Matemática Essencial
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Matemática Essencial

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Matemática Essencial: Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria
Superior Cálculos

Ensino Superior: Glossário de Álgebra Linear

A B C D E F G H I L M N O P S T V

"O temor do Senhor é o princípio sabedoria; e o conhecimento do
Santo é o entendimento."
Provérbios 9:10 A Bíblia Sagrada

autoespaço O autoespaço associado ao autovalor c de uma matriz A é
o núcleo da matriz A-cI. O autoespaço é um subespaço vetorial de Rn.

autovalor Um autovalor de uma matriz quadrada A é um escalar c tal
que Av=cv é verdadeiro para algum vetor v não nulo.

autovetor Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não
nulo V tal que Av=cv é verdadeiro para algum escalar c.

base Um conjunto de vetores {v1,...,vk} contido em um subespaço W é
uma base para W, se:

a. {v1,...,vk} é linearmente independente

b. {v1,...,vk} gera W.

combinação linear Um vetor v é uma combinação linear dos vetores
v1, ..., vk se existem escalares a1, ..., ak tal que

v = a1v1 +...+ akvk

complemento ortogonal O complemento ortogonal de um subespaço S
de Rn é o conjunto de todos os vetores v Rn que são ortogonais a
todos os vetores de S.

conjunto ortogonal Um conjunto de vetores em Rn é ortogonal se o
produto escalar de quaisquer dois vetores deste conjunto é zero.

conjunto ortonormal Um conjunto de vetores em Rn é ortonormal se é
um conjunto ortogonal de vetores e cada vetor tem comprimento 1.

consistente Um sistema de equações lineares é consistente se tem
pelo menos uma solução. Ver: inconsistente.

coordenadas relativas a uma base Se u Rn pode ser escrito como
uma combinação linear dos vetores de uma base {v1,...,vn} de Rn

u = a1v1 +...+ anvn

os coeficientes a1,...,an são as coordenadas do vetor u relativo a esta
base {v1,...,vn}.

dependência linear Uma relação de dependência linear para um
conjunto de vetores {v1,...,vk} é uma equação da forma

a1v1 +...+ akvk = Ö

em que nem todos os escalares a1,..., ak são nulos.

diagonalizável Uma matriz é diagonalizável se ela é semelhante a
uma matriz diagonal.

dimensão A dimensão de um subespaço W é o número de vetores em
qualquer base de W. Se W é o subespaço nulo, dizemos que a sua
dimensão é 0.

espaço coluna O espaço coluna de uma matriz é o subespaço gerado
pelas colunas da matriz considerada como um conjunto de vetores.

espaço linha o espaço linha de uma matriz é o subespaço gerado
pelas linhas da matriz considerada como um conjunto de vetores.

espaço vetorial Espaço vetorial sobre um corpo K é um conjunto V de
objetos (denominados vetores), munido de duas operações binárias:
adição e multiplicação por escalar, satisfazendo às seguintes
propriedades:

a. Associativa Quaisquer que sejam u V, v V e w V, tem-se que

(u + v) + w = u + (v + w)

b. Comutativa Quaisquer que sejam u V, v V e w V, tem-se que

u + v = v + u

c. Elemento neutro Existe um elemento Ö V tal que para todo v V

Ö + v = v

d. Elemento oposto Para cada v V, existe -v V tal que

v + (-v) = Ö

e. Produto pelo escalar 1 Para todo v V, tem-se que

1.v = v

f. Distributiva da adição pelo escalar Para todo escalar c K e para
todos v V e w V, vale:

c.(v+w) = c.v + c.w

g. Distributiva dos escalares pelo vetor Para todos os escalares c
K e d K e para todo v V, vale:

(c+d).v = c.v + d.v

h. Associatividade mista Para todos os escalares c K e d K e
para todo v V, vale:

(c.d).v = (d.c).v = c.(dv)

forma escalonada por linhas Uma matriz está na forma escalonada
por linhas, se:

1. Linhas nulas: Todas as linhas que são totalmente nulas são
colocadas juntas na parte de baixo da matriz;

2. Pivot: O primeiro elemento não nulo (contado da esquerda para
a direita) em cada linha não nula aparece em uma coluna à
direita da primeiro elemento não nulo da linha anterior (se existir
algum na linha anterior).

forma reduzida escalonada por linhas Uma matriz está na forma
reduzida escalonada por linhas se:

1. Forma da matriz: escalonada por linhas;

2. Unitário: o primeiro elemento não nulo em cada linha não nula é
o número 1, isto é, o pivot é , e

3. Unicidade do pivot: o primeiro elemento não nulo em cada linha
não nula é o único elemento não nulo nesta coluna.

gera Um conjunto de vetores {v1,...,vk} gera um subespaço S se todo
vetor de S pode ser escrito como combinação linear de v1,...,vk.

gerado O subespaço gerado por um conjunto de vetores {v1,...,vk} é o
subespaço S de todas as combinações lineares de v1, ..., vk.
Afirmamos que este subespaço S é gerado pelo conjunto de vetores
{v1,...,vk} e que este conjunto de vetores gera S.

homogêneo Um sistema de equações lineares Ax=b é homogêneo se
b=Ö. Se b é diferente de Ö, o sistema é denominado não-homogêneo.

identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal principal
são iguais a 1 e todos os outros elementos da matriz são iguais a
zero. Ver matriz identidade.

imagem de uma transformação linear A imagem da transformação
linear T é o conjunto de todos os vetores T(v), onde v dom(T) =
domínio de T.

inconsistente Um sistema de equações lineares é inconsistente se ele
não possui qualquer solução. Ver: consistente.

inversa Uma matriz B é uma inversa para uma matriz A se

A B = B A = I

inversível Uma matriz é inversível se ela tem uma inversa. Uma
palavra sinônima é não-singular.

linearmente dependente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é
linearmente dependente se a equação

a1v1 +...+ akvk = Ö

tem uma solução, sendo que nem todos os escalares a1,...,ak podem
ser nulos, isto é, se {v1,...,vk} satisfaz uma relação de dependência
linear.

linearmente independente Um conjunto de vetores {v1,...,vk} é
linearmente independente se, a única solução para a equação

a1v1 +...+ akvk = Ö

é a solução onde todos os escalares a1,...,ak são nulos, isto é, se
{v1,..., vk} não satisfaz qualquer relação de dependência linear.

matriz elementar É uma matriz que pode ser obtida por operações
elementares por linhas sobre a matriz identidade.

matriz identidade Matriz quadrada em que os elementos da diagonal
principal são iguais a 1 e todos os outros escalares são nulos.

matriz ortogonal Uma matriz A é ortogonal se A é inversível e sua
inversa é igual à sua transposta, isto é:

A-1 = At

matriz simétrica Uma matriz A é simétrica se ela é igual à sua
transposta, isto é:

A = At

matrizes linha equivalentes Duas matrizes são linha equivalentes se
uma pode ser obtida da outra por uma sequência de operações
elementares por linhas.

multiplicidade algébrica A multiplicidade algébrica do autovalor c de
uma matriz A é o número de vezes que o fator (t-c) ocorre no
polinômio característico de A.

multiplicidade geométrica A multiplicidade geométrica de um autovalor
c de uma matriz A é a dimensão do autoespaço de c.

não-singular Uma matriz quadrada A é não-singular se a única
solução para a equação Ax=Ö é x=Ö. Uma palavra sinônima é
inversível. Ver: singular.

núcleo de uma matriz O núcleo de uma matriz A de ordem m×n é o
conjunto de todos os vetores x Rn tal que Ax=Ö.

núcleo de uma transformação linear O núcleo de uma transformação
linear T é o conjunto de todos os vetores v do domínio de T tal que
T(v) = Ö.

nulidade de uma matriz Nulidade de uma matriz é a dimensão do
núcleo dessa matriz.

nulidade de uma transformação linear Nulidade de uma transformação
linear é a dimensão do núcleo dessa transformação.

operações elementares por linhas Operações elementares por linhas
realizadas sobre uma matriz são:

a. Trocar duas linhas;

b. Multiplicar linha por escalar não nulo;

c. Somar múltiplo de linha com outra linha.

polinômio característico Polinômio característico de uma matriz
quadrada A de ordem n é o polinômio na variável t definido por

p(t) = det(A - t In)

posto de uma matriz É o número de linhas não nulas quando a mesma
está escrita na forma reduzida escalonada por linhas. O posto de uma
matriz coincide com a dimensão do espaço linha da matriz.