Matriz-Leslie0
33 pág.

Matriz-Leslie0

Disciplina:Álgebra Linear II469 materiais5.792 seguidores
Pré-visualização7 páginas
Universidade Estadual do Oeste do Parana´

Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnolo´gicas

Curso de Licenciatura em Matema´tica

ROGE´RIO LUIS RIZZI

TO´PICOS EM A´LGEBRA LINEAR APLICADA

Cascavel

2010

Suma´rio

1 MODELO DE LESLIE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Introduc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Modelo de Leslie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Comportamento Assinto´tico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4 Fundamentos Matema´ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5 Refereˆncias para o To´pico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

i

1
1 MODELO DE LESLIE

Um modelo que se destaca na avaliac¸a˜o de certas variac¸o˜es populacionais e´ o modelo

de Leslie, que e´ baseado em matrizes e outros conceitos e resultados da A´lgebra Linear. Tal

modelo descreve a variac¸a˜o da porc¸a˜o de feˆmeas de certa populac¸a˜o, com um conhecido tempo

de vida. As feˆmeas sa˜o divididas em faixas eta´rias, tendo cada faixa um intervalo de tempo

de mesmo tamanho. Usando os dados sobre a me´dia de nascimentos e as probabilidades de

sobreviveˆncia de cada faixa, o modelo e´ capaz de predizer a variac¸a˜o da populac¸a˜o em relac¸a˜o

ao tempo. Por essa raza˜o o modelo e´ dito ser um modelo de projec¸a˜o populacional

1.1 Introduc¸a˜o

Quando se estuda inicialmente a variac¸a˜o populacional, quer em termos discretos

quer em termos cont´ınuos, na˜o distingue entre os membros da populac¸a˜o suas caracter´ısticas

individuais, relativas a` sua capacidade de sobreviveˆncia e de se reproduzir. Contudo na realidade

essas caracter´ısticas sa˜o diferentes entre indiv´ıduos com idades diferentes, tamanho corporal

diferente, ou quaisquer outras caracter´ısticas individuais que influenciem a sobreviveˆncia e

fertilidade (GOMES, 2009).

Por exemplo, uma populac¸a˜o formada predominantemente por indiv´ıduos jovens,

deve ter caracter´ısticas dinaˆmicas diferentes de uma outra populac¸a˜o com o mesmo quanti-

tativos, mas dominada por indiv´ıduos mais velhos. Assim, uma descric¸a˜o mais rigorosa da

variac¸a˜o da populac¸a˜o, passa por tomar em considerac¸a˜o que a populac¸a˜o se subdivide em

grupos de indiv´ıduos com diferentes taxas vitais. Ou seja, com distintas taxas de sobreviveˆncia

e de fertilidade.

Neste estudo de caso se desenvolve considerac¸o˜es e certa modelagem matema´tica

a respeito de uma populac¸a˜o com estrutura eta´ria. A estrutura eta´ria de uma populac¸a˜o e´ a

sua distribuic¸a˜o por idade.

O estudo da variac¸a˜o temporal de uma populac¸a˜o e´ designado por dinaˆmica popu-

lacional ou dinaˆmica da populac¸a˜o. Entre seus objetivos esta´ o estudo das alterac¸o˜es dos

quantitativos populacionais, e de suas causas. Geralmente visa-se predizer o comportamento

da populac¸a˜o e analisar as consequ¨eˆncias ecolo´gicas de sua variac¸a˜o populacional.

Um dos modelos que e´ frequentemente empregado no estudo da dinaˆmica de popu-

2
lac¸o˜es e´ o Modelo de Leslie, desenvolvido pelo fisio´logo Patrick Holt Leslie (1900 - 1974)1.

Existem basicamente dois processos que afetam a variac¸a˜o do tamanho de uma

populac¸a˜o. Os nascimentos e as imigrac¸o˜es que aumentam seu tamanho, e as mortes e as

emigrac¸o˜es que diminuem seu tamanho. A figura 1 esclarece essa dinaˆmica.

Figura 1: Modelagem da Variac¸a˜o do Nu´mero de Indiv´ıduos de Uma Populac¸a˜o. Fonte:
COSTA, M. I. S. Introduc¸a˜o aos Modelos em Ecologia Populacional. LNCC. 2004.

E´ claro que sa˜o mais simples e fa´ceis de analisar esses modelos que neles na˜o interve´m

nenhum desses processos. Nesses modelos muito simplificados pode-se supor que: a) Todos

os indiv´ıduos da populac¸a˜o sa˜o iguais, sobretudo no que se refere a`s taxas de natalidade, de

mortalidade e de sobreviveˆncia; b) Os recursos dispon´ıveis sa˜o limitados.

Os fatos mostram que essas hipo´teses sa˜o va´lidas somente em um nu´mero limitado

de situac¸o˜es. E´ claro que a taxa de mortalidade pode ser diferente entre os indiv´ıduos de

diferentes faixas eta´rias. Na natureza, em certas populac¸o˜es, e´ maior a taxa de mortalidade

1Fisio´logo e´ o estudioso da fisiologia. A fisiologia (do grego physis = natureza e logos = palavra
ou estudo) e´ o ramo da biologia que estuda as mu´ltiplas func¸o˜es mecaˆnicas, f´ısicas e bioqu´ımicas nos
seres vivos. De uma forma mais sinte´tica, a fisiologia estuda o funcionamento do organismo. Fonte:
http://pt.wikipedia.org/wiki/Fisiologia

3
nos indiv´ıduos de maior idade do que entre os mais jovens. Tambe´m taxa de fertilidade 2

e´ influenciada pela estrutura eta´ria. Feˆmeas muito jovens na˜o podem ter filhos, enquanto

feˆmeas muito maduras tem uma menor taxa de fertilidade ou na˜o podem mais se reproduzir.

Aprimorar a modelagem da dinaˆmica populacional e´, portanto, desenvolver modelos

matema´ticos para o estudo de uma populac¸a˜o que leve em conta as caracter´ısticas particulares

de cada um dos indiv´ıduos considerando-se que e´ homogeˆnea a taxa de sobreviveˆncia, mas que

se tenham diferentes taxas de fertilidade. Esse modelo e´ mais frequentemente utilizado por

demo´grafos para estudar a variac¸a˜o de uma populac¸a˜o, animal ou humana.

Para efeitos da dinaˆmica temporal de populac¸o˜es estruturadas por idade,

para algumas situac¸o˜es pode-se supor que a populac¸a˜o consiste inteiramente de feˆmeas. Essa

suposic¸a˜o e´ razoa´vel para a maioria das espe´cies onde a quantidades de machos e´ praticamente

a mesma de feˆmeas. Ale´m disso, nas questo˜es reprodutivas o papel determinante e´ das feˆmeas

e na˜o dos machos. Tambe´m, em muitas populac¸o˜es e´ dif´ıcil determinar a paternidade dos

filhotes 3.

Um modelo sob esse escopo e´ o de Leslie que descreve a variac¸a˜o da frac¸a˜o de

feˆmeas da populac¸a˜o, classificando as feˆmeas por idade em intervalo de igual nu´mero de anos.

Vamos dar um exemplo para motivar as considerac¸o˜es posteriores, quando da introduc¸a˜o de

alguns resultados teo´ricos a respeito da A´lgebra Linear aplicada a esse tipo de problema.

EXEMPLO 1: (POOLE, D., 2004, pg. 207-210) Uma espe´cie de besouro alema˜o, o Vollmar-

Wasserman (ou besouro VW, para abreviar), vive no ma´ximo treˆs anos. No estudo de sua

dinaˆmica temporal divide-se o nu´mero de feˆmeas em treˆs faixas eta´rias de um ano cada.

• A primeira faixa e´ composta de jovens (zero a um ano).

• A segunda faixa e´ composta de adolescentes (um a dois anos) e,

• A terceira faixa e´ composta de adultos (dois a treˆs anos).

Algumas informac¸o˜es e dados relevantes sobre tal espe´cie sa˜o:

• As jovens na˜o po˜em ovos. Ou seja, na˜o se reproduzem. A taxa de sobreviveˆncia para as
jovens e´ de 50 por cento, ao ano. Isto e´, a probabilidade de uma jovem se tornar uma

adolescente e´ de 0, 5.

2Fecundidade e´ o potencial reprodutivo em condic¸o˜es ideais. Esse limite e´ definido pelo geno´tipo. Isto e´, a
reproduc¸a˜o e´ limitada pelo potencial gene´tico, na˜o pelo ambiente. Fertilidade e´ o real desempenho reprodutivo
sob condic¸o˜es ambientais. A taxa de fertilidade e´, por definic¸a˜o, inferior a` taxa de fecundidade.

3A maioria dos modelos de demografia se baseiam em somente um sexo, geralmente a feˆmea. As
premissas impl´ıcitas dessa lo´gica e´ que os ciclos vitais dos sexos sa˜o ideˆnticos ou a dinaˆmica da po-
pulac¸a˜o sa˜o determinados por um sexo independente da abundancia relativa do outro sexo. Fonte:
http://ecopoptarefas.tripod.com/id5.html

4
• Cada adolescente produz uma me´dia de quatro feˆmeas. A taxa de sobreviveˆncia das
adolescentes e´ de 25 por cento. Ou seja, a probabilidade de uma adolescente se tornar

uma adulta e´ de 0, 25.

• Cada adulta produz uma me´dia de treˆs feˆmeas. E´ claro