Matriz-Leslie0
33 pág.

Matriz-Leslie0

Disciplina:Álgebra Linear II469 materiais5.807 seguidores
Pré-visualização7 páginas
na pro´xima sec¸a˜o que uma vez atingida a DEE, a matriz de projec¸a˜o

pode ser substitu´ıda por λ1 na equac¸a˜o X(t + 1) = LX(t), onde t e´ o n´ıvel de tempo, de

modo a se obter a expressa˜o X(t + 1) = λ1X(t) . Assim, o nu´mero absoluto de indiv´ıduos

no futuro, pode ser projetado elevando λ1 a uma poteˆncia igual ao nu´mero de intervalos de

projec¸a˜o desde o momento em que a DEE e´ atingida, obtendo X(t) = λ1
tX(0) , sendo X(0)

a populac¸a˜o inicial em DEE.

Isso mostra que o quociente entre o nu´mero total de indiv´ıduos no inicio dos in-

tervalos (t, t + 1) sucessivos e´, por definic¸a˜o, a taxa de incremento da populac¸a˜o, λ , e a`

medida que a populac¸a˜o tende para a DEE, o valor deste quociente tende a estabilizar. Ou

seja, o quociente entre o nu´mero sucessivo de indiv´ıduos em qualquer das faixas eta´rias tende

a estabilizar no mesmo valor.

19

1.4 Fundamentos Matema´ticos

Observe que nesse exemplo acima existe somente um autovalor candidato a` taxa de

crescimento em estado estaciona´rio: o u´nico autovalor positivo de L. Mas e´ poss´ıvel que L

tivesse mais do que um autovalor positivo, ou nenhum? Tambe´m, o autovetor correspondente

tem todos seus elementos positivos, permitindo que se relacionem esses elementos com o

tamanho da populac¸a˜o? A resposta para essas questo˜es e´ que toda matriz de Leslie tem

exatamente um autovalor positivo e seu autovetor correspondente com elementos positivos.

Esse e outros resultados sa˜o discutidos a seguir.

Com efeito, das condiserac¸o˜es anteriores poˆde-se estabelecer uma relac¸a˜o entre λ

e a matriz L. De fato, observa-se que X(k) pode ser obtido multiplicando L por X(k − 1)
obtendo X(k) = LX(k − 1) ou multiplicando λ por X(k) obtendo LX(k) = λX(k).

Com efeito, uma vez estabilizada a estrutura eta´ria, o escalar λ produz uma trans-

formac¸a˜o em X que e´ equivalente a` transformac¸a˜o L. Da A´lgebra Linear sabe-se que um

escalar com a propriedade de satisfazer a equac¸a˜o LX(k) = λX(k) e´, por definic¸a˜o, desig-

nado por autovalor da matriz L. Tambe´m por definic¸a˜o, um vetor X que verifique a igualdade

LX(k) = λX(k) e´ designado por autovetor de L correspondente a λ.

No modelo de Leslie, com matriz denotada por L, um vetor em estado estaciona´rio

corresponde a um vetor populac¸a˜o X satisfazendo a equac¸a˜o LX = λX, onde λ corresponde

a` taxa de crescimento do estado estaciona´rio. Mais geralmente, o problema de investigar a

existeˆncia de vetores na˜o nulos X tais que o valor de LX seja um mu´ltiplo de X, e´ conhecido

como o problema de autovalor.

Tal problema e´ um tema central da A´lgebra Linear, e o objetivo dessa sec¸a˜o e´ de-

senvolver - mesmo sinteticamente - alguns conceitos e resultados da A´lgebra Linear envolvidos

na determinac¸a˜o dos autovetores e autovalores da equac¸a˜o LX = λX. Um conceito ba´sico e´:

Definic¸a˜o 1: Seja L uma matriz quadrada n×n. Um escalar λ e´ chamado de autovalor de
L se existe um vetor na˜o nulo X tal que LX = λX. Tal vetor e´ chamado de um autovetor

de L correspondente de L.

A resoluc¸a˜o dessa equac¸a˜o pode ser realizada observando que ela pode ser escrita

como LX − λX = 0 ou, ainda, (L− λI)X = 0, onde I e´ a matriz identidade. Sendo X um
vetor na˜o nulo (pois caso contra´rio a soluc¸a˜o e´ a trivial), enta˜o resta investigar a soluc¸a˜o de

L− λI = 0.

Definic¸a˜o 2: Quando se desenvolve o det (L− λI) obte´m-se um polinoˆmio em λ, chamado

20

de polinoˆmio caracter´ıstico de L. A equac¸a˜o det (L− λI) = 0 e´ chamada de equac¸a˜o
caracter´ıstica de L.

Pode-se mostrar (POOLE, D., pg. 160-161) que uma matriz quadrada e´ invert´ıvel

se, e somente se, seu determinante e´ na˜o nulo. Tambe´m e´ poss´ıvel mostrar que uma matriz

determina um subespac¸o anulado na˜o trivial se, e somente se, ela for na˜o invert´ıvel. Ou seja,

se, e somente se, o seu determinante for igual a` zero. Considerando esses resultados mostra-se

que λ e´ um autovalor de L se, e somente se, det (L− λI) = 0.

Esse fato caracteriza os autovalores, ou seja, os autovalores de uma matriz L sa˜o

precisamente as soluc¸o˜es λi da equac¸a˜o det (L− λI) = 0. Note-se que se L for uma matriz
n×n, seu polinoˆmio caracter´ıstico sera´ de grau n. O teorema fundamental da a´lgebra assegura
que um polinoˆmio de grau n tem no ma´ximo n ra´ızes distintas. Assim uma matriz n× n tem
no ma´ximo n autovalores distintos.

E´ importante notar que o conjunto de todos os vetores correspondentes a um auto-

valor λ de uma matriz L quadrada n × n e´ exatamente o conjunto dos vetores na˜o nulos do
subespac¸o anulado por L− λI. Enta˜o decorre que, se ao conjunto dos autovetores juntarmos
o vetor nulo de Rn, obte´m-se o subespac¸o anulado por L−λI. Veja (POOLE, D., pg. 233).
Assim tem-se:

Definic¸a˜o 3: Sejam uma matriz quadrada L n×n e um autovalor λ de L. O conjunto de todos
os autovetores correspondentes a λ, acrescida do vetor nulo, e´ chamada de auto-subespac¸o

de λ, e e´ denotada por Eλ.

Desse conjunto de conceitos e resultados e´ que se obte´m a base teo´rica para esta-

belecer o “algoritmo” enunciado na sec¸a˜o anterior que leva a` determinac¸a˜o dos autovalores e

autovetores de uma matriz quadrada (POOLE, D., 2004, pg. 264). O procedimento consiste

nos passos 1− 4 listados naquela sec¸a˜o.

Sob o aspecto da aplicac¸a˜o da teoria a` soluc¸a˜o da expressa˜o X(k) = LkX(0), e´

poss´ıvel mostrar (POOLE, D., pg. 269) que se a matriz L tem autovetores {X1, · · · , Xn}
correspondentes, respectivamente, aos autovalores {λ1, · · · , λn}. Se X e´ um vetor que pode
ser expresso como uma combinac¸a˜o linear desses autovetores, digamos, X =

∑n
i=1 ciXi, enta˜o

para qualquer inteiro k vale LkX =
∑n

i=1 ciλ
k
iXi. Veja na refereˆncia citada uma discussa˜o da

condic¸a˜o necessa´ria a` existeˆncia de tal combinac¸a˜o linear.

Assim, conhecida a distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o e a matriz de Leslie, pode-se

determinar a distribuic¸a˜o das populac¸o˜es das feˆmeas, por faixa eta´ria, em qualquer k n´ıvel

de tempo, resolvendo a expressa˜o X(k) = LkX(0) ou a expressa˜o LkX =
∑n

i=1 ciλ
k
iXi.

Note que a primeira abordagem requer o ca´lculo de poteˆncias da matriz de Leslie e a segunda

21

abordagem requer o conhecimento dos autovalores da matriz de Leslie.

Como o ca´lculo de determinantes na˜o e´ via´vel para matrizes de grandes dimenso˜es e

como na˜o existem formas para determinar as soluc¸o˜es de equac¸o˜es polinomiais de grau maior

ou igual a 5, pode-se utilizar me´todos iterativos para o ca´lculo de autovalores. Um

me´todo usual nesse sentido e´ o me´todo da poteˆncia e suas generalizac¸o˜es. Veja a sec¸a˜o 4.6

de (POOLE, D., 2004) para uma discussa˜o.

Outro me´todo prove´m do Teorema de Perron-Frobenius que e´ apresentado e

discutido na sec¸a˜o 4.7 de (POOLE, D., 2004). Nessa abordagem pode-se calcular a taxa

de crescimento da populac¸a˜o sem o emprego do me´todo iterativo provido pelo me´todo da

poteˆncia. Ale´m disso, utilizando da teoria subjacente ao teorema de Perron-Frobenius 5,

pode-se responder a questa˜o elencada no final na sec¸a˜o anterior provando que (veja (POOLE,

D., 2004, pg. 298):

A equac¸a˜o X(k) = LX(k − 1) na˜o fornece de pronto uma visa˜o da dinaˆmica
populacional. Uma soluc¸a˜o para analisar o processo da evoluc¸a˜o da populac¸a˜o e´ investigar os

autovalores e autovetores da matriz de Leslie L. Do discutido anteriormente os autovalores

de L sa˜o as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico, que e´ escrito como:

det (L− λI) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

F1 − λ F2 · · · Fn−1 Fn
P1 −λ · · · 0 0
0 P2 · · · 0 0
...

...
. . .

...
...

0 0 · · · 0 0
0 0 · · · Pn−1 −λ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

(1.9)

Desenvolvendo o determinante por definic¸a˜o (veja os conceitos de cofator, teorema

de Laplace, entre outros, em um livro sobre determinantes), obte´m-se que o polinoˆmio carac-

ter´ıstico de uma matriz de Leslie L e´ dado por:

P (λ) = det(L− λI) = λn − F1λn−1 − F2P1λn−2 − F3P1P2λn−3 − · · · − FnP1P2 · · ·Pn−1

Para analisar as ra´ızes do polinoˆmio caracter´ıstico de L e´ conveniente especificar