Matriz-Leslie0
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Matriz-Leslie0

Disciplina:Álgebra Linear II469 materiais5.792 seguidores
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que na˜o ha´ sobreviventes apo´s
um ano, pois o tempo ma´ximo de vida e´ 3 anos.

QUESTA˜O: Suponha que a populac¸a˜o inicial seja de 100 feˆmeas de VWs, de tal

modo que 40 sejam jovens, 40 sejam adolescentes e 20 adultas. Predizer qual sera´ a populac¸a˜o

de VWs para os pro´ximos cinco anos.

SOLUC¸A˜O: A modelagem inicial do problema e´ realizada considerando-se as infor-

mac¸o˜es sobre a me´dia de nascimentos e as probabilidades de sobreviveˆncia de cada faixa.

1. Apo´s um ano a populac¸a˜o de VWs jovens simplesmente sera´ o produzido naquele ano:

• Adolescentes produzem na me´dia quatro feˆmeas: 40× 4 = 160.
• Adultas produzem uma me´dia de treˆs feˆmeas: 20× 3 = 60.

A populac¸a˜o de jovens apo´s um ano e´ de 40× 4 + 20× 3 = 220 indiv´ıduos VW.

2. A populac¸a˜o de VWs adolescentes sera´ simplesmente o nu´mero inicial de jovens que

sobreviveram.

• Com efeito, jovens na˜o se reproduzem e os que se transformam em adolescentes
sa˜o: 40× 0, 5 = 20.

3. Da mesma forma, a populac¸a˜o de VWs adultas sera´ o nu´mero de adolescentes que

sobreviveram e se transformam em adultas. Note que as adultas morrem, apo´s um ano.

• Ou seja, simplesmente o nu´mero inicial de adolescentes pela taxa de sobreviveˆncia:
40× 0, 25 = 10.

Pode-se escrever essas equac¸o˜es na forma de uma equac¸a˜o matricial observando

que: 40× 4 + 20× 3 = 220; 40× 0, 5 = 20 e 40× 0, 25 = 10. Enta˜o tem-se:


0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


 .



40

40

20


 =




220

20

10


 (1.1)

Em notac¸a˜o vetorial pode-se escrever a expressa˜o (1.1) como:

LX0 = X1

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onde

X0 =




40

40

20




e´ o vetor de distribuic¸a˜o da populac¸a˜o inicial e,

X1 =




220

20

10




e´ o vetor de distribuic¸a˜o da populac¸a˜o apo´s um ano.

Como os dados sobre a me´dia de nascimentos e sobre as probabilidades de sobre-

viveˆncia de cada faixa sa˜o as mesmas para os besouros VWs, e´ poss´ıvel utilizar esses dados

para predizer qual sera´ a populac¸a˜o de VWs para os pro´ximos cinco anos.

Com efeito, usando a populac¸a˜o do primeiro ano como dado inicial, ou seja, calculando-

se a predic¸a˜o para o primeiro ano, LX0 = X1, pode-se calcular iterativamente os pro´ximos

vetores de distribuic¸a˜o populacional de forma a obter LX1 = X2, LX2 = X3, LX3 = X4 e

LX4 = X5. Assim procedendo obte´m-se, sucessivamente, as equac¸o˜es:


0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


 .



220

20

10


 =




110

110

5







0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


 .



110

110

5


 =




455

55

27, 5







0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


 .



455

55

27, 5


 =




302, 5

227, 5

13, 75







0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


 .



302, 5

227, 5

13, 75


 =




951, 2

151, 2

56, 88




Assim o modelo Leslie preveˆ que apo´s 5 anos existira˜o aproximadamente 951 feˆmeas

VW jovens, 151 feˆmeas VW adolescentes e 57 feˆmeas VW adultas. E´ claro que esses valores

sa˜o aproximados - nume´ricos - na˜o sendo poss´ıvel ocorrer quantidades fracionarias para indi-

v´ıduos. Na pro´xima sec¸a˜o usaremos esse exemplo para motivar a generalizac¸a˜o dos resultados

e notac¸o˜es introduzidas.

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Questo˜es relevantes sa˜o as interpretac¸o˜es dos valores obtidos. Os resultados mostram

que a populac¸a˜o de besouros VWs esta´ crescendo, embora ocorra algumas flutuac¸o˜es, como

o decre´scimo de X1 = 250 indiv´ıduos para X2 = 225 indiv´ıduos. A figura 2 mostra resultado

da predic¸a˜o do modelo por ate´ 10 anos, com a variac¸a˜o da populac¸a˜o em cada uma das treˆs

faixas eta´rias, mostrando o crescimento do total da populac¸a˜o.

Figura 2: Variac¸a˜o na Populac¸a˜o em Cada Faixa Eta´ria no Per´ıodo de 10 anos

Para um melhor entendimento do comportamento qualitativo da dinaˆmica popula-

cional, e´ usual trabalhar com a populac¸a˜o relativa e na˜o a calculada em cada faixa. Para

fazer isso basta calcular a frac¸a˜o da populac¸a˜o em cada faixa eta´ria em cada ano. Ou seja, e´

necessa´rio dividir cada vetor de distribuic¸a˜o pela soma de seus componentes.

Nessa abordagem tem-se, por exemplo, no primeiro ano (X1 = LX0) tem-se que

88 por cento da populac¸a˜o consiste em jovens, 8 por cento sa˜o adolescentes e 4 por cento sa˜o

adultas, pois 220/250 = 0, 88, 20/250 = 0, 08 e 10/250 = 0, 04, respectivamente. O vetor

de distribuic¸a˜o da populac¸a˜o relativa, para o caso do primeiro ano, pode ser escrito como:

1

250
X1 =

1

250




220

20

10


 =




0, 88

0, 08

0, 04


 (1.2)

e tal que em (1.2) tem-se 0, 88 + 0, 08 + 0, 04 = 1.

Usando a populac¸a˜o relativa em relac¸a˜o ao tempo o enta˜o resultado da figura 2

e´ agora mostrado na figura 3. Os resultados apresentados nesse gra´fico sa˜o reveladores.

Mostram que a proporc¸a˜o da populac¸a˜o em cada faixa eta´ria esta´ se aproximando de um

estado estaciona´rio.

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Figura 3: Proporc¸a˜o de Indiv´ıduos em cada Faixa Eta´ria se Aproximando do Estado Esta-
ciona´rio

Mostrar-se-a´ na sec¸a˜o 1.3 que o vetor de distribuic¸a˜o da populac¸a˜o, no estado

estaciona´rio para o problema aqui apresentado e´:


0, 72

0, 24

0, 04


 (1.3)

Ou seja, a longo prazo (k −→∞) mostra-se que 72 por cento da populac¸a˜o de
besouros VW sera´ composta por jovens, 24 por cento sera´ composta por adolescentes e 4 por

cento sera´ composta por adultas. Pode-se notar de (1.3) que a populac¸a˜o estara´ distribu´ıda

dentre essas faixas eta´rias segundo a raza˜o 18 : 6 : 1.

1.2 Modelo de Leslie

Como ja´ vimos na sec¸a˜o anterior que o modelo de Leslie, de dinaˆmica populacional

estruturado por faixas eta´rias, parte que somente as feˆmeas sa˜o importantes na evoluc¸a˜o

temporal da populac¸a˜o. Sa˜o treˆs as suposic¸o˜es ba´sicas para modelar os efeitos da dinaˆmica

temporal:

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1. A taxa de mortalidade depende da idade das feˆmeas da populac¸a˜o.

2. A taxa de fertilidade depende da idade das feˆmeas da populac¸a˜o.

3. O nu´mero de feˆmeas e de machos na populac¸a˜o sa˜o similares.

Suponha que no instante inicial quando t = 0 se conhece o nu´mero de feˆmeas que

ha´ em cada um dos intervalos. Se chamarmos de xi(0) o nu´mero de feˆmeas existentes na

i−e´sima classe no instante inicial, enta˜o se pode construir o vetor de distribuic¸a˜o inicial X0,
determinando as n classes x1(0), x2(0), · · · , xn−1(0) e xn(0).

E´ claro que o vetor de distribuic¸a˜o da populac¸a˜o de feˆmeas vai mostrar diferentes

valores para distintos intervalos de tempo. Com o passar do tempo o nu´mero de nascimentos,

de envelhecimento e de mortes altera o quantitativo do nu´mero de feˆmeas em cada faixa eta´ria.

Objetiva-se, portanto, verificar a evoluc¸a˜o temporal do vetor X0.

O procedimento para estudar o processo de variac¸a˜o da populac¸a˜o e´ tomar obser-

vac¸o˜es (ou calcular) da populac¸a˜o em tempos discretos t0, t1, · · · , tk. O modelo de Leslie
requer que a durac¸a˜o do intervalo de tempo entre os tempos consecutivos de observac¸a˜o (ou

de ca´lculo) seja igual a` durac¸a˜o dos intervalos de idade.

Supondo que a idade ma´xima alcanc¸ada por uma feˆmea seja L (semanas, meses,

anos), divide-se a populac¸a˜o de n classes de idade (as faixas eta´rias), de modo que cada classe

tera´ L
n
semanas, meses ou anos de durac¸a˜o, e tal que se tem t0 = 0, t1 =

L
n
, t2 =

2L
n
, · · · ,

tk =
kL
n
.

A figura 4 fornece uma interpretac¸a˜o geome´trica para a subdivisa˜o do tempo total

em subintervalos igualmente espac¸ados no tempo.

Figura 4: Uma interpretac¸a˜o para Divisa˜o do Ciclo Biolo´gico em Subintervalos de Tempo
Igualmente Espac¸ados. Fonte: MORENO, A. J. L, 2010.

Ou seja, se a escala temporal da populac¸a˜o estudada e´, por exemplo, em anos, a

populac¸a˜o total de feˆmeas e´ subdividida em n faixas (ou classes) de modo que se tem:

• Faixa 1: Inclui as feˆmeas que tem de 0 ate´ L
n
anos.

• Faixa 2: Inclui as feˆmeas que tem de L
n
anos ate´ 2L

n
anos.

• Faixa 3: Inclui as feˆmeas que tem de 2L
n
anos ate´ 3L

n
anos.

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• Faixa n− 1: Inclui as feˆmeas que tem de (n− 2)L
n
anos ate´ (n−