Matriz-Leslie0
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Matriz-Leslie0

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
P

−1X(0) (1.16)

Tomando a primeira entrada do vetor coluna P−1X(0) pela constante positiva c

que depende do vetor de distribuic¸a˜o inicial, pode-se escrever a expressa˜o (1.16) como

1

λk1
X(k) ≈ cX1

ou seja, X(k) ≈ cλk1X1. o que mostra que a distribuic¸a˜o eta´ria de feˆmeas sera´ proporcional
a`s entradas do primeiro autovetor X1 associado ao autovalor λ1.

E como esses mesmos desenvolvimentos valem para a igualdade X(k) = LX(k−1)
obte´m-se, pelas mesmas considerac¸o˜es e para k suficientemente grande, que X(k) ≈ cλk−11 X1.
E como X1 ≈ X(k)cλk

1

e X1 ≈ X(k−1)
cλk−1

1

tem-se, pela igualdade, que:

X(k)

cλk1
≈ X(k − 1)

cλk−11

ou seja, queX(k) ≈ λ1X(k−1), significando que para valores suficientemente grandes do n´ıvel
do tempo, obte´m-se a distribuic¸a˜o eta´ria no n´ıvel de tempo tk multiplicando-se a distribuic¸a˜o

eta´ria no n´ıvel de tempo anterior tk−1 pelo autovalor dominante da matriz de Leslie.

Uma ana´lise sobre o valor do autovalor dominante λ1 mostrar que existem treˆs

situac¸o˜es para a dinaˆmica do comportamento da populac¸a˜o:

27

• λ1 < 1 se, e somente se, a populac¸a˜o estiver decrescendo.

• λ1 = 1 se, e somente se, a populac¸a˜o se estabiliza, sendo nulo o crescimento populacio-
nal.

• λ1 > 1 se, e somente se, a populac¸a˜o estiver crescendo.

Observe-se que se λ1 = 1 e´ um autovalor se, e somente se, F1 + F2P1 + F3P1P2 +

· · · + FnP1 · · ·Pn−1 = 1 sendo designada de taxa l´ıquida de reproduc¸a˜o da populac¸a˜o a
expressa˜o especificada como:

R0 = F1 + F2P1 + F3P1P2 + · · ·+ FnP1 · · ·Pn−1

onde os Fi sa˜o as taxas de fertilidade e os Pi sa˜o as taxas de sobreviveˆncia da populac¸a˜o.

Enta˜o uma populac¸a˜o tem crescimento populacional nulo se, e somente, se sua taxa l´ıquida

de reproduc¸a˜o e´ 1.

EXEMPLO 4: Aqui se apresenta um exemplo para esclarecer essa formulac¸a˜o da diagonal-

izac¸a˜o da matriz de Leslie. Considere a matriz de Leslie especificada por:

L =

(
1 4
1
2

0

)

e considere que a distribuic¸a˜o inicial da populac¸a˜o, por faixa eta´ria, seja:

X(0) =

(
1000

1000

)

Calcular a distribuic¸a˜o da populac¸a˜o, por faixa eta´ria, apo´s k anos. Para tal ca´lculo

e´ necessa´rio avaliar a expressa˜o X(k) = LkX(0).

Como se pode escrever L = PDP−1 calcula-se a expressa˜o X(k) = PDkP−1X(0),

onde a matriz P e´ a matriz dos autovetores de L e D e´ a matriz dos autovalores de L.

Calculando a equac¸a˜o caracter´ıstica obte´m-se:

det(L− λI) =
∣∣∣∣∣ 1− λ 41

2
−λ

∣∣∣∣∣
= −λ(1− λ)− 2
= λ2 − λ− 2
= 0

Resolvendo a equac¸a˜o quadra´tica λ2 − λ − 2 = 0 obte´m-se as ra´ızes λ1 = 2 e

28

λ2 = −1. Calculando agora as expresso˜es LX = λ1X e LX = λ2X, para X =
(
x1 x2

)t
.

obte´m-se, respectivamente: (
1 4
1
2

0

)
.

(
x1

x2

)
=

(
2x1

2x2

)

ou seja {
x1 + 4x2 = 2x1
1
2
x1 = 2x2

de onde x1 = 4x2. Portanto, tem-se:

X1 = E2 =

{(
4x1

x1

)}
= ger

(
4

1

)

Analogamente, para λ2 = −1 tem-se:(
1 4
1
2

0

)
.

(
x1

x2

)
=

(
−x1
−x2

)

ou seja {
x1 + 4x2 = −x1
1
2
x1 = −x2

de onde x1 = −2x2 e, portanto, tem-se:

X2 = E−1 =

{(
−2x2
x2

)}
= ger

(
−2
1

)

Como nesse caso a matriz P e´ formada pelos autovetores de L, isto e´, como P =(
X1 X2

)
, tem-se:

P =

(
4 −2
1 1

)

Tambe´m, como nesse exemplo D =

(
λ1 0

0 λ2

)
tem-se que: D =

(
2 0

0 −1

)
e,

consequentemente,

Dk =

(
2k 0

0 (−1)k
)

Ainda, calculando-se a inversa da matriz P , P−1, obte´m-se

P−1 =
1

6

(
1 2

−1 4

)
=

(
1
6

1
3

−1
6

2
3

)

29

Assim, a expresa˜o X(k) = PDkP−1X(0) pode ser obtida como:

X(k) =

(
4 −2
1 1

)(
2k 0

0 (−1)k
)(

1
6

1
3

−1
6

2
3

)(
1000

1000

)

=

(
4.2k −2(−1)k
2k (−1)k

)(
500

500

)

e, enta˜o, quando no n´ıvel de tempo k, obte´m-se a expressa˜o:

X(k) = 500

(
4.2k − 2(−1)k
2k + (−1)k

)

Agora analisa-se o limite lim
k→∞

X(k)

λk1
= cX1, onde a constante e´ nesse exemplo

c = 500. Ale´m disso, λ1 = 2 e´ o u´nico autovalor real positivo e X = (4, 1)
t e´ o autovetor

associado a esse autovalor, de modo que se tem:

lim
k→∞

X(k)

2k
= lim

k→∞
500

(
4.2k

2k
− 2(−1)k

2k

2k

2k
+ (−1)

k

2k

)

= lim
k→∞

500

(
4− 2 (−1

2

)k
1 +

(
−1
2

)k
)

= 500

(
4

1

)

pois lim
k→∞

(−1
2

)k
= 0. Ou seja:

lim
k→∞

X(k)

2k
= 500

(
4

1

)

Note que a constante positiva c = 500 depende efetivamente do vetor de distribuic¸a˜o

inicial das faixas eta´rias, como ja´ afirmado anteriormente.

EXEMPLO 5: A partir dos exemplos 1 e 3 sabe-se que a matriz de Leslie e´ dada por:

L =




0 4 3

0, 5 0 0

0 0, 25 0




Seu polinoˆmio caracter´ıstico e´ P (λ) = λ3 − 2λ − 3/8. Resolvendo a equac¸a˜o
caracter´ıstica obte´m-se que o autovalor positivo e´ λ1 = 1, 5. Como a matriz tem treˆs entradas,

30

usando a expressa˜o (1.12) obte´m-se:

X1 =




1
P1
λ1

P1P2
λ12




=




1
0,5
1,5

0,5.0,25
1,52




=




1
1
3

1
18




Usando a expressa˜o (1.14) tem-se que:

X(k) ≈ λ1X(k − 1)
= 1, 5X(k − 1)

para grandes valores de k.

Logo, a cada cinco anos o nu´mero de feˆmeas em cada faixa eta´ria crescera´ por

aproximadamente 50 por cento - que e´ a interpretac¸a˜o percentual de λ1 = 1, 5 -, assim como

tambe´m o nu´mero total de feˆmeas da populac¸a˜o. E, finalmente, pela expressa˜o (1.13) tem-se:

X(k) ≈ cλk1X1

= c (1, 5)k




1
1
3

1
18




E, consequentemente, o comportamento assinto´tico da populac¸a˜o de feˆmeas mostra

que elas estara˜o distribu´ıdas entre treˆs classes (faixas) eta´rias na proporc¸a˜o 1 : 1/3 : 1/18

que corresponde a uma distribuic¸a˜o de 72 por cento das feˆmeas na primeira classe; de 24 por

cento das feˆmeas na segunda classe e 4 por cento das feˆmeas na primeira classe.

1.5 Refereˆncias para o To´pico

1. ANTON, H., RORRES, C. A´lgebra Linear com Aplicac¸o˜es. Sa˜o Paulo. Editora Bookman.

pp. 480-484. 2004.

2. ARNOLD, D., YOKOYAMA, K. The Leslie Matrix - Part II. Dispon´ıvel em http://online.

redwoods.cc.ca.us/instruct/darnold/LinAlg/leslie2/context-leslie2-p.pdf. 2006.

31

3. BIASE, A. G., AGUSTINI, E. Ajuste de Curvas e Modelagem Populacional Brasileira.

Dispon´ıvel em http://www.famat.ufu.br/revista/revistaabril2007/artigos/ArtigoAdriele

Edson.pdf. 2007.

4. CASWELL, H. Matrix Population Models: Construction, Analysis, and Interpretation.

2001. 714 p.

5. GOMES. M. C. Introduc¸a˜o aos modelos matriciais - A Matriz de Leslie. Mo´dulo 8 e Mo´-

dulo 11. Dispon´ıvel em http://webpages.fc.ul.pt/mcgomes/aulas/dinpop/index.html.

2009.

6. GOTELLI, N. J. Ecologia. Editora Planta. Cap´ıtulo 3. 260 p. 2007.

7. MONTSHIWA, M. I., Leslie Matrix Model in Population Dynamics. African Institute for

Mathematical Sciences (AIMS) Supervised by Prof. David Sherwell and Dr. Londiwe

Masinga. University of Witwatersrand. 2007.

8. MORENO, A. J. L. Ciencias Ambientales: Fundamentos Matema´ticos. Dispon´ıvel em

http://www4.ujaen.es/jlopez/asignat/fmambientales/practica.html. 2010.

9. POOLE, D. A´lgebra Linear. Editora Thomson. pp. 206-210. 2004.

10. WARD, J., Further Mathematical Methods (Linear Algebra). Dispon´ıvel em http://www.

maths.lse.ac.uk/Personal/james/old ma201/

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