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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de Física

Física III, 24/09/2008
Questão 1. (3,0) Um condutor cilíndrico de raio a, comprimento L muito grande e carga
+ Q, é coaxial a uma casca cilíndrica maior, também condutora, com raio b e carga –
Q, como mostra a figura .
(a) Calcule o campo elétrico em todo o espaço.
(b) Determine a capacitância do sistema.
(c) Calcule a energia armazenada neste capacitor.
(d) Considerando o potencial igual a zero na casca cilíndrica, ou seja, ( ) 0V b = ,
calcule ( ) para .V r r a≤
SOLUÇÃO: (a) Se , podemos desprezar efeitos de borda e considerar o campo do

cilindro como tendo simetria cilíndrica,

,L a>> b
= ˆ( )E E r rG . Nesta aproximação, as cargas

estão distribuídas uniformemente sobre as superfícies cilíndricas.
(i) Aplicando a lei de Gauss a uma superfície gaussiana como mostrada na
figura ao lado ,

:r a<
( )r a<

superfície
lateral

( )2 0 0, para E dA E dA E r rl E r aπ⋅ = ⋅ = = ⇒ = <∫ ∫G GG G Gv
desde que não há cargas no interior do cilindro em equilíbrio.
(ii) Agora construímos uma superfície gaussiana semelhante à do item anterior porém
com . Aplicando a lei de Gauss,

:a r b< <
a r b< <

0superfície

lateral

/( )2 Q LE dA E dA E r rl lπ ε⋅ = ⋅ = =∫ ∫
G GG Gv

Daí,

0

1 ˆ
2

QE r
L rπε=

G

(iii) Neste caso, a carga no interior da superfície gaussiana cilíndrica de raio é zero e,
assim como no primeiro caso,

G

.r b> r b>
0.E =

(b) Para calcular a capacitância, precisamos saber a ddp V V ( ) ( )ab a V b= − . Tomando um caminho
radial entre as duas superfícies cilíndricas,

0 0

( ) ( ) ( ) ln
2 2

b b

a a

Q dr Q bV b V a E r dr
L r L aπε πε

⎛ ⎞− = − = − = − ⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫
 A capacitância é

 ( )0
2

ln /ab

LQC
V b a

πε= =
(c) Para um capacitor de capacitância C e carga Q, U Q , ou seja, 2 / 2C=

2

0

ln
4

Q bU
L aπε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
(d) Considerando V b , temos do item anterior que ( ) 0=

0

( ) ln
2

Q bV a
L aπε

⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
Como o campo elétrico no interior do cilindro interno é zero,

 ( ) ( ) 0
a

r

V a V r E dl− = − ⋅ =∫ GG
Logo, todos os pontos com têm o mesmo potencial igual a V a r a≤ ( ).

Questão II (2,5) Considere um capacitor de placas paralelas de área A e separação d. O capacitor é
carregado com uma bateria até que a diferença de potencial entre as placas seja V. Em seguida, a
bateria é desconectada e as placas do capacitor são separadas até uma distância 2d.
(a) Qual será a diferença de potencial entre as placas quando a separação for igual a 2d? Justifique.
(b) Calcule o trabalho realizado para aumentar a separação entre as placas de d para 2d.
SOLUÇÃO: (a) A carga Q não muda uma vez que o capacitor é desconectado da bateria. O campo
elétrico entre as placas é

0

QE
Aε=

e permanece o mesmo quando a distância entre as placas passa a ser 2d. Assim,
 2 2 2V E d Ed V′ = = =
(b) O trabalho realizado para aumentar a separação entre as placas de d para 2d é igual `variação da
energia potencial do capacitor

 2 2
1 1(2 ) ( )
2 2

W U d U d C V CV′ ′= − = −
As capacitâncias são dadas por

 0
0/

AQ Q QC
V Ed Qd A d

ε
ε= = = =

2 2

Q Q CC
V V

′ = = =′
Logo,

 ( )2 2 21 1 12
2 2 2 2

CW V CV CV= − =
ou,

2

0

2
AVW
d

ε=
Questão III (2,0)
(a) Determine a força (módulo e direção) exercida sobre uma carga q > 0, situada a uma distância d
da extremidade de um fio o semi-infinito carregado com
uma densidade linear de carga 0λ > . A carga está situada
no prolongamento do fio.
(b) Considere agora uma superfície esférica S, de raio 2d,
centrada na posição da carga q (veja a figura). Determine o
fluxo do vetor campo elétrico através da superfície S.
SOLUÇÃO: (a) Considere um elemento de carga
dq dxλ= do fio entre x e x + dx. O módulo da força
que ele exerce sobre a carga q é

 2
0

1
4

qdxdF
x

λ
πε= ,

onde medimos x a partir da carga q. A força total é

 2
0 0

ˆ
4 4 4d

q dx q qF F
0

i
x d d

λ λ λ
πε πε πε

∞
= = ⇒ = −∫ G

(b) A carga no interior da superfície S é
 intq q dλ= +
Portanto, da lei de Gauss, o fluxo do vetor campo elétrico através da superfície S é

0

S

q dE dA λε
+⋅ =∫ GGv

Questão IV (2,5) Um fio com uma resistência R é esticado de tal modo que seu novo comprimento
é três vezes seu comprimento inicial.
(a) Supondo que a resistividade e a densidade do material não variem durante o processo de

esticamento, determine a resistência do fio esticado. (Dica: Mostre que quando o fio é esticado
seu volume não muda).

(b) Se uma diferença de potencial V está aplicada às extremidades fio, qual a potência dissipada
pelo fio antes e depois de esticado ?

(c) Ainda com uma diferença de potencial aplicada V, qual a razão entre as densidades de corrente
antes e depois do fio ser esticado ?

SOLUÇÃO: (a) Seja L o comprimento do fio e A, a área de sua seção reta antes de ser esticado. A
resistência R em termos dessas quantidades é

LR

A
ρ=

Como estamos supondo que a densidade do material não varia quando ele é esticado, então seu
volume não muda, uma vez que a quantidade de matéria também não muda:

 densidade m m V V
V V

′= = ⇒ =′
Sejam e L A′ ′ o comprimento e a área da seção reta do fio depois de esticado. Da conservação do
volume

 3
3
AL A LA LA LA A′ ′ ′ ′= ⇒ = ⇒ =

A resistência do fio esticado é

3 9 9
/ 3

L L LR R
A A A
ρ ρ ρ′′ = = = =′

(b) Potência dissipada antes do fio ser esticado:

2

antes
VP
R

=
A potência dissipada depois que o fio é esticado é

2 2 1

9 9depois antes
V VP P
R R

= = =′
(c) Supondo uma densidade de corrente uniforme,

 antes
I VJ
A AR

= =
Depois de esticado,

1

( / 3)9 3 3depois antes
V V VJ J

A R A R AR
= = = =′ ′

Logo,

1
3

depois

antes

J
J

=

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