Matriz-Leslie0
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Matriz-Leslie0

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pulac¸a˜o e a matriz de Leslie, pode-se determinar a distribuic¸a˜o das populac¸o˜es das feˆmeas,

por faixa eta´ria, em qualquer k n´ıvel de tempo, bastando para isso multiplicar o vetor ini-

cial por uma apropriada poteˆncia da matriz de Leslie. Ou seja, pode-se calcular um vetor

de estado arbitra´rio (vetor de distribuic¸a˜o da populac¸a˜o) iterativamente, uma vez conhecido

o vetor de estado inicial (vetor de distribuic¸a˜o inicial) e a matriz de transic¸a˜o (matriz de Leslie).

EXEMPLO 2: A tabela apresentada na figura 6 e´ designada na literatura pertinente como

tabela da vida.

Figura 6: Um Exemplo para Uma Tabela de Dados da Vida.

E a figura 7 fornece uma interpretac¸a˜o compartimental para os dados dispostos na

figura 6.

4Projec¸a˜o e´ um termo usado em dinaˆmica populacional e demografia como sinoˆnimo de prever o futuro
sob certos pressupostos. Projetar uma populac¸a˜o e´, portanto, dizer o que vai acontecer a` populac¸a˜o, caso se
verifiquem pressupostos devidamente explicitados

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Figura 7: Uma Representac¸a˜o do Ciclo de Vida da Tabela Anteriormente Apresentada

1.3 Comportamento Assinto´tico

Para motivar a discussa˜o sobre o comportamento limite de um modelo matricial

para a previsa˜o (projec¸a˜o) de uma populac¸a˜o futura de certa espe´cie, vamos dar continuidade

a` soluc¸a˜o do exemplo 1. Nesse exemplo afirmou-se que o vetor de distribuic¸a˜o da popula-

c¸a˜o, no estado estaciona´rio para o problema apresentado seria dado por (0, 72, 0, 24, 0, 04)t,

mostrando que a longo prazo 72 por cento da populac¸a˜o de besouros sera´ composta por jovens,

24 por cento sera´ composta por adolescentes e 4 por cento sera´ composta por adultas. Ou,

mais especificamente, que populac¸a˜o estara´ distribu´ıda nessas faixas eta´rias segundo determi-

nada proporc¸a˜o.

EXEMPLO 3: (POOLE, D., 2004, pg. 295-297) A partir dos dados do enunciado obteve-se

para o exemplo 1 que a matriz de Leslie e´ especificada por:

L =




0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0




e afirmou-se que as iterac¸o˜es dos vetores populac¸a˜o se aproximavam do vetor:


0, 72

0, 24

0, 04




que indica que as sucessivas iterac¸o˜es se aproximavam de um mu´ltiplo do vetor:

X =




18

6

1




Ou seja, as treˆs faixas eta´rias da populac¸a˜o de besouros ficam estaciona´rias na raza˜o

18 : 6 : 1 ou, em termos de proporc¸a˜o, 1 : 1/3 : 1/18, pois 18/1 = 18, 18/3 = 6 e 18/18 = 1.

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Note que as razo˜es para o ano subsequ¨ente podem ser obtidas calculando:

LX =




0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


 .



18

6

1


 =




27

9

1, 5


 = 1, 5X

e as componentes continuam obedecendo a` raza˜o de 18 : 6 : 1 = 27 : 9 : 1, 5. Assim, quando

atingida essa relac¸a˜o ocorre uma estabilidade na distribuic¸a˜o das feˆmeas nas distintas faixas

eta´rias e o valor 1, 5 na expressa˜o LX = 1, 5X representa a taxa de crescimento da populac¸a˜o

quando ela atinge seu estado estaciona´rio.

De seu conhecimento em A´lgebra Linear voceˆ pode reconhecer que a modelagem

matricial de um problema relativo a` dinaˆmica populacional recaiu numa equac¸a˜o do tipo

LX = λX, onde L e´ uma matriz quadrada n × n, X e´ vetor n × 1 e λ = 1, 5 um nu´mero
real. Assim, empenhando-se um pouco mais (ou apenas abrindo um livro qualquer de A´lgebra

Linear, se for o caso), voceˆ percebe que esta´ num problema de autovalor e autovetor.

Com efeito, pois dada uma matriz quadrada L, diz-se que um escalar λ e´ autovalor

de L se existe um vetor na˜o nulo X tal que LX = λX, sendo tal vetor chamado de autovetor

de L (no seu livro de A´lgebra Linear a notac¸a˜o mais usual e´ AX = λX).

Na sec¸a˜o 1.4 faz-se o desenvolvimento desses e de outros conceitos mostrando a

soluc¸a˜o de um problema em dinaˆmica populacional associado ao problema de autovalor. No

momento, pore´m, pontua-se os passos necessa´rios para determinar autovalores e autovetores

de uma matriz quadrada (POOLE, D., 2004, pg. 264):

1. Encontre o polinoˆmio caracter´ıstico de L.

2. Determine os autovalores de L atrave´s de sua equac¸a˜o caracter´ıstica.

3. Encontre, para cada autovalor, o subespac¸o anulado por L−λI, que e´ o auto-subespac¸o
associado ao autovalor λi, formado pelos autovetores de L.

4. Determine uma base para cada auto-subespac¸o

onde o polinoˆmio caracter´ıstico de L e´ o polinoˆmio P (λ) obtido pelo ca´lculo de P (λ) =

det(L− λI) e a equac¸a˜o det(L− λI) = 0 e´ denominada equac¸a˜o caracter´ıstica de L. E, os
autovalores da matriz L sa˜o precisamente as soluc¸o˜es λ da equac¸a˜o caracter´ıstica.

Dando continuidade a` resoluc¸a˜o do problema LX = 1, 5X que a taxa de crescimento

em estado estaciona´rio e´ um autovalor positivo de L e um autovetor correspondente a esse

autovalor representa os tamanhos relativos das populac¸o˜es nas faixas eta´rias quando o estado

estaciona´rio e´ atingido.

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Usando os resultados acima especificados, pode-se calcular tal estado estaciona´rio

sem a necessidade de se empregar o processo iterativo, mesmo porque nessa situac¸a˜o mais

geral na˜o se analisa a soluc¸a˜o do problema para um n´ıvel de tempo tk fixo, mas para o

comportamento assinto´tico da soluc¸a˜o, que e´ o comportamento a ser observado quando o

tempo tende ao infinito.

Para analisar o crescimento da populac¸a˜o do exemplo 1 deve-se calcular os autova-

lores positivos e os correspondentes autovetores de L. Seu polinoˆmio caracter´ıstico e´:

P (λ) = det (L− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣
0− λ 4 3
0, 5 0− λ 0
0 0, 25 0− λ

∣∣∣∣∣∣∣∣
=

∣∣∣∣∣∣∣∣
−λ 4 3
0, 5 −λ 0
0 0, 25 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣
= −λ3 + 2λ + 0, 375

onde enta˜o, P (λ) = −λ3 + 2λ + 0, 375. Assim a equac¸a˜o caracter´ıstica de L e´ −λ3 +
2λ + 0, 375 = 0 ou, multiplicando ambos os lados da igualdade por 8, equivalentemente por

−8λ3 + 16λ + 3 = 0. Fatorando essa equac¸a˜o caracter´ıstica obte´m-se:

−8λ3 + 16λ + 3 = (2λ− 3) (4λ2 + 6λ + 1)
= 0

e enta˜o 2λ − 3 = 0 ou 4λ2 + 6λ + 1 = 0. Calculando as ra´ızes de 4λ2 + 6λ + 1 obte´m-se(−3 +√5) /4 ≈ −0, 190983 e (−3−√5) /4 ≈ −1, 309016, que sa˜o nu´meros negativos. A
u´nica raiz positiva da equac¸a˜o e´ obtida de 2λ− 3 = 0, de modo que λ = 3

2
= 1, 5.

Os autovetores correspondentes esta˜o no subespac¸o anulado por L − 1, 5I, que
e´ o auto-subespac¸o associado ao u´nico autovalor positivo λ = 1, 5. Pode-se determina´-los

utilizando escalonamento de linhas, como:

L− 1, 5I =




0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0


− 1, 5




1 0 0

0 1 0

0 0 1




=




0

0

0




ou seja, na forma de matriz aumentada, que e´ a matriz formada todos os coeficientes das

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inco´gnitas do sistema de equac¸o˜es e tambe´m pelos termos independentes, obte´m-se:

−1, 5 4 3 0
0, 5 −1, 5 0 0
0 0, 25 −1, 5 0


 escalonamento−→




1 0 18 0

1 1 6 0

0 0 1 0




Portanto, se X = (x1, x2, x3)
t for um autovetor correspondente ao autovalor λ =

1, 5, tem-se x1 = 18x3 e x2 = 6x3. Assim, para o auto-subespac¸o associado ao autovalor

λ = 1, 5, formado pelo autovetor positivo de L, pode-se determinar uma base para esse

auto-subespac¸o, que se denota por:

E1,5 =







18x3

6x3

x3




 = ger




18

6

1




e, portanto, a taxa de crescimento em estado estaciona´rio de 1, 5 e quando essa taxa e´

alcanc¸ada, as idades das classes eta´rias ficam na raza˜o 18 : 6 : 1.

Para fechar a sec¸a˜o, vamos estabelecer uma discussa˜o mais qualitativa a respeito do

escalar λ, tendo como balizamento o desenvolvimento do exemplo 1. Nesse exemplo percebe-se

que o nu´mero absoluto de indiv´ıduos da populac¸a˜o, total e por faixa eta´ria, esta´ a aumentar.

Repare, pore´m, que as proporc¸o˜es de cada classe tendem a estabilizar com o passar

do tempo. Essa estabilizac¸a˜o e´ designada na literatura espec´ıfica como distribuic¸a˜o eta´ria

esta´vel (DEE). E´ poss´ıvel mostrar que uma vez atingida a DEE, a taxa de incremento da

populac¸a˜o, λ, e´ o primeiro autovalor da matriz de projec¸a˜o da populac¸a˜o, λ1. Qualquer dos

autovetores correspondentes a λ1 permite determinar a DEE da populac¸a˜o (GOMES, 2009).

Ou seja, veremos