Matriz-Leslie0
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Matriz-Leslie0

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1)L

n
anos.

• Faixa n: Inclui as feˆmeas que tem de (n− 1)L
n
anos ate´ nL

n
= L anos.

E quando a idade ma´xima e´ L na˜o se necessita considerar outras faixas, obviamente.

Assim, em resumo, se a idade ma´xima alcanc¸ada por uma feˆmea qualquer de uma populac¸a˜o

e´ L anos, e se tal populac¸a˜o e´ subdividida em n faixas eta´rias, cada faixa tera´ L/n anos de

durac¸a˜o. Disso resulta uma tabela como mostrado na tabela 1.

Faixa Eta´ria Intervalo de Idade

1
[
0, L

n

)
2

[
L
n
, 2L

n

)
3

[
2L
n
, 3L

n

)
...

...

n− 1
[

(n−2)L
n

, (n−1)L
n

)
n

[
(n−1)L

n
, L
)

Tabela 1: Relac¸a˜o entre a Faixa Eta´ria e os Intervalos de Idade para Cada Uma Delas

Assim, para 1 ≤ i ≤ n, a populac¸a˜o xi(k) da i−e´sima classe eta´ria, Ci, mensurada
no tempo tk =

kL
n

e´ denotada por:

Ci(k) =

[
(i− 1)L

n
,
iL

n

)

Sob essas considerac¸o˜es, todas as feˆmeas de uma determinada faixa eta´ria no tempo

tk estariam na faixa eta´ria anterior no tempo tk−1. Os processos de nascimento devido a`

fertilidade e de sobreviveˆncia entre dois tempos consecutivos de observac¸a˜o podem ser descritos

considerando que:

• Fi e´ o nu´mero me´dio de feˆmeas nascidas por ma˜e durante o tempo em que a ma˜e esta´
na i− e´sima faixa eta´ria. Ou seja, Fi e´ o nu´mero de descendentes femininas via´veis de
uma feˆmea no per´ıodo i, produzidas durante o intervalo de projec¸a˜o [, t + 1). Via´veis

significa que estas descendentes ainda esta˜o vivas no inicio do intervalo de projec¸a˜o

seguinte, i.e. no instante t + 1. Assim, Fi ≥ 0 para i = 1, · · · , n.

• Pi e´ a frac¸a˜o de feˆmeas na i−e´sima faixa eta´ria que se espera que va´ sobreviver e passar
para a (i + 1)−e´sima faixa eta´ria. Ou seja, Pi e´ a probabilidade de que uma feˆmea do
estado i, no instante de censo t, sobreviva e esteja na faixa i+1 no pro´ximo censo t+1

10

Assim, 0 < Pi ≤ 1, com i = 1, · · · , n − 1, pois toda probabilidade sempre esta´ nessa
faixa de valores.

Observe que na˜o pode ocorrer o caso em que Pi = 0 (probabilidade de sobreviveˆncia

nula), pois caso contra´rio na˜o haveria feˆmea sobrevivente na faixa eta´ria (i). Veja importantes

discusso˜es a respeito de tal taxa de probabilidade em (MONTSHIWA, 2007) e (GOMES, 2009).

Tambe´m se supo˜e que existe pelo menos um Fi > 0 (taxa de fertilidade positiva) para garantir

que havera´ nascimentos. A classe (ou faixa) eta´ria onde Fi > 0 e´ chamada de classe fe´rtil.

Essas taxas sa˜o as mais relevantes para esse modelo, sendo designadas de taxas vitais.

Note que se X0 denota o vetor distribuic¸a˜o das n classes no instante inicial t = 0,

enta˜o se pode escrever tal vetor como:

X0 =




x1(0)

x2(0)
...

xn−1(0)

xn(0)




sendo que esse vetor designa que existem x1(0) feˆmeas na classe 1, x2(0) feˆmeas na classe 2,

. . ., e xn(0) feˆmeas na classe (faixa) n.

Pode-se, portanto, determinar o nu´mero de feˆmeas que existira˜o em cada classe no

futuro a partir da avaliac¸a˜o da distribuic¸a˜o populac¸a˜o das feˆmeas nas n classes do instante

inicial, t = 1, ate´ o instante final, t = k. Essa distribuic¸a˜o pode ser representada por:

• No instante t = 1 tem-se:

– x1(1) feˆmeas na classe 1.

– x2(1) feˆmeas na classe 2.

–
...

– xn−1(1) feˆmeas na classe n− 1.
– xn(1) feˆmeas na classe n.

• No instante t = 2 tem-se:

– x1(2) feˆmeas na classe 1.

– x2(2) feˆmeas na classe 2.

–
...

– xn−1(2) feˆmeas na classe n− 1.

11

– xn(2) feˆmeas na classe n.

• ...

• No instante t = k − 1 tem-se:

– x1(k − 1) feˆmeas na classe 1.
– x2(k − 1) feˆmeas na classe 2.
–

...

– xn−1(k − 1) feˆmeas na classe n− 1.
– xn(k − 1) feˆmeas na classe n.

• No instante t = k tem-se:

– x1(k) feˆmeas na classe 1.

– x2(k) feˆmeas na classe 2.

–
...

– xn−1(k) feˆmeas na classe n− 1.
– xn(k) feˆmeas na classe n.

Usando a notac¸a˜o matricial pode-se escrever, se chamarmos de X1, X2, . . ., Xn−1

e Xn os vetores-colunas com essas informac¸o˜es, como:

X1 =




x1(1)

x2(1)
...

xn−1(1)

xn(1)



, X2 =




x1(2)

x2(2)
...

xn−1(2)

xn(2)



, . . . ,

Xk−1 =




x1(k − 1)
x2(k − 1)

...

xn−1(k − 1)
xn(k − 1)



, Xk =




x1(k)

x2(k)
...

xn−1(k)

xn(k)




As taxas vitais, a taxa de fertilidade e de sobreviveˆncia, que sa˜o essenciais no modelo

de Leslie, podem ser sistematizadas como:

• Referente a` taxa de fertilidade:

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– O nu´mero me´dio de filhas que tem as feˆmeas da classe 1 e´ igual a F1.

– O nu´mero me´dio de filhas que tem as feˆmeas da classe 2 e´ igual a F2.

–
...

– O nu´mero me´dio de filhas que tem as feˆmeas da classe n− 1 e´ igual a Fn−1.
– O nu´mero me´dio de filhas que tem as feˆmeas da classe n e´ igual a Fn.

• Referente a` taxa de sobreviveˆncia:

– O nu´mero me´dio de feˆmeas da classe 1 que passa para a classe 2 e´ igual a P1.

– O nu´mero me´dio de feˆmeas da classe 2 que passa para a classe 3 e´ igual a P2.

–
...

– O nu´mero me´dio de feˆmeas da classe n− 2 que passa para a classe n− 1 e´ igual
a Pn−2.

– O nu´mero me´dio de feˆmeas da classe n − 1 que passa para a classe n e´ igual a
Pn−1.

Assim, o nu´mero de feˆmeas da (i + 1)−e´sima faixa, com i = 1, · · · , n − 1, no
tempo t = k+1, e´ igual ao nu´mero de feˆmeas da (i)−e´sima classe no tempo t = k que esta˜o
vivas. Ou seja, obte´m-se a expressa˜o xi+1(k) = Pixi (k − 1). Com efeito, a relac¸a˜o da taxa
de sobreviveˆncia (probabilidade) pelo nu´mero me´dio de feˆmeas de uma classe no tempo k− 1
que passa para outra classe no tempo k mostra que as seguintes igualdades sa˜o satisfeitas:

x2(k) = P1x1(k − 1)
x3(k) = P2x2(k − 1)

...

xn−1(k) = Pn−2xn−2(k − 1)
xn(k) = Pn−1xn−1(k − 1)

(1.4)

Assim, se X(k) denota o vetor de distribuic¸a˜o inicial das n faixas eta´rias no tempo

tk, o nu´mero de feˆmeas da primeira faixa sera´ gerado unicamente pelas feˆmeas nascidas entre

os tempos tk−1 e tk, de modo que se pode escrever para essa situac¸a˜o que:

x1(k) =
n∑
i=1

Fixi(k − 1)

Ou seja, a relac¸a˜o da taxa de fertilidade pelo nu´mero me´dio de filhas que tem as

feˆmeas da classe n e passam para a classe n+1, mostra que as filhas de cada classe ao terem

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a menor idade (nascendo entre os n´ıveis de tempo k − 1 e k) entre as feˆmeas das distintas
classes, passara˜o integrar a primeira classe - das mais jovens - valendo:

x1(k) = F1x1(k − 1) + F2x2(k − 1) + · · ·+ Fn−1xn−1(k − 1) + Fnxn(k − 1) (1.5)

As expresso˜es (1.4) e (1.5) permitem calcular o nu´mero de feˆmeas em cada classe

no per´ıodo k a partir das feˆmeas que se tem no per´ıodo k − 1. Essas equac¸o˜es podem ser
escritas matricialmente como:



x1(k)

x2(k)

x3(k)
...

xn−1(k)

xn(k)




=




F1 F2 · · · Fn−1 Fn
P1 0 · · · 0 0
0 P2 · · · 0 0
...

...
. . .

...
...

0 0 · · · 0 0
0 0 · · · Pn−1 0



.




x1(k − 1)
x2(k − 1)
x3(k − 1)

...

xn−1(k − 1)
xn(k − 1)




(1.6)

A figura 5 fornece uma interpretac¸a˜o compartimental para o sistema apresentado

na expressa˜o (1.6)

Figura 5: Uma Representac¸a˜o para o Ciclo de Vida para n Classes.

As equac¸o˜es (1.4) e (1.5) podem ser expressas vetorialmente como:

X(k) = LX(k − 1) (1.7)

onde em (1.7)

L =




F1 F2 · · · Fn−1 Fn
P1 0 · · · 0 0
0 P2 · · · 0 0
...

... · · · ... ...
0 0 · · · Pn−1 0




(1.8)

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A matriz (1.8) e´ designada na literatura te´cnica por matriz de Leslie. Essa matriz

e´ tambe´m designada de matriz de transic¸a˜o ou matriz de projec¸a˜o4 e os vetores de

distribuic¸a˜o sa˜o tambe´m designados de vetores de estado.

Note que a expressa˜o (1.7), X(k) = LX(k − 1), e´ recursiva. Ou seja, pode-se
obter:

X(k) = LX (k − 1)
= L (LX(k − 2))
= L (L (LX(k − 3)))
=

...

= LkX(0)

desde que a matriz de Leslie permanec¸a constante ao longo do tempo. Essa e´ a situac¸a˜o,

pois estamos considerando um modelo linear. Note que (1.6) enta˜o representa um sistema de

equac¸o˜es de diferenc¸as que na˜o varia no tempo.

A expressa˜o X(k) = LkX(0) mostra que, conhecida a distribuic¸a˜o inicial da po-