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P3 - Álgebra Linear II
28/11/2007

Gabarito
1ª questão
Lembram do Fulano da Silva? Pois é, o coitado se meteu em outro labirinto! Neste ele pode ir da sala azul para as salas branca,
rosa ou vermelha. Da sala rosa ele pode ir para a vermelha e para a branca. Da vermelha ele também pode ir para a branca. Ele
sempre pode utilizar o caminho contrário. Ele não tem preferência por ir para nenhuma das salas e sempre é obrigado a mudar da
sala que está toda vez que toca uma campainha. Considere para efeito de contas que o Sr. Fulano vai de uma sala a outra
adjacente em 1 passo (Sr. Fulano tem passo de gigante, como vocês já sabem!).

a. Desenhe o grafo que representa o labirinto e escreva sua matriz de adjacência, M.
b. Quais são os autovalores de M e suas multiplicidades algébricas.
c. Determine uma fórmula, não recursiva e que dependa somente de n, para calcular o número de caminhos, de n passos

(isto é após n toques de campainha) em que Fulano da Silva começa na sala azul e para ela retorna no passo n.
d. Determine uma fórmula, não recursiva e que dependa somente de n, para calcular o número de caminhos, de n passos

(isto é após n toques de campainha) em que fulano da silva sai da sala azul e termina na sala vermelha.

a.














=

0111
1011
1101
1110

M

b. Olhando para M podemos escrevê-la como : I−














1111
1111
1111
1111

logo os autovalores de M são: -1,-1,-1,3 (Os da matriz de 1’s são: 0,0,0,4)
Usando cálculo funcional: como a matriz é diagonalizável só usaremos os autovalores diferentes, sem dar bola para as
multiplicidades, logo um polinômio de grau 1 está de bom tamanho!
Então nba λλ =+

nba 33 =+)(
( )nba 11 −=+− )(

( ) ( )

4
13 nna −−= ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

4
133

4
1333

nnnn
nb −+=−−−=

Fazendo ( ) bIAaAPMAf n +=== *)( ( )















=+














=

baaa
abaa
aaba
aaab

bIaAP

0111
1011
1101
1110

Logo queremos caminhos de azul para azul, os caminhos fechados: F(n) = Mn[1,1]=
( ) ( )

4
133 nnb −+= e caminhos de

azul para vermelho, caminhos abertos: A(n)= Mn[1,2]=
( ) ( )

4
13 nna −−=

 2

2ª questão

Seja a matriz:

















=

00001
00001
00001
00001
11110

B

a. Encontre uma matriz P, ortogonal, tal que PtBP seja a matriz

















−
=

00000
02000
00000
00020
00000

D

b. Quais são os autovalores e autovetores da matriz IBB +− 35 4 ? Justifique.

a. Os autovalores já estão dados de lambuja, mas se você não acredita faça

















=

11110
11110
11110
11110
00004

2B . Deste jeito

fica fácil ver que os autovalores de B2 são 0,0,0,4,4 e portanto os de B são 0,0,0,2,-2, como dado! Agora precisamos
calcular os autovetores de B.
Para 2=λ

















=

































−
−

−
−

−

0
0
0
0
0

20001
02001
00201
00021
11112

5

4

3

2

1

x
x
x
x
x

 escalonando temos

















=

































−
−
−
−

0
0
0
0
0

00000
11000
10100
10010
20001

5

4

3

2

1

x
x
x
x
x

 portanto o

autovetor associado à 2=λ é v1=t(2,1,1,1,1) para t *ℜ∈t , como quero uma matriz P que seja ortogonal (inversa igual a
transposta) precisamos dele normalizado )1,1,1,1,2(

8
1

1 =u
Para 2−=λ

















=

































0
0
0
0
0

20001
02001
00201
00021
11112

5

4

3

2

1

x
x
x
x
x

 escalonando temos

















=

































−
−
−

0
0
0
0
0

00000
11000
10100
10010

20001

5

4

3

2

1

x
x
x
x
x

 portanto a autovetor

associado à 2−=λ e v2=t(-2,1,1,1,1) para *ℜ∈t normalizando )1,1,1,1,2(8
1

2 −=u
Para 0=λ

 3

















=

































0
0
0
0
0

00001
00001
00001
00001
11110

5

4

3

2

1

x
x
x
x
x

 temos que atender a duas equações :
0

0

5432

1

=+++
=

xxxx
x

 bom agora ou você

fica quebrando a cabeça para escolher 3 vetores ortogonais que atendam às equações ou escolhe qualquer um que atenda as
equações e usa Gram-Schmidt, eu vou escolher v3=(0,-1,1,0,0), v4=(0,-1,0,1,0) e v5=(0,-1,0,0,1). Perceba que estes já
“nasceram” ortogonais a v1 e v2 (B é uma matriz simétrica!). Agora o bom e velho GS:

( )0,0,1,1,0
2

1
3 −=u

( )
)0,2,1,1,0(

2
1~

))0,0,1,1,0()0,2,0,2,0((
2
1

0,0,1,1,0
2

1
2

)0,0,1,1,0(
),0,1,0,1,0()0,1,0,1,0(~

4

4

−−=

−−−=−−−−−=

u

u

logo )0,2,1,1,0(
6

1
4 −−=u

( ) ( )

[ ] )3,1,1,1,0(
3
1

)6,2,2,2,0(
6
1

)0,2,1,1,0()0,0,0,3,3,0()6,0,0,6,0(
6
1~

6
0,2,1,1,0

6
)0,2,1,1,0(

),1,0,0,1,0(
2

0,0,1,1,0
2

)0,0,1,1,0(
),1,0,0,1,0()1,0,0,1,0(~

5

5

−−−=−−−=−−−−−−=

−−−−−−−−−−−=

u

u
log

o )3,1,1,1,0(12
1 −−−=u agora já temos as colunas da matriz P, falta só ver a ordem, (olhar pela posição em

D.
PtBP=D, logo B=PDPt























−
−−
−−−

−

=

12
3

8
1

0
8

1
0

12
1

8
1

6
2

8
1

0

12
1

8
1

6
1

8
1

2
1

12
1

8
1

6
1

8
1

2
1

0
8

2
0

8
2

0

P

c. primeiro vamos descobrir quem é IBB +− 35 4 , Usando cálculo funcional: como a matriz é diagonalizável só
usaremos os autovalores diferentes, sem dar bola para as multiplicidades, logo um polinômio de grau 2 já dá! Usaremos
então: 14)()( 352 +−==++= λλλλλλ fcbap
para 0=λ temos 1=c
para 2=λ temos 02.4224 35 =−=+ ba
para 2−=λ temos 0)2.(4)2(24 35 =−−−=− ba logo a=b=0
temos então que IIBB =+− 35 4 e portanto seus autovalores são 1 (multiplicidade 5) e seu autovetores são, por
exemplo, a base canônica para R5.