lista4
2 pág.

lista4

Disciplina:Álgebra Linear II469 materiais5.807 seguidores
Pré-visualização1 página
4a Lista de A´lgebra Linear II

(1) Responda cada uma das afirmac¸o˜es a seguir como verdadeira ou falsa.
Justifique sua resposta.

(a) Se A e´ uma matriz ortogonal n× n enta˜o o posto de A < n
(b) Se A e´ diagonaliza´vel, enta˜o cada um dos seus autovalores tem multipli-

cidade 1

(c) Se nenhum dos autovalores de A e´ igual a zero, enta˜o det(A) 6= 0
(d) Se x e y sa˜o autovetores associados a autovalores distintos λ1 e λ2 enta˜o

x+ y e´ um autovetor associado ao autovalores λ1 + λ2

(e) Se uma matriz quadrada possui a soma de todos os elementos para cada
linha igual, enta˜o este valor e´ um autovalor

(2) Responda a`s questo˜es abaixo:

(a) Quais os poss´ıveis autovalores de uma matriz A que satisfaz A2 = A

(b) Seja B uma matriz n × n, diagonaliza´vel, tal que que B = PDP−1,
ondeD e´ uma matriz diagonal com entradas λ1, λ2, . . . λn todas positivas.
Encontre todas as matrizes A tal que A2 = B.

(c) Deˆ exemplos de matrizes 2 × 2 tal que o polinoˆmio caracter´ıstico seja
p(λ) = λ2 − 1. Interprete geometricamente

(d) Considere a matriz abaixo. c 0 00 a −b
0 b a


(i) Calcule o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores.

(ii) Determine a, b e c de modo que a matriz seja ortogonal.

(e) Deˆ exemplos de matrizes 3× 3 tal que o polinoˆmio caracter´ıstico seja
(i) p(λ) = λ3 − 1.
(ii) p(λ) = λ3 − λ2 + λ− 1.

1

(f) Considere a matriz abaixo 
a −b 0 0
b a 0 0
0 0 c −d
0 0 d c


(i) Calcule o polinoˆmio caracter´ıstico e os autovalores

(ii) Determine a, b,c e d de modo que a matriz seja ortogonal.

(g) Um autovetor pode ser associado a dois autovalores distintos de uma
matriz?

(h) Qual o maior nu´mero de autovalores reais distintos que uma matriz n×n
pode ter? E o menor nu´mero? Exemplifique

(i) Uma combinac¸a˜o linear de autovetores de uma matriz A e´ necessaria-
mente um autovetor de A?

(j) Seja A ∈ R3,3. Deduza que A sempre possui um autovalor real.
(k) Seja A ∈ R3,3. Deduza que ou A possui todos os autovalores reais, ou

um autovalor real e os outros dois complexos conjugados.

(l) Mostre que uma matriz A ∈ Rn,n e´ invers´ıvel se e somente se A na˜o
possui um autovalor igual a zero

(m) Mostre que λ e´ um autovalor de uma matriz invers´ıvel se e somente se
λ−1 e´ um autovalor de A−1. Os autovetores associado sa˜o os mesmos?

(n) Explique brevemente por que cada autovalor λ da matriz A satisfaz a
equac¸a˜o det(A − λI) = 0. Toda soluc¸a˜o desta equac¸a˜o deve ser um
autovalor de A?

2