Eqpmaq
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Cada ponto da superfície externa da porção isolada está submetido a ação de uma força, exercida pelo

restante do líquido (na fig. 1.15 mostramos algumas).

Pelo teorema fundamental sabemos que estas forças só dependem da altura de

líquido acima do ponto considerado, da massa específica do líquido e da aceleração da

gravidade.

A resultante destas forças exercidas pelo restante do líquido sobre a parte isolada

recebeu o nome de empuxo.

Como há equilíbrio o empuxo deve ser diretamente oposto ao peso 7 da parte
isolada.

Substituindo a parte isolada do liquido por um corpo, de mesma forma, o empuxo

não sofre modificação, pois, ele independe da parte isolada.

Podemos então enunciar o teorema de Arquimedes:

“Todo corpo mergulhado em um liquido fica submetido à ação de uma força vertical, orientada de baixo

para cima, de módulo igual ao peso do líquido deslocado, cujo suporte passa pelo ponto onde se encontrava o

centro de gravidade do líquido deslocado”

Outra demonstração:

Suponhamos um corpo imerso em líquido conforme indica a figura 1.16.

O corpo tem a forma de um cilindro circular reto, com as bases paralelas à

superfície livre do líquido.

A diferença de pressão da base inferior e superior é:

 r' ƒ r& � ‚. B¢ . E (1.29)

Onde B¢ é a massa especifica do líquido.

Multipliquemos os dois membros pela área N da seção reta do cilindro:
 Nr' ƒ Nr& � N‚μ¢E
 N£' é a força /' exercida pelo líquido sobre a base inferior do cilindro. Anàlogamente N£& é a força /&. N‚ é o volume do cilindro e, portanto, o volume de liquido que ele desloca (representado por C).

Logo:

 /' ƒ /& � C. B¢ . E

Mas, /' ƒ /& é o empuxo ¤ ¤ � C. B¢ . E (1.30)

Figura 1.15

Figura 1.16

17

Como C é o volume de líquido deslocado e μ¢ é a massa específica do líquido o produto C. μ¢ dará a massa de
líquido deslocado. O produto C. μ¢ ¥ E representa então o peso de liquido deslocado pelo corpo.

Observação:

Esta demonstração não tem a generalidade da anterior.

1.16 – EXPRESSÃO ANALÍTICA DO EMPUXO

 Nem sempre todo volume do corpo esta submerso. Por exemplo, em um corpo flutuante apenas parte do

seu volume se encontra submerso.

Para evitar duvidas iremos calcular o empuxo por meio da seguinte fórmula:

 ¤ � C> . μ¢ . E (1.31)

Onde ¤ � empuxo C[ � volume do corpo que se encontra submerso μ¢ � massa especifica do líquido E � aceleração da gravidade do lugar

1.17 – CORPOS IMERSOS

Todo corpo mergulhado em um líquido sofre a ação de duas forças: o seu peso e o empuxo exercido pelo

líquido.

O peso do corpo se aplica em seu centro de gravidade.

O suporte do empuxo passa sempre pelo ponto onde se encontra o centro de gravidade do líquido que foi

deslocado pelo corpo. Doravante chamaremos este ponto de centro de empuxo.

A força resultante que age sobre o corpo será a resultante do peso (7) e o empuxo (¤).
Temos então três casos a considerar.

a) O peso é maior que o empuxo

Neste caso, a força resultante que age sobre o corpo, está orientada para baixo, tendo por módulo.

/ � 7 – ¤ (1.32)

Como o peso e o empuxo são constantes, teremos F = constante. Logo, o corpo cairá no líquido com

movimento uniformemente acelerado (caso ideal do líquido não possuir viscosidade).

A aceleração do movimento pode ser facilmente calculada usando a Segunda Lei de Newton:

0¦ 7 – ¤
1 � 70 ƒ ¤0

1 � E ƒ C[ μ¢ . E.CŠ
sendo a massa especifica do corpo.

Estando o corpo totalmente mergulhado o volume do corpo (C) será igual ao volume submerso e:

18

 1 � E ƒ Š§Š E 1 � Ez1 ƒ Š§Š { (1.33)

Deixamos ao encargo dos alunos concluírem que o peso só será maior que o empuxo se a massa especifica

do corpo for maior que a do liquido.

b) O peso é menor que o empuxo

Neste caso, a resultante das forças que agem sobre o corpo será dirigida para cima, tendo por módulo:

/ � ¤ – 7 (1.34)

Agindo analogamente ao caso anterior podemos calcular a aceleração com que o corpo sobe no interior

do líquido.

1 � E z Š§Š ƒ 1{ (1.35)

Naturalmente, esta formula só poderá ser aplicada enquanto o corpo estiver totalmente submerso.

No instante em que a parte superior do corpo atinge a superfície livre do liquido o corpo começa a emergir. Com

isto diminui o volume submerso do corpo e, consequentemente, o empuxo.

Como o peso permanece constante, podemos concluir que há uma certa posição do corpo para a qual o peso e o

empuxo são iguais.

Nesta ocasião o corpo terá uma parte submersa e outra emersa. Isto é, o corpo estará flutuando.

Portanto, o peso só será menor que o empuxo, estando o corpo totalmente submerso, se a massa especifica do

corpo for menor que a do líquido.

c) O peso é igual ao empuxo
Neste caso o corpo ficará em equilíbrio no interior do líquido, qualquer que seja a posição em que se

encontre.

Este caso só ocorrerá se as massas especificas do corpo e do líquido forem iguais.

Exemplo:

 Um cilindro reto de madeira z6& � 0,7{ tem como lastro um cilindro, de mesma base, de uma liga z62 � 9{. O conjunto flutua em água de modo que 5 cm do cilindro de madeira fique emerso.
 O cilindro de madeira tem 30 cm de altura.

 a) Qual a altura do lastro?

 b) Qual deveria ser a altura do lastro para que a base superior do cilindro coincidisse com a superfície

livre do líquido?

a) Como o corpo está flutuando o peso é igual ao empuxo (Fig.
1.17).

O peso do sistema é igual a soma dos pesos da madeira z7&{ e da liga z7'{. Logo:
 7&  7' � C> ¥ μ¨J© ¥ E 0&  0' � C ¥ μ¨J©

Figura 1.17

19

C& ¥ μ&  C' . μ' � C> ¥ μ¨J©

Dividindo os dois membros pela massa específica da água obteremos a densidades:

 C&6&  C'6' � C> N z30{ z0,7{  N z]{ z9{ � N z25  ]{ 21  9 ] � 25  ]
.˙. ] � 0,5 W0.

b) O segundo item é resolvido analogamente:
 7&  7' � CN ¥ μ~2‡ ¥ E

No caso, Cw � C&  C' � N z30  ]{
 N ¥ 30 ¥ μ& ¥ E  N ¥ ] ¥ μ' ¥ E � N z30  ]{ ¥ μ¨J© ¥ E 30 ¥ B&  ]μ' � z30  ]{ ¥ μ¨J© 30 6&  ]6' � 30  ] z30{ z0,7{  9 ] � 30  ] 8] � 9
.˙. ] � 1,125 W0.

1.18 – CORPOS FLUTUANTES

 Um corpo flutuante sofre a ação de duas forças: o seu peso e o empuxo. Como o corpo está em equilíbrio o

peso e o empuxo são iguais:

 7 � ¤ (1.36)

Esta equação serve de partida para a resolução de problemas sobre flutuação.

Exemplo

 Uma proveta contém água até uma altura de 49 cm. Deixa-se cair, a partir da superfície livre do líquido, sem

velocidade inicial, um corpo instituído e um material de densidade 1,25.

 Qual o tempo gasto pelo corpo para atingir o fundo? Despreza-se a viscosidade. Considere E � 1000 W0/[².
 Agem sobre o corpo seu peso e o empuxo. Como a densidade do corpo é maior que da água o peso é maior

que o empuxo. A força resultante está orientada para baixo. Seu módulo é:

 / � 7 – ¤
.˙. 0¦ � 0ª ƒ C> ¥ μ¨J© ¥ E

 C ¥ μ ¥ 1 � C ¥ μ ¥ E – Cw ¥ μ¨J© ¥ E

Dividindo pela massa específica da água, teremos, tendo em vista que, no caso, C � C[:
 1 ¥ 6 � E ¥ 6 – E ¥ 6¨'©

.˙. 1 � E ›1 ƒ ‹mJn‹ .
1 � 1000 «1 ƒ 11,25¬

20

1 � 200 W0/[²
] � «12¬ ¥ 1 8' 49 � ½ ¥ 200 ¥ 8²

.˙. 8 � 0,7 [.

Exemplo

 Um corpo é constituído por material de densidade 9. O corpo pesa 90gf. Mergulhado em água pesa 70gf.

 O corpo é oco ou maciço?

 Determinemos o volume do corpo.

 Seu peso é 90 gf, duo seja 90 ¥ 9816®_.
 Sua massa específica pode ser determinada pela fórmula

 B � 6 ¥ μ¨J© � 9 ¥ 1 � 9 E/W0³

De 7 � 0E tiramos
0 � 7E � 90 a 981981 � 90E

De µ =
I
G tiramos C � IŠ � c…c � 10 W0³

Calculemos agora o volume de líquido deslocado pelo corpo. Se for igual a 10

cm³ concluiremos que o corpo é maciço. Se for maior o corpo será oco.

Quando determinamos o peso do corpo