autovalores

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Autovalores e autovetores:
Introdução e definições
Polinômio característico
Multiplicidade de autovalores
Aplicação de autovalores

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Introdução
Em muitos problemas relativos a sistemas dinâmicos, tem-se uma equação do tipo:

onde A é uma matriz nxn, x um vetor nx1 e  um número real.
Exemplo:
1)					 2)

Hoje vamos investigar este fenômeno de forma mais geral.

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Definições:
Considere A uma matriz nxn. Um escalar  é chamado de autovalor de A, se existe um vetor não nulo x tal que Ax = x. Tal vetor é chamado de autovetor de A.
Dados uma matriz A de ordem n e  um autovalor de A, chamamos de auto-espaço de A a coleção de autovetores correspondentes a cada  acrescida do vetor nulo.
Exemplos:
1) Mostre que (1,1) é autovetor de A, onde
e obtenha o autovalor correspondente.
2) Mostre que 5 é autovalor de

3) Encontre, geometricamente, os autovetores de

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Polinômio característico
Agora que já vimos algumas aplicações dos determinantes, vamos utilizá-lo para mais uma aplicação.
Definições:
Seja A uma matriz de ordem n, denominamos polinômio caracterís-tico de A, o polinômio P() obtido pelo cálculo de: P() = det(A- I).
A equação P() = 0 é denominada equação característica de A.
Os autovalores de uma matriz A são precisamente as soluções  da equação característica.
Assim, dada a matriz A temos o seguinte algoritmo:
Encontrar o polinômio característico de A;
encontrar os autovalores de A através de sua equação característica;
para cada autovalor encontrar o subespaço anulado por A- I, esse é o auto-subespaço associado ao autovalor  i , denominado E, formado pelos autovetores de A;
Encontre uma base para cada auto-subespaço.

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Multiplicidade do autovalor:
Existem dois tipos de multiplicidade para um autovalor:
A multiplicidade algébrica é dada pela sua multiplicidade como raiz da equação característica.
A multiplicidade geométrica é dada pela dimensão de seu auto-subespaço.
Exemplo:
Encontre as multiplicidades algébrica e geométrica dos autovalores da matriz A, dada por:

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Crescimento populacional da
Tartaruga-da-Amazônia
Introdução;
Modelo matemático;
Estudo qualitativo do sistema;
Resultados;
Conclusões.
Artigo disponível em:
http://www.ufmt.br/icet/matematica/geraldo/tartaruga.pdf

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Introdução
Pesquisa e aplicação dos conhecimentos matemáticos às diversas áreas do conhecimento;
O projeto “Quelônios da Amazônia”;
Objetivos deste trabalho;
Metodologia de estudo.

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Modelo matemático:
esquema do ciclo de vida

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Modelo matemático: equações
N0 ( t+ 1 ) =  . N10( t )	N1 ( t+ 1 ) = 0 . N0 ( t )
N2 ( t+ 1 ) = 1 . N1 ( t ) 	N3 ( t+ 1 ) = 2 . N2 ( t )
N4 ( t+ 1 ) = 3 . N3 ( t )	N5 ( t+ 1 ) = 4 . N4 ( t )
N6 ( t+ 1 ) = 5 . N5 ( t )	N7 ( t+ 1 ) = 6 . N6 ( t )
N8 ( t+ 1 ) = 7 . N7 ( t )	N9 ( t+ 1 ) = 8 . N8 ( t )
N10 ( t+ 1 ) = 9 . N9 ( t ) + (1 -  ) . N10(t)

onde,  é a mortalidade de adultos, ou seja, o nosso sistema de equações é dado por:

Ni (t+1) = i-1 . Ni-1 (t)

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Modelo matemático:
forma matricial
N( t+1) = A N(t) N = [N0, N1, ..., N10] => N(t) = At N(0)

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Estudo qualitativo do sistema:
polinômio característico
P() = det(A - I)
P() = 10(- +1- ) +  0 1 ... 9
P() = -11 + (1- )10 + K
K =  0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Seja  = Max

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Teorema: Cota de Kojima
Dado um polinômio p(x) = anxn +an-1xn-1 + ... +a0
toda raiz, real ou complexa, verifica:
| | ≤ Q1 + Q2
onde Q1 e Q2 são os maiores valores obtidos do
conjunto:

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Estudo qualitativo do sistema:
avaliação gráfica

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Resultados
Assumimos a razão sexual como sendo 1/2;
Segundo Rocha (1991, 92 e 93), cada fêmea desova cerca de 90 ovos a cada estação ( = 90);
Do total de ovos, apenas 81,6% sobrevivem, então do total de ovos apenas 40,8% serão fêmeas que emergirão
 (0 = 0,408);
Há uma estimativa de que 5% dos filhotes que nascem conseguem sobreviver até um ano de vida (1 = 0,05);
Desses, apenas 1% chega a fase reprodutiva, que acontece após os 9 anos de idade, ou seja, 2 3 4 5 6 7 8 9  0,01
A partir daí, tem-se uma mortalidade de cerca de 95%,
	(1 -  = 0,05).

P() = -11 + 0,0510 + 0,01836

  0,745296820391

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Conclusões
Tendo em vista o estudo qualitativo do comportamento do sistema e o valor obtido para a cota de Kojima
 (  0,745296820391 < 1) para os parâmetros bióticos considerados, podemos concluir que a espécie Podochnemis expansa será extinta.
No entanto, se pelo menos 20% dos filhotes nascidos completarem o primeiro ano de vida e, desses, outros 20% venham a atingir a idade reprodutiva, obtemos  = 1,05 ( > 1), o que nos leva a concluir que a espécie poderá ser preservada.
Nesse sentido, a adoção de políticas de proteção, dará condições de preservar a espécie, caso contrário, a extinção será inevitável.

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Trabalho prático:
Crescimento Populacional – Uma espécie de besouro alemão, o volmar-wasserman vive no máximo 3 anos. As fêmeas podem ser divididas em 3 faixas etárias: ninfas (de 0 a 1 ano), juvenis (de 1 a 2 anos) e adultas (de 2 a 3 anos). As ninfas não põem ovos; cada fêmea juvenil produz uma média de 4 fêmeas e cada adulta uma média de 3 fêmeas. A taxa de sobrevivência é de 25% para as juvenis e de 50% para as ninfas. Supondo que a população inicial era de 40 ninfas, 40 juvenis e 20 adultas, obtenha:
A matriz de Leslie associada a esta população.
A previsão da população para os próximos 5 anos.
Os autovalores e autovetores de sua matriz de Leslie.
O gráfico população x tempo com pelo menos 10 anos, indicando a população de cada classe etária.
O gráfico porcentagem da população x tempo, com pelo menos 10 anos, indicando a porcentagem para cada classe etária.
A partir desses gráficos, que conclusões você pode tirar ?