒ 32x35 =−ρ ⇒ 32x35 +=ρ ⇒

22 )32x3()5( +=ρ ⇒ 1024x192x925 22 ++=ρ ⇒ 1024x192x9)yx(25 222 ++=+

⇒ 1024x192x9y25x25 222 =−−+ ⇒ 1024y25x192x16 22 =+− . Escrevendo na

forma reduzida vem que: 1024y25)3636x12x(16 22 =+−+−⋅ ⇒

1600y25)6x(16 22 =+−⋅ ⇒ 1
64
y

100
)6x( 22

=+
−

 (equação reduzida). Como a elipse é

de eixo maior horizontal então:






=⇒=

=⇒=

8b64b

10a100a
2

2
 e centro )n,m()0,6(C = . Assim,

suas equações paramétricas são:




θ+=
θ+=

senany
cosbmx

 ⇒




θ⋅=
θ⋅+=

sen8y
cos106x

.

103

Exercícios Propostos

1) Determine a equação geral da circunferência de centro ),2(C 2
pi , sabendo-se que

ela passa pelo ponto ),6(P 6
11pi . Resp: 048y4yx 22 =−−+

2) Qual é a equação polar da elipse de equação geral 024y4x24yx4 22 =++−+ ?

Resp:
θ−

=ρ
cos1

1

2
3

3) Seja a hipérbole de equação 0144y16x9 22 =−− . Determine sua equação polar e

as coordenadas polares dos focos. Resp:
θ−

=ρ
cos54
9

, ),5(Fe)0,5(F 21 pi

4) Determine a equação polar e as coordenadas polares do vértice da parábola

6x4xy 2
2
1

−+−= .

Resp:
θ−

=ρ
cos1
4
1

 e ),52(V θ , onde 







=θ

5
5arcsen , do 1º quadrante.

5) Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é

θ−
=ρ

cos75
24

. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.

Resp:






θ=
θ=

=+
− sec5y

tg62xe1
25
y

24
x 22

6) Determine a equação polar da elipse




θ+=
θ+=

sen162y
cos203x

. Resp:
θ−

=ρ
cos35

64

7) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x = 2. Determine

sua equação polar. Resp:
θ−

=ρ
cos1
2