leslie
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Crescimento Populacional Crescimento Populacional
Por Faixa EtPor Faixa Etááriaria

Modelo LeslieModelo Leslie
�� Um dos modelos de crescimento Um dos modelos de crescimento
populacional mais comumente usado por populacional mais comumente usado por
demdemóógrafos.grafos.

�� Descreve o crescimento da parte fêmea de Descreve o crescimento da parte fêmea de
uma populauma populaçção animal ou humana.ão animal ou humana.

�� Neste modelo, as fêmeas são divididas em Neste modelo, as fêmeas são divididas em
faixas etfaixas etáárias de igual durarias de igual duraçção.ão.

Modelo LeslieModelo Leslie

�� Suponha que a idade mSuponha que a idade mááxima atingida por xima atingida por
qualquer fêmea da populaqualquer fêmea da populaçção seja ão seja LL anos.anos.

�� Se nSe nóós dividirmos a populas dividirmos a populaçção em ão em nn faixas faixas
etetáárias, então cada faixa tem rias, então cada faixa tem LL//n n anos de anos de
duraduraçção.ão.

DistribuiDistribuiçção das Faixas Etão das Faixas Etááriasrias

[([(nn--1)1)LL//nn, , LL))nn

[([(nn--2)2)LL//nn, (, (nn--1)1)LL//nn))nn--11

..

..

..

..

..

..

[2[2LL//nn, 3, 3LL//nn))33

[[LL//nn, 2, 2LL//nn))22

[0, [0, LL//nn))11

Intervalo de IdadeIntervalo de IdadeFaixa EtFaixa Etááriaria

�� NNóós vamos supor que sabemos o ns vamos supor que sabemos o núúmero mero
de fêmeas em cada uma das de fêmeas em cada uma das nn faixas no faixas no
instante t=0.instante t=0.

�� Suponha que hSuponha que háá xx11 fêmeas na 1fêmeas na 1ªª faixa faixa
etetáária, ria, xx22 fêmeas na 2fêmeas na 2ªª faixa etfaixa etáária, e ria, e
assim por diante.assim por diante.

�� Com esses nCom esses núúmeros nmeros nóós formamos um s formamos um
vetorvetor--coluna:coluna:



















)0(

)0(
2

)0(
1

nx

x

x

..

..

..

)0(
x ==

que chamamos de vetor de que chamamos de vetor de
distribuidistribuiçção etão etáária inicial.ria inicial.

A fraA fraçção de fêmeas da ão de fêmeas da ii--éésima sima
faixa etfaixa etáária que se espera que ria que se espera que
vváá sobreviver e passar para a sobreviver e passar para a
((ii+1)+1)--éésima faixa etsima faixa etáária.ria.

O nO núúmero mmero méédio de filhas dio de filhas
nascidas por fêmea durante o nascidas por fêmea durante o
tempo em que ela esttempo em que ela estáá na na

ii--éésima faixa etsima faixa etáária.ria.

ia
),...,2,1( ni =

ib
)1,...,2,1( −= ni

�� Os processos de nascimento e morte entre dois Os processos de nascimento e morte entre dois
tempos de observatempos de observaçções sucessivas podem ser ões sucessivas podem ser
descritos por meio dos seguintes parâmetros descritos por meio dos seguintes parâmetros
demogrdemográáficos:ficos:

10)(
0)(

≤<
≥

i

i

bii
ai

�� Pelas definiPelas definiçções, nões, nóós temos ques temos que

para para

parapara 1,...,2,1
,...,2,1

−=

=

ni
ni

2
�� Em seguida nEm seguida nóós definimos o vetor de s definimos o vetor de
distribuidistribuiçção etão etáária no instante porria no instante por

�� onde onde éé o no núúmero de fêmeas na imero de fêmeas na i--éésima faixa sima faixa
etetáária no instanteria no instante

)(x k

kt



















)(

)(
2

)(
1

k
n

k

k

x

x

x

..

..

..

)(
x

k
==

)( k
ix

kt

�� Agora, no instante , as fêmeas na primeira Agora, no instante , as fêmeas na primeira
faixa etfaixa etáária são as filhas nascidas entre os ria são as filhas nascidas entre os
instantes e . Assim, podemos escreverinstantes e . Assim, podemos escrever

NNúúmero de mero de
fêmeas na fêmeas na
faixa etfaixa etáária 1 ria 1
no tempono tempo

NNúúmero de mero de
filhas nascidas filhas nascidas
das fêmeas na das fêmeas na
faixa etfaixa etáária 2 ria 2
entre os temposentre os tempos

ee
kt

kt1−kt kt1−kt kt1−kt

++== +...++...+

NNúúmero de mero de
filhas nascidas filhas nascidas
das fêmeas na das fêmeas na
faixa etfaixa etáária 1 ria 1
entre os temposentre os tempos

ee

NNúúmero de mero de
filhas nascidas filhas nascidas
das fêmeas na das fêmeas na
faixa etfaixa etáária ria nn
entre os temposentre os tempos

ee

ou, matematicamente,ou, matematicamente,

)1()1()1()(
...22111

−−− +++= kkkk nnxaxaxax

kt

kt 1−kt

(1)(1)

�� As fêmeas na As fêmeas na --éésima faixa etsima faixa etáária no ria no
instante são aquelas fêmeas que estavam na instante são aquelas fêmeas que estavam na ii--éésima sima
faixa etfaixa etáária no instante e que ainda vive no instante ria no instante e que ainda vive no instante

Assim,Assim,

)1,...,2,1( −= ni)1( +i
kt

1−kt kt

NNúúmero demero de

fêmeas na faixa fêmeas na faixa
etetáária ria

no instanteno instante

1+i
kt

NNúúmero demero de

fêmeas na faixa fêmeas na faixa
etetáária ria

no instanteno instante
i

1−kt

FraFraçção de fêmeas na ão de fêmeas na
faixa etfaixa etáária que ria que
sobrevive e passa sobrevive e passa
para a faixa etpara a faixa etááriaria

i

1+i

== ..

ou, matematicamente,ou, matematicamente,

1,...,2,1 ,)1()( 1 −==
−

+ nixbx
k

ii
k

i (2)(2)

�� Usando notaUsando notaçção matricial, podemos escrever as ão matricial, podemos escrever as
equaequaçções (1) e (2) comoões (1) e (2) como























)(

)(
3

)(
2

)(
1

k
n

k

k

k

x

x

x

x

..

..

..























−

−

0...000

00...00
00...00

...

1

2

1

1321

n

nn

b

b
b

aaaaa

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..























−

−

−

−

)1(

)1(
3

)1(
2

)1(
1

k
n

k

k

k

x

x

x

x

..

..

..

..==

ou, mais compactamenteou, mais compactamente

,...2,1 ,)1()( == − kLxx kk (3)(3)

�� Onde Onde LL éé a matriz de Lesliea matriz de Leslie























−

−

0...000

00...00
00...00

...

1

2

1

1321

n

nn

b

b
b

aaaaa

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

..

L L == (4)(4)

�� Pela equaPela equaçção (3) obtemosão (3) obtemos

)0()1()(

)0(3)2()3(

)0(2)1()2(

)0()1(

xLLxx

xLLxx
xLLxx

Lxx

kkk
==

==

==

=

−

..

..

.. (5)(5)

Assim, se conhecermos a distribuiAssim, se conhecermos a distribuiçção etão etáária inicial e a ria inicial e a
matriz de Leslie matriz de Leslie LL, n, nóós poderemos determinar a distribuis poderemos determinar a distribuiçção ão
etetáária das fêmeas em tempos posteriores.ria das fêmeas em tempos posteriores.

)0(x

3
TeoremasTeoremas
�� Existência de um Autovalor PositivoExistência de um Autovalor Positivo

““Uma matriz de Leslie tem um Uma matriz de Leslie tem um úúnico autovalor positivo .nico autovalor positivo .
Este autovalor tem multiplicidade 1 e um autovetor associado Este autovalor tem multiplicidade 1 e um autovetor associado

cujas entradas são todas positivas.cujas entradas são todas positivas.””

O comportamento ao longo termo da distribuiO comportamento ao longo termo da distribuiçção etão etáária da ria da
populapopulaçção ão éé determinado pelo autovalor positivo e seu determinado pelo autovalor positivo e seu
autovetor .autovetor .

1λ

1x

1λ
1x

TeoremasTeoremas
�� Autovalores de uma Matriz de LeslieAutovalores de uma Matriz de Leslie

““Se Se éé o o úúnico autovalor positivo de uma matriz de Leslie nico autovalor positivo de uma matriz de Leslie
L e L e éé qualquer outro autovalor real ou complexo de L, qualquer outro autovalor real ou complexo de L,
então .então .””

1λ
kλ

1λλ ≤k

TeoremasTeoremas
�� Autovalor DominanteAutovalor Dominante

““Se duas entradas sucessivas e da primeira linha dSe duas entradas sucessivas e da primeira linha de e
uma matriz de Leslie L são nãouma matriz de Leslie L são não--nulas, então o autovalor nulas, então o autovalor
positivo de L positivo de