P2_4h_f3unif_092_def_enunc_gab
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190 V .

(e) 390 V .

2

9. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?

bI

⊗ ⊗

b

P

2I I

a

a

b

xˆ

yˆ

zˆ

(a) µ0I
pia

xˆ .

(b) −µ0I
pia

xˆ .

(c)
√

2µ0I
pia

xˆ .

(d) −
√

2µ0I
pia

(xˆ+ yˆ) .

(e) µ0I
pia

yˆ .

(f) −µ0I
pia

yˆ .

(g) 0 .

10. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.

Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.

Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

3

Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas

1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)

2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Sabendo que

I =

∫
S

J · nˆ dA ,

e considerando que
J(r) = J0

(
r2/R2

)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,

encontraremos

I =

∫ R
0

J0
(
r2/R2

)
2πr dr (zˆ · zˆ)

=
2πJ0
R2

∫ R
0

r3 dr

=
2πJ0
R2

r4

4

∣∣∣∣
R

0

=
1

2
πR2J0 .

(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que

∮
B · dℓ = µ0Ienc .

Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que

∮
B · dℓ =

∫ 2pi
0

B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi

0

dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)

e assim

B(r) =
µ0 I(r)

2πr
φˆ .

Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que

I(r) =

∫
S

J · dnˆdA

=

∫ r
0

J0
(
r2/R2

)
2πr dr (zˆ.zˆ)

=
2πJ0
R2

∫ R
0

r3 dr

4

=
2πJ0
R2

r4

4

∣∣∣∣
r

0

=
1

2

πJ0r
4

R2

de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que

B(r) =

[
µ0J0r

3

4R2

]
φˆ, .

(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em

B(r) =

[
µ0J0R

2

4r

]
φˆ, .

�

2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo do campo magne´tico Φ

B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,

v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por

Φ
B
=

∫
S

B · nˆ dA =
∫

S

B dA cos θ = B cos θ

∫
S

dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .

5

Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =

√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/

√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para

Φ
B
, encontraremos que

Φ
B
(t) =

1

2

(
Bv2 cos θ

)
t2 .

(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por

Eind = − dΦB
dt

= − d
dt

{
1

2

(
Bv2 cos θ

)
t2
}

=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ

)
t .

(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela

lei de Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.

�

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