P2_4h_f3unif_092_def_enunc_gab_10

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Gabarito para Versa˜o A
Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (so´ uma opc¸a˜o e´ correta)
1. Numa experieˆncia de efeito Hall, uma tira con-
dutora em forma de paralelep´ıpedo esta´ disposta
conforme indica a figura abaixo, sendo percorrida
por uma corrente cujo sentido convencional esta´
a´ı assinalado. Sabendo que o sinal das cargas dos
portadores livres e´ negativo e que o potencial Vsup
na parte superior da tira, apo´s atingido o regime
estaciona´rio, e´ maior que o potencial Vinf na parte
inferior da tira, indique a opc¸a˜o correta para uma
poss´ıvel direc¸a˜o e sentido do campo magne´tico ex-
terno que provoca o efeito Hall.
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) xˆ .
(b) −xˆ .
(c) yˆ .
(d) −yˆ .
(e) zˆ .
(f) −zˆ .
2. Uma corrente ele´trica estaciona´ria I passa por
um condutor formado por um quarto de c´ırculo
de raio a e por dois fios retil´ıneos semi-infinitos
que fazem um aˆngulo de π/2 entre si, conforme
mostra a figura abaixo. A intensidade do campo
magne´tico no ponto P, que coincide com o centro
do c´ırculo, e´ dada por:
a
P
I
(a) µ0I
2pia
.
(b) µ0I
4pia
.
(c) µ0I
4a
.
(d) µ0I
8a
.
(e) µ0I
2a
(
1
pi
+ 1
2
)
.
3. I´ons dos a´tomos de C12 e C13, de mesma carga
+e e mesma energia cine´tica K, entram em um
espectroˆmetro de massa, onde ha´ um campo
magne´tico B perpendicular aos vetores velocida-
des de ambos os ı´ons. Considerando as massas
dos ı´ons de C12 e C13 iguais a 12u e 13u, respec-
tivamente, onde u e´ a unidade de massa atoˆmica,
a raza˜o entre os raios das trajeto´rias percorridas
pelos dois ı´ons RC12/RC13 e´:
(a) 12/13 .
(b) 13/12 .
(c)
√
12/13 .
(d)
√
13/12 .
(e) 1 .
4. Uma barra de cobre cil´ındrica, de resisteˆncia
ele´trica R, comprimento L e a´rea da sec¸a˜o reta
transversalA, e´ esticada para o dobro do seu com-
primento original, sem que seu volume se altere.
Pode-se afirmar que o novo valor de sua resisteˆncia
ele´trica e´:
(a) 4R .
(b)
√
2R .
(c) R/2 .
(d) R/4 .
(e) o mesmo .
1
5. Uma fonte de voltagem varia´vel e´ conectada em
se´rie a uma bobina e um amper´ımetro, como
mostrado no diagrama abaixo. Outra bobina
pro´xima, tambe´m mostrada, esta´ conectada a um
volt´ımetro.
Sabe-se que a corrente na primeira bobina, em
func¸a˜o do tempo, tem o comportamento mostrado
no gra´fico abaixo.
Qual dos gra´ficos a seguir indica corretamente o
comportamento, em func¸a˜o do tempo, da volta-
gem lida no volt´ımetro?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
6. Dois fios retil´ıneos, paralelos, muito longos, no
plano XY , portam correntes estaciona´rias de in-
tensidade I e 3I, no mesmo sentido, conforme
mostra a figura abaixo. Em que abscissa o campo
magne´tico se anula?
0 1 2 3 4 5 6
I 3I
X
(a) 1 .
(b) 11/4 .
(c) 3 .
(d) 7/2 .
(e) 4 .
(f) 17/4 .
(g) 6 .
7. Considere as seguintes afirmac¸o˜es:
(I) A lei de Biot-Savart so´ pode ser apli-
cada para distribuic¸o˜es estaciona´rias de corrente
que gerem campos magne´ticos sime´tricos. (II)
A lei de Ampe`re so´ vale para distribuic¸o˜es
estaciona´rias de corrente que gerem campos
magne´ticos sime´tricos. (III) Na lei de Ampe`re, a
curva ampe`riana tanto pode ser uma curva aberta
como fechada.
Assinale a opc¸a˜o a seguir que indica, na ordem,
quais das afirmac¸o˜es acima sa˜o falsas e quais sa˜o
verdadeiras.
(a) V, V, V.
(b) V, V, F.
(c) V, F, V.
(d) V, F, F.
(e) F, V, V.
(f) F, V, F.
(g) F, F, V.
(h) F, F, F.
2
8. Considere um arranjo de treˆs (i = 1, 2, 3) fios con-
dutores, retil´ıneos, longos e paralelos, situados em
(x1 = 0, y1 = a), (x2 = y2 = 0) e (x3 = a, y3 = 0),
respectivamente; dessa forma, no plano XY , tais
fios interceptam treˆs dos ve´rtices de um quadrado
de lado com comprimento a, estando o quarto
ve´rtice, P , localizado em (x4 = a, y4 = a, z = 0)
“desocupado”. O fio 1 porta uma corrente de
mo´dulo I1 = I, com sentido do eixo Z positivo,
ao passo que o fio 2 porta corrente de mo´dulo
I2 = 2I, com sentido do eixo Z negativo e, por
fim, o fio 3 porta corrente de mo´dulo I3 = I,
com sentido do eixo Z tambe´m negativo, conforme
mostra a figura abaixo. Qual das opc¸o˜es a se-
guir da´ o valor do campo magne´tico resultante no
ve´rtice “desocupado” P?
bI
⊗ ⊗
b
P
2I I
a
a
b
xˆ
yˆ
zˆ
(a) µ0I
pia
xˆ .
(b) −µ0I
pia
xˆ .
(c)
√
2µ0I
pia
xˆ .
(d) −
√
2µ0I
pia
(xˆ+ yˆ) .
(e) µ0I
pia
yˆ .
(f) −µ0I
pia
yˆ .
(g) 0 .
9. O fluxo magne´tico atrave´s de uma u´nica espira
de uma bobina circular muito fina tem a seguinte
dependeˆncia temporal: ΦB(t) = (6 Wb·s−2) t2 +
(7 Wb·s−1) t+ 1 Wb. A bobina tem, no total, 10
espiras. O mo´dulo da fem induzida na bobina, em
t = 2 s, e´:
(a) 380 V .
(b) 310 V .
(c) 400 V .
(d) 190 V .
(e) 390 V .
10. Uma espira circular condutora, de raio R, con-
tida no plano XY , transporta uma corrente I no
sentido anti-hora´rio. Tal espira esta´ sujeita a um
campo magne´tico B = 1
2
B0(
√
3yˆ + zˆ) , onde B0
e´ uma constante. Podemos afirmar que o mo´dulo
do fluxo magne´tico atrave´s da espira, |ΦB|, o tor-
que sobre a espira, τ , e a energia potencial da
espira no campo, U , sa˜o dados por:
(a) πR2|B0|,
√
3
2
πR2B0I yˆ, πR
2B0I .
(b) 0, πR2B0I zˆ, −πR2B0I .
(c) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I xˆ, − 12πR2B0I .
(d) 1
2
πR2|B0|, 0, πR2B0I .
(e) 1
2
πR2|B0|, −
√
3
2
πR2B0I(xˆ+ yˆ), 0 .
3
Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas
1. Um cilindro circular reto, so´lido, condutor, muito longo, de raio R, e´ percorrido por uma corrente ele´trica
cuja densidade de corrente e´ dada por J = J0 (r/R)
2 zˆ, sendo r a distaˆncia ao eixo do cilindro, eixo esse
que coincide com o eixo Z.
(a) Obtenha o mo´dulo da corrente ele´trica I que flui atrave´s de uma sec¸a˜o reta do cilindro. [1,0 ponto]
(b) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≤ R. [1,0 ponto]
(c) Determine o vetor campo magne´tico B para r ≥ R. [0,5 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) Sabendo que
I =
∫
S
J · nˆ dA ,
e considerando que
J(r) = J0
(
r2/R2
)
zˆ e nˆ dA = 2πr dr zˆ ,
encontraremos
I =
∫ R
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ · zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
R
0
=
1
2
πR2J0 .
(b) Segundo a lei de Ampe`re temos que
∮
B · dℓ = µ0Ienc .
Levando em conta a simetria axial apresentada pelo condutor enta˜o podemos usar a lei de Ampe`re assu-
mindo para os circuitos fechados c´ırculos conceˆntricos ao eixo do cilindro condutor e contidos em um plano
ortogonal a este eixo. Neste caso, teremos que dℓ = r dφ φˆ e, pela simetria do sistema, devemos ter
B = B(r) φˆ . Com isso podemos usar a lei de Ampe`re de uma maneira geral considerando Ienc = I(r) .
Portanto, como ao longo do circuito a distaˆncia radial r e´ mantida constante, encontraremos que
∮
B · dℓ =
∫ 2pi
0
B(r) φˆ · r dφ φˆ = B(r) r
∫ 2pi
0
dφ = 2πrB(r) = µ0 I(r)
e assim
B(r) =
µ0 I(r)
2πr
φˆ .
Podemos, agora, particularizar este resultado geral para as duas regio˜es definidas pelo condutor. Para a
regia˜o interna ao cilindro, onde r < R, teremos que
I(r) =
∫
S
J · dnˆdA
=
∫ r
0
J0
(
r2/R2
)
2πr dr (zˆ.zˆ)
=
2πJ0
R2
∫ R
0
r3 dr
4
=
2πJ0
R2
r4
4
∣∣∣∣
r
0
=
1
2
πJ0r
4
R2
de modo que, ao levarmos este resultado na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica, encontraremos que
B(r) =
[
µ0J0r
3
4R2
]
φˆ, .
(c) No caso da regia˜o externa ao cilindro teremos que a corrente ele´trica I(r) a ser usada e´ aquela cuja
expressa˜o foi obtida no primeiro item, cuja substituic¸a˜o na expressa˜o para o vetor induc¸a˜o magne´tica
resultara´ em
B(r) =
[
µ0J0R
2
4r
]
φˆ, .
�
2. A figura abaixo mostra dois arames condutores r´ıgidos, muito longos, abc e a′b′c′, dobrados em aˆngulo reto,
pertencentes ao plano XY . O arame abc esta´ fixo, com seu ve´rtice b coincidindo com a origem do sistema
de coordenadas. O arame a′b′c′, por sua vez, translada-se com uma velocidade v constante, dirigida ao
longo da bissetriz do primeiro quadrante do plano XY ; suponha que, no instante t = 0, seu ve´rtice b′ coin-
cide com o ve´rtice b do outro arame. Esse aparato encontra-se imerso em um campo magne´tico constante
(estaciona´rio e uniforme), B, que faz um aˆngulo θ, menor que 90◦, com o eixo Z.
(a) Determine o fluxo docampo magne´tico Φ
B
atrave´s do circuito definido pelos arames, em func¸a˜o de B,
v, θ e t. [1,0 ponto]
(b) Determine a forc¸a eletromotriz induzida Eind ao longo do circuito, tambe´m em func¸a˜o de B, v, θ e t.
[0,8 ponto]
(c) Informe claramente qual o sentido da corrente induzida, justificando. [0,7 ponto]
Resoluc¸a˜o:
(a) O fluxo do campo magne´tico atrave´s do circuito quadrado de lado a sera´ fornecido por
Φ
B
=
∫
S
B · nˆ dA =
∫
S
B dA cos θ = B cos θ
∫
S
dA = B cos θ S =⇒ Φ
B
= B cos θ a2 .
5
Desde que a diagonal do quadrado definido pelo circuito cresce como d(t) = vt e, pelo teorema de Pita´goras,
d =
√
2 a, enta˜o conclu´ımos que a(t) = vt/
√
2. Portanto, usando este resultado na expressa˜o obtida para
Φ
B
, encontraremos que
Φ
B
(t) =
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2 .
(b) Usando a lei da induc¸a˜o de Faraday, encontraremos que a forc¸a eletromotriz induzida no circuito sera´
fornecida por
Eind = − dΦB
dt
= − d
dt
{
1
2
(
Bv2 cos θ
)
t2
}
=⇒ Eind(t) = −
(
Bv2 cos θ
)
t .
(c) Como a a´rea definida pelo circuito esta´ crescendo com o tempo, o mesmo acontecera´ com Φ
B
(t). Pela
lei de Lenz a forc¸a eletromotriz induzida devera´ se opor a este crescimento. Para tanto, ela devera´ produzir
uma corrente ele´trica induzida cujo campo magne´tico associado apresente um fluxo que se oponha ao fluxo
do campo magne´tico externo B no qual o circuito se encontra imerso. Nestas condic¸o˜es conclu´ımos que a
corrente ele´trica induzida devera´ percorrer o circuito no sentido hora´rio.
�
6