P2_4h_f3unif_092_def_enunc_gab
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cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)

2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]

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2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ

B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,

v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]

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Gabarito para Versa˜o B

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)

1. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.

b

xˆ

yˆ

zˆ

(a) xˆ .

(b) −xˆ .
(c) yˆ .

(d) −yˆ .
(e) zˆ .

(f) −zˆ .
2. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por

um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:

a

P

I

(a) µ0I
2pia

.

(b) µ0I
4pia

.

(c) µ0I
4a

.

(d) µ0I
8a

.

(e) µ0I
2a

(
1
pi
+ 1

2

)
.

3. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.

(a) V, V, V.

(b) V, V, F.

(c) V, F, V.

(d) V, F, F.

(e) F, V, V.

(f) F, V, F.

(g) F, F, V.

(h) F, F, F.

1

4. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?

bI

⊗ ⊗

b

P

2I I

a

a

b

xˆ

yˆ

zˆ

(a) µ0I
pia

xˆ .

(b) −µ0I
pia

xˆ .

(c)
√

2µ0I
pia

xˆ .

(d) −
√

2µ0I
pia

(xˆ+ yˆ) .

(e) µ0I
pia

yˆ .

(f) −µ0I
pia

yˆ .

(g) 0 .

5. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:

(a) 12/13 .

(b) 13/12 .

(c)
√
12/13 .

(d)
√
13/12 .

(e) 1 .

6. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.

Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.

Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

2

7. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:

(a) 4R .

(b)
√
2R .

(c) R/2 .

(d) R/4 .

(e) o mesmo .

8. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:

(a) 380 V .

(b) 310 V .

(c) 400 V .

(d) 190 V .

(e) 390 V .

9. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1

2
B0(

√
3yˆ + zˆ) , onde B0

e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:

(a) πR2|B0|,
√

3
2
πR2B0I yˆ, πR

2B0I .

(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1

2
πR2|B0|, −

√
3

2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .

(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .

(e) 1
2
πR2|B0|, −

√
3

2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .

10. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?

0 1 2 3 4 5 6

I 3I

X

(a) 1 .

(b) 11/4 .

(c) 3 .

(d) 7/2 .

(e) 4 .

(f) 17/4 .

(g) 6 .

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Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas

1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)

2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Sabendo que

I =

∫
S

J · nˆ dA ,

e considerando que
J(r) = J0

(
r2/R2

)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,

encontraremos

I =

∫ R
0

J0
(
r2/R2

)
2πr dr (zˆ · zˆ)

=
2πJ0
R2

∫ R
0

r3 dr

=
2πJ0
R2

r4

4

∣∣∣∣
R

0

=
1

2
πR2J0 .

(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que

∮
B · dℓ = µ0Ienc .

Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que

∮
B · dℓ =

∫ 2pi
0

B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi

0

dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)

e assim

B(r) =
µ0 I(r)

2πr