P2_4h_f3unif_092_def_enunc_gab
64 pág.

P2_4h_f3unif_092_def_enunc_gab

Disciplina:Física III3.198 materiais118.849 seguidores
Pré-visualização9 páginas
2. Questo˜es discursivas

1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)

2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Sabendo que

I =

∫
S

J · nˆ dA ,

e considerando que
J(r) = J0

(
r2/R2

)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,

encontraremos

I =

∫ R
0

J0
(
r2/R2

)
2πr dr (zˆ · zˆ)

=
2πJ0
R2

∫ R
0

r3 dr

=
2πJ0
R2

r4

4

∣∣∣∣
R

0

=
1

2
πR2J0 .

(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que

∮
B · dℓ = µ0Ienc .

Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que

∮
B · dℓ =

∫ 2pi
0

B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi

0

dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)

e assim

B(r) =
µ0 I(r)

2πr
φˆ .

Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que

I(r) =

∫
S

J · dnˆdA

=

∫ r
0

J0
(
r2/R2

)
2πr dr (zˆ.zˆ)

=
2πJ0
R2

∫ R
0

r3 dr

4

=
2πJ0
R2

r4

4

∣∣∣∣
r

0

=
1

2

πJ0r
4

R2

de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que

B(r) =

[
µ0J0r

3

4R2

]
φˆ, .

(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em

B(r) =

[
µ0J0R

2

4r

]
φˆ, .

�

2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ

B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,

v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por

Φ
B
=

∫
S

B · nˆ dA =
∫

S

B dA cos θ = B cos θ

∫
S

dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .

5

Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =

√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/

√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para

Φ
B
, encontraremos que

Φ
B
(t) =

1

2

(
Bv2 cos θ

)
t2 .

(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por

Eind = − dΦB
dt

= − d
dt

{
1

2

(
Bv2 cos θ

)
t2
}

=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ

)
t .

(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela

lei de Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.

�

6

7

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2009/2
Segunda Prova (P2) – 07/12/2009

Versa˜o: D

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:

Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o

Parte objetiva (total)

Parte discursiva: Questa˜o 1

Parte discursiva: Questa˜o 2

Total

INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!

1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!

2. A prova constitui-se de duas partes:

• uma parte de dez (10) questo˜es objetivas, de mu´ltipla escolha (sem nenhum tipo de penalizac¸a˜o), cada
uma das quais valendo 0,5 ponto

• uma parte discursiva, constitu´ıda por duas questo˜es discursivas (ou argumentativas ou dissertativas),
cada uma das quais valendo 2,5 pontos.

3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.

4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)

Formula´rio

I =

∫
S
J ·nˆdA , J = nqv , V = RI , Fm = qv×B , Fm =

∫
C
Idℓ×B ,

∮
S
B · nˆ dA = 0 , B = µ0

4π

qv × rˆ
r2

, B =

∫
C

µ0
4π

Idℓ× rˆ
r2

,

∮
C
B ·dℓ = µ0I + µoǫ0 dΦE

dt
,

E = −dΦB
dt

, uB =
1

2

B2

µ0
.

1

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)

1. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?

0 1 2 3 4 5 6

I 3I

X

(a) 1 .

(b) 11/4 .

(c) 3 .

(d) 7/2 .

(e) 4 .

(f) 17/4 .

(g) 6 .

2. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1

2
B0(

√
3yˆ + zˆ) , onde B0

e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:

(a) πR2|B0|,
√

3
2
πR2B0I yˆ, πR

2B0I .

(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1

2
πR2|B0|, −

√
3

2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .

(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .

(e) 1
2
πR2|B0|, −

√
3

2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .

3. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.

b

xˆ

yˆ

zˆ

(a) xˆ .

(b) −xˆ .
(c) yˆ .

(d) −yˆ .
(e) zˆ .

(f) −zˆ .

4. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:

(a) 4R .

(b)
√
2R .

(c) R/2 .

(d) R/4 .

(e) o mesmo .

2

5. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.

(a) V, V,