Matemática financeira descontos e equivalência de capitais

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1. Atualização ou Desconto (D)
 Fenómeno inverso ao da capitalização. Consiste em retirar de um capital futuro os juros ainda não vencidos. O desconto
apenas se justifica se recuarmos no tempo. O seu interesse é relevante nos casos em que o devedor pretenda liquidar o capital
em dívida antes da data de vencimento ou o credor receber os seus créditos antes de estarem vencidos.
 O desconto transforma o capital (C) referido a um dado momento n, num capital inferior (C - D), visto que D > 0, referido a um
momento anterior ao dado (n-1).
 A diferença entre o valor do capital futuro (M) (valor nominal, valor acumulado) e o capital a pagar em caso de antecipação (C)
(valor atual, valor descontado) é designada por Prémio de Desconto (D), podendo ser calculado segundo dois métodos distintos: 
1. Desconto por dentro, racional ou financeiro (Dd ): Corresponde ao juro produzido pelo Valor Atual do capital durante o prazo
que falta para o seu vencimento. Raramente usado pois é desfavorável para aquele que possui os recursos financeiros mas
deverá dar um desconto em função de uma negociação. Esta operação é interessante para quem solicita o desconto, mas quem
determina a metodologia de cálculo da operação geralmente é quem tem a posse dos recursos financeiros.
Taxa de Desconto (d)
Redução sofrida por uma unidade de capital, descontada durante uma unidade de tempo. A taxa que aplicada ao valor
acumulado permite determinar o prémio de desconto é designada por taxa de desconto (d). Considerando Dd = M x n x d,
obtém-se:
d = i / 1 + i x n
2. Desconto por fora ou comercial (Df ): Corresponde ao juro produzido pelo Valor Nominal do capital durante o prazo de tempo
que falta para o seu vencimento. O Desconto por Fora surge como uma forma “simplista” de cálculo do prémio de desconto,
calculando-se diretamente o juro sobre o capital futuro.
Taxa de Juro Efetiva no Desconto por Fora
 Atendendo que o valor futuro já inclui juros, estamos na realidade a calcular juros sobre juros, o que implica que Df > Dd e,
como tal, mais favorável ao devedor. Por outro lado, a taxa efetiva da operação financeira difere, para mais, da taxa contratual
(taxa estabelecida no contrato e utilizada para a determinação dos juros). Ao utilizar o valor atual do capital, mas ao pagar
juros sobre o valor nominal, o devedor suporta uma taxa efetivamente superior à estabelecida.
 A Taxa Efetiva (1) no Desconto por Fora (i’) pode ser definida como a taxa que no método do Desconto por Dentro permite obter
o valor do Desconto por Fora, ou seja, a taxa que torna Dd = Df .
*(1) Considera-se taxa efetiva a taxa que foi realmente suportada, face ao montante de juros liquidados.
matemática financeiro Regime
de juros simples desconto
Exemplo: 
A empresa ABC tem a receber um crédito de 50.000€ daqui a dois anos, vencendo juros à taxa anual de 4%. Admitindo que
a empresa ABC pretendia receber hoje o equivalente ao seu crédito, determine: 
1. Utilizando o Desconto por Dentro: 
a) O montante do desconto que deveria fazer ao seu devedor. 
b) O valor que iria receber.
2. Utilizando o Desconto por Fora: 
a) O montante do desconto que deveria fazer ao seu devedor. 
b) O valor que iria receber. 
3. Para a modalidade de Desconto por Fora determine a taxa efetiva da operação.
Exercício de matemática financeiro
regime juro simples desconto
O capital de 15.000$ vence-se ao fim
de 18 meses. Considerando a taxa de
juro anual de 5%, na modalidade do
desconto por dentro, calcule o
prémio de desconto.
1
Temos o capital futuro (M)
no valor de 15.000$, a taxa de
juro (i) é de 5% anual e
precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário)
que no caso é 0.05 e o
prazo (n) da aplicação é de 18
meses. O objetivo é
encontrar o prémio de
desconto (D) na modalidade
do desconto por dentro (Dd).
A fórmula para resolver o
exercício quando não
conhecemos o valor atual (C)
é de Dd = M x i x n / 1 + i x n
Antes de inciar o exercício
temos que igualar a base
de tempo da aplicação com
a taxa de juro. Como
nossa base de aplicação é
em meses e a taxa é em
anos, podemos dividir a
taxa por 12 e assim
colocamos ela na mesma
unidade de tempo.
Dd = 15,000$ x (0.05 / 12) x 18 
 1 + (0.05 / 12) x18
Dd = 15,000$ x 0.004166666 x 18 
 1 + 0.004166666 x 18
Dd = 1,125$
 1.075
Dd = 1,046.511628$
Dd = 1,046.51$
Temos o capital futuro (M) no valor de
15.000$, a taxa de juro (i) é de 5% anual
e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.05 e o prazo (n) da aplicação é de 18
meses. O objetivo é encontrar o valor
atual (C) na modalidade do desconto por
dentro (Dd).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual é
de C = M / 1 + i x n
Antes de inciar o exercício temos que
igualar a base de tempo da aplicação com a 
taxa de juro. Como nossa base de aplicação
é em meses e a taxa é em anos, podemos
dividir a taxa por 12 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
C = 15,000$ 
1 + (0.05 / 12) x18
C = 15,000$ 
1 + 0.004166666 x 18
C = 15,000$
 1.075
C = 13,953.48837$
C = 13,953.49$
O capital de 15.000$ vence-se ao
fim de 18 meses. Considerando a
taxa de juro anual de 5%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule o valor atual.
O capital de 15.000$ vence-se ao
fim de 18 meses. Considerando a
taxa de juro anual de 5%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule a taxa de desconto.
Temos o capital futuro (M) no valor de
15.000$, a taxa de juro (i) é de 5% anual
e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.05 e o prazo (n) da aplicação é de 18
meses. O objetivo é encontrar a taxa
de desconto (d) na modalidade do
desconto por dentro (Dd).
A fórmula para resolver o exercício é
de d = i / 1 + i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar
a base de tempo da aplicação com a taxa de
juro. Como nossa base de aplicação é em
meses e a taxa é em anos, podemos dividir a
taxa por 12 e assim colocamos ela na mesma
unidade de tempo.
d = 0.05
1 + (0.05 / 12) x18
d = 0.05
1 + 0.004166666 x 18
d = 0.05
 1.075
d = 0.046511627
d = 4.651%
Outra forma de chegar a
solução é quando já
conhecemos o valor futuro e o
valor do desconto. C = M - Dd
 
C = 15,000$ - 1,046.51$
C = 13,953.49$
Temos o capital no valor atual (C) no
valor de 13,953.49$, a taxa de juro (i) é
de 5% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no
caso é 0.05 e o prazo (n) da aplicação
é de 18 meses. O objetivo é encontrar o
prémio de desconto (D) na modalidade
do desconto por dentro (Dd).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor futuro
(M) é de Dd = C x i x n
Antes de inciar o exercício temos que
igualar a base de tempo da aplicação
com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em meses e a taxa é em
anos, podemos dividir a taxa por 12 e
assim colocamos ela na mesma unidade
de tempo.
Dd = 13,953.49$ x (0.05 / 12) x18
Dd = 13,953.49$ x 0.004166666 x 18
Dd = 1,046.511583$
Dd = 1,046.51$
O capital de 13,953.49$ foi aplicado
em 18 meses. Considerando a taxa
de juro anual de 5%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule o prémio de
desconto.
O capital de 15.000$ vence-se ao
fim de 18 meses. Considerando a
taxa de juro anual de 5%, na
modalidade do desconto por fora,
calcule o prémio de desconto.
Temos o capital futuro (M) no valor de
15.000$, a taxa de juro (i) é de 5% anual
e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.05 e o prazo (n) da aplicação é de 18
meses. O objetivo é encontrar o prémio
de desconto (D) na modalidade do
desconto por fora (Df).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual
(C) é de Df = M x i x n
Antes de inciar o exercício temos
que igualar a base de tempo da
aplicação com a taxa de juro.
Como nossa base de aplicação é
em meses e a taxa é em anos,
podemos dividir a taxa por 12 e
assim colocamos ela na mesma
unidade de tempo.
Df = 15,000$ (0.05 / 12) x18
Df = 15,000$ x 0.004166666 x 18Df = 1,125$
Temos o capital futuro (M) no valor de
15.000$, a taxa de juro (i) é de 5% anual
e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.05 e o prazo (n) da aplicação é de 18
meses. O objetivo é encontrar o valor
atual (C) na modalidade do desconto por
fora (Df).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual é
de C = M x ( 1 - i x n )
Antes de inciar o exercício temos que
igualar a base de tempo da aplicação com a 
taxa de juro. Como nossa base de aplicação
é em meses e a taxa é em anos, podemos
dividir a taxa por 12 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
C = 15,000$ (0.05 / 12) x18
C = 15,000$ (1 - 0.004166666 x 18)
C = 15,000$ (1 - 0.075)
C = 15,000$ (0.925)
C = 13,875$
O capital de 15.000$ vence-se ao
fim de 18 meses. Considerando a
taxa de juro anual de 5%, na
modalidade do desconto por fora,
calcule o valor atual.
O capital de 15.000$ vence-se ao
fim de 18 meses. Considerando a
taxa de juro anual de 5%, na
modalidade do desconto por fora,
calcule a taxa efetivamente
aplicada na operação.
Temos o capital futuro (M) no valor de
15.000$, a taxa de juro (i) é de 5% anual
e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.05 e o prazo (n) da aplicação é de 18
meses. O objetivo é encontrar a taxa
de juro efetiva (i') na modalidade do
desconto por dentro (Df).
A fórmula para resolver o exercício é
de i' = i / 1 - i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar
a base de tempo da aplicação com a taxa de
juro. Como nossa base de aplicação é em
meses e a taxa é em anos, podemos dividir a
taxa por 12 e assim colocamos ela na mesma
unidade de tempo.
i' = 0.05
1 - (0.05 / 12) x18
i' = 0.05
1 - 0.004166666 x 18
i' = 0.05
 1 - 0.075
i' = 0.05
 0.925
Outra forma de chegar a
solução é quando já
conhecemos o valor futuro e o
valor do desconto. C = M - Df
 
C = 15,000$ - 1,125$
C = 13,875$
i' = 0.054054054
i' = 5.405%
Temos o capital no valor futuro (M) no
valor de 25000$, a taxa de juro (i) é de
4% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no
caso é 0.04 e o prazo (n) da aplicação
é de 3 trimestres. O objetivo é
encontrar o prémio de desconto (D) na
modalidade do desconto por dentro
(Dd).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual
(M) é de Dd = M x i x n / 1 + i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar a
base de tempo da aplicação com a taxa de juro.
Como nossa base de aplicação é em trimestres e
a taxa é em anos, podemos pensar quantos
trimestres cabe em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
Dd = 25,000$ x (0.04 / 4) x 3
 1 + (0.04 / 4) x 3
Dd = 25,000$ x 0.01 x 3
 1 + 0.01 x 3
Dd = 750
 1.03
O capital de 25,000$ vence-se ao
fim de 3 trimestres. Considerando
a taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule o prémio de
desconto.
O capital de 25.000$ vence-se ao
fim de 3 trimestres. Considerando
a taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule o valor atual.
Temos o capital futuro (M) no valor de
25.000$, a taxa de juro (i) é de 4%
anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.04 e o prazo (n) da aplicação é de 3
trimestres. O objetivo é encontrar o
valor atual (C) na modalidade do
desconto por dentro (Dd).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual é
de C = M / 1 + i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar a
base de tempo da aplicação com a taxa de juro.
Como nossa base de aplicação é em trimestres e
a taxa é em anos, podemos pensar quantos
trimestres cabe em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
Dd = 728.1553398$
Dd = 728.16$
C = 25,000$ 
1 + (0.04 / 4) x 3
C = 25,000$ 
 1 + 0.01 x 3
C = 25,000$
 1.03
C = 24,271.84466$
C = 24,271.84$
Outra forma de chegar a
solução é quando já
conhecemos o valor futuro e o
valor do desconto. C = M - Dd
 
C = 25,000$ - 728,16$
C = 24,271.84$
Temos o capital futuro (M) no valor de
25.000$, a taxa de juro (i) é de 4%
anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.04 e o prazo (n) da aplicação é de 3
trimestres. O objetivo é encontrar a
taxa de desconto (d) na modalidade do
desconto por dentro (Dd).
A fórmula para resolver o exercício é
de d = i / 1 + i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar a base de
tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em trimestre e a taxa é em anos, podemos
pensar quantos trimestre cabe em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos ela na mesma
unidade de tempo.
d = 0.04
1 + (0.04 / 4) x 3
d = 0.04
 1 + 0.01 x 3
d = 0.04
 1.03
d = 0.038834951
d = 3.883%
O capital de 25.000$ vence-se ao
fim de 3 trimestres. Considerando
a taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule a taxa de desconto.
Temos o capital no valor atual (C) no
valor de 24,271.84$, a taxa de juro (i) é
de 4% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no
caso é 0.04 e o prazo (n) da aplicação
é de 3 trimestres. O objetivo é
encontrar o prémio de desconto (D) na
modalidade do desconto por dentro
(Dd).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor futuro
(M) é de Dd = C x i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar a
base de tempo da aplicação com a taxa de juro.
Como nossa base de aplicação é em trimestre e
a taxa é em anos, podemos pensar quantos
trimestre cabe em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
Dd = 24,271.84$ x (0.04 / 4) x 3
Dd = 24,271.84$ x 0.01 x 3
Dd = 728.1552$
Dd = 728.16$
O capital de 24,271.84$ foi aplicado
em 3 trimestres. Considerando a
taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule o prémio de
desconto.
O capital de 25.000$ vence-se ao
fim de 3 trimestres. Considerando a
taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por fora,
calcule o prémio de desconto.
Temos o capital futuro (M) no valor de
25.000$, a taxa de juro (i) é de 4%
anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.04 e o prazo (n) da aplicação é de 3
trimestres. O objetivo é encontrar o
prémio de desconto (D) na modalidade
do desconto por fora (Df).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual
(C) é de Df = M x i x n
Antes de inciar o exercício temos que
igualar a base de tempo da aplicação com a
taxa de juro. Como nossa base de aplicação
é em trimestres e a taxa é em anos,
podemos pensar quantos trimestres cabe
em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos
ela na mesma unidade de tempo.
Df = 25,000$ (0.04 / 4) x 3
 
Df = 25,000$ x 0.01 x 3
Df = 750$
Temos o capital futuro (M) no valor de
25.000$, a taxa de juro (i) é de 4%
anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.04 e o prazo (n) da aplicação é de 3
trimestres. O objetivo é encontrar o
valor atual (C) na modalidade do
desconto por fora (Df).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor atual é
de C = M x ( 1 - i x n )
Antes de inciar o exercício temos que igualar a
base de tempo da aplicação com a taxa de juro.
Como nossa base de aplicação é em trimestres e
a taxa é em anos, podemos pensar quantos
trimestres cabe em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
C = 25,000$ (0.04 / 4) x 3
C = 25,000$ (1 - 0.01 x 3)
C = 25,000$ (1 - 0.03)
C = 25,000$ (0.97)
C = 24,250$
O capital de 25.000$ vence-se ao
fim de 3 trimestres. Considerando
a taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por fora,
calcule o valor atual.
Outra forma de chegar a
solução é quando já
conhecemos o valor futuro e o
valor do desconto. C = M - Df
 
C = 25,000$ - 750$
C = 24,250$
Temos o capitalno valor atual (C) no
valor de 24,250$, a taxa de juro (i) é
de 4% anual e precisamos colocar em
número decimal (taxa unitário) que no
caso é 0.04 e o prazo (n) da aplicação
é de 3 trimestres. O objetivo é
encontrar o prémio de desconto (D) na
modalidade do desconto por fora (Df).
A fórmula para resolver o exercício
quando não conhecemos o valor futuro
(M) é de M = C / 1 - I x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar a
base de tempo da aplicação com a taxa de juro.
Como nossa base de aplicação é em trimestres e
a taxa é em anos, podemos pensar quantos
trimestres cabe em um ano, então 
é só dividir a taxa por 4 e assim colocamos ela
na mesma unidade de tempo.
M = 24,250$ 
 1 - (0.04 / 4) x 3
M = 24,250$ 
 1 - 0.01 x 3
M = 24,250$ 
 0.97
M = 25,000$
O capital de 24,250$ foi aplicado
em 3 trimestres. Considerando a
taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por
dentro, calcule o valor futuro.
O capital de 25.000$ vence-se ao
fim de 3 trimestres. Considerando
a taxa de juro anual de 4%, na
modalidade do desconto por fora,
calcule a taxa efetivamente
aplicada na operação.
Temos o capital futuro (M) no valor de
25.000$, a taxa de juro (i) é de 4%
anual e precisamos colocar em número
decimal (taxa unitário) que no caso é
0.04 e o prazo (n) da aplicação é de 3
trimestres. O objetivo é encontrar a
taxa de juro efetiva (i') na modalidade do
desconto por dentro (Df).
A fórmula para resolver o exercício é
de i' = i / 1 - i x n
Antes de inciar o exercício temos que igualar
a base de tempo da aplicação com a taxa de
juro. Como nossa base de aplicação é em
meses e a taxa é em anos, podemos dividir a
taxa por 12 e assim colocamos ela na mesma
unidade de tempo.
i' = 0.04
1 - (0.04 / 4) x 3
i' = 0.04
 1 - 0.01 x 3
i' = 0.04
 1 - 0.03
i' = 0.04
 0.97
i' = 0.041237113
i' = 4.124%
1. Equivalência de capitas
 As alterações de valores dos capitais ocorre nos conceitos de capitalização ou atualização. Uma modificação da data no reporte 
em um determinado capital provoca uma variação em seu valor. Quando temos uma operação financeiro com dois ou mais
capitais deverá ter por base um momento comum ou de referência.
 Nas ocorrências de atividades econônicas e financeiras é normal trocar operações de capitais por outro, ou outros, de valor
equivalente. Então, dois ou mais capitais com datas de vencimento diferentes se diz equivalentes, quando reportados a uma
determinada data apresentarem valores iguais.
 A data a que os capitais são designada é chamado "data de referência". A expressão matemática que estabelece a igualdade
entre os capitais, ou conjunto de capitais, expressa por equação de equivalência ou "equação de valor".
 No desejo de trocar um conjuto de capitais por um capital único, o valor deste capital, equivalente ao conjunto inicial, é
denominado por "capital comum" e, o respetivo momento de vencimento designa-se por "vencimento comum".
Em regime de juro simples não se calculam juros de juros, a data de refência da operação deve ser a data do contrato, ou seja,
momento zero.
Exemplo: 
 Um devedor assumiu o compromisso de pagar 5,000$, 7,000$ e 2,000$, com vencimento a 3, 7 e 11 meses, respetivamente.
Tendo disponibilidade financeira, o devedor pretende renegociar o pagamento das dívidas, mediante um pagamento único
(capital comum). Considerando uma taxa de juro anual de 5%, calcule nas modalidades de desconto por dentro e de desconto
por fora:
a) o valor a liquidar, caso o pagamento ocorra na data do contrato (momento 0).
b) o valor a liquidar, caso o pagamento ocorra 12 meses após a data do contrato.
c) o valor a liquidar, caso ocorram dois pagamentos de igual montante, com vencimentos a 6 e a 12 meses.
equivalência de capitais
Exercícios de equivalência de capitais
Uma empresa adquiriu um equipamento a
crédito, comprometendo-se a pagar duas
prestações de 5,000$ cada com vencimento a
60 e a 90 dias. Passados 45 dias, o devedor
propõe ao credor a liquidação imediato da sua
dívida. Considerando a taxa de juro anual de
5%, determine o valor a pagar na modalidade
do desconto por dentro.
2
O devedor têm dois títulos de créditos (M1 e M2) no valor de 5,000$ que vence em
60 dias (n) e outro em 90 dias (n). E, 45 dias (n) o devedor decidiu liquidar sua dívida.
A taxa de juro é de 5% (i) ao ano, que na taxa unitário é 0.05. O objetivo é encontrar
o valor a pagar (Cc) no momento dos 45 dias utilizando a fórmula C = M / 1 + I x n na
modalidade por dentro.
C0
Cc M1 M2
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em dias e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 360 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): C / 1 + i x n = [M1 / 1 + i x n] + [M2 / 1 + i x n] 
C / 1 + (0.05/360) x 45 = [5000 / 1 + (0.05/360) x 60] + [5000 / 1 + (0.05/360) x 90]
C / 1 + 0.000138888 x 45 = [5000 / 1 + 0.000138888 x 60] + [5000 / 1 + 0.000138888 x 90]
C / 1 + 0.00625 = [5000 / 1 + 0.008333333] + [5000 / 1 + 0.0125]
C / 1.00625 = [5000 / 1.008333333] + [5000 / 1.0125]
C / 1.00625 = 4,958.677688 + 4,938.271605
C / 1.00625 = 9,896.949293
C = 9,896.949293 x 1.00625
C = 9,958.805226$
C = 9,958.81$
Capital Comum (Cc)
9,958.81$
Vencimento ComumData de referência
5,000$5,000$C0
Uma empresa adquiriu um equipamento a
crédito, comprometendo-se a pagar duas
prestações de 5,000$ cada com vencimento a
60 e a 90 dias. Passados 45 dias, o devedor
propõe ao credor a liquidação imediato da sua
dívida. Considerando a taxa de juro anual de
5%, determine o valor a pagar na modalidade
do desconto por fora.
O devedor têm dois títulos de créditos (M1 e M2) no valor de 5,000$ que vence em
60 dias (n) e outro em 90 dias (n). E, 45 dias (n) o devedor decidiu liquidar sua dívida.
A taxa de juro é de 5% (i) ao ano, que na taxa unitário é 0.05. O objetivo é encontrar
o valor a pagar (Cc) no momento dos 45 dias utilizando a fórmula C = M ( 1 - I x n )
na modalidade por fora.
C0
Cc M1 M2
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em dias e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 360 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): C (1 - i x n) = M1 (1 - i x n) + M2 (1 - i x n) 
C (1 - (0.05/360) x 45) = 5000 (1 - (0.05/360) x 60) + 5000 (1 - (0.05/360) x 90)
C (1 - 0.000138888 x 45) = 5000 (1 - 0.000138888 x 60) + 5000 (1 - 0.000138888 x 90)
C (1 - 0.00625) = 5000 (1 - 0.008333333) + 5000 (1 + 0.0125)
C (0.99375) = 5000 (0.991666667) + 5000 (0.9875)
C (0.99375) = 4,958.333335 + 4,937.5
C (0.99375) = 9,895.833335
C = 9,895.833335 / 0.99375
C = 9,958.071281$
C = 9,958.07$
Capital Comum (Cc)
9,958.07$
Vencimento ComumData de referência
5,000$5,000$C0
Uma empresa adquiriu um equipamento a crédito,
comprometendo-se a pagar duas prestações no
valor de 2,000$ e de 4,000$, vencíveis a 30 e a 120
dias, respetivamente. Passados 15 dias, o devedor
propõe substituir o plano de pagamentos inicial por
um pagamento único a realizar ao fim de 60 dias.
Considerando a taxa de juro anual de 4.5%,
determine o valor a pagar na modalidade do
desconto por dentro.
O devedor têm dois títulos de créditos, um no valor de 2,000$ (M1) que vence em 30
dias (n) e outro no valor de 4,000$ (M2) que vence em 120 dias (n). E, 15 dias (n) o
devedor decidiu liquidar sua dívida. A taxa de juro é de 4.5% (i) ao ano, que na taxa
unitário é 0.045. O objetivo é encontrar o valor a pagar (Cc) no momento dos 15 dias
utilizando a fórmula C = M / 1 + I x n na modalidade por dentro.
C0
Cc M1 M2
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em dias e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 360 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressãomatemática (equação de valor): C / 1 + i x n = [M1 / 1 + i x n] + [M2 / 1 + i x n] 
Capital Comum (Cc)
5,944.54$
Vencimento ComumData de referência
4,000$2,000$C0
Uma empresa adquiriu um equipamento a crédito,
comprometendo-se a pagar duas prestações no
valor de 2,000$ e de 4,000$, vencíveis a 30 e a 120
dias, respetivamente. Passados 15 dias, o devedor
propõe substituir o plano de pagamentos inicial por
um pagamento único a realizar ao fim de 60 dias.
Considerando a taxa de juro anual de 4.5%,
determine o valor a pagar na modalidade do
desconto por fora.
O devedor têm dois títulos de créditos, um no valor de 2,000$ (M1) que vence em 30
dias (n) e outro no valor de 4,000$ (M2) que vence em 120 dias (n). E, 15 dias (n) o
devedor decidiu liquidar sua dívida. A taxa de juro é de 4.5% (i) ao ano, que na taxa
unitário é 0.045. O objetivo é encontrar o valor a pagar (Cc) no momento dos 15 dias
utilizando a fórmula C = M ( 1 - I x n ) na modalidade por fora.
C / 1 + (0.045/360) x 15 = [2000 / 1 + (0.045/360) x 30] + [4000 / 1 + (0.045/360) x 120]
C / 1 + 0.000125 x 15 = [2000 / 1 + 0.000125 x 30] + [4000 / 1 + 0.000125 x 120]
C / 1 + 0.001875 = [2000 / 1 + 0.00375] + [4000 / 1 + 0.015]
C / 1.001875 = [2000 / 1.00375] + [4000 / 1.015]
C / 1.001875 = 1,992.52802 + 3,940.8867
C / 1.001875 = 5,933.41472
C = 5,933.41472 x 1.001875
C = 5,944.539872$
C = 5,944.54$
C0
Cc M1 M2
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em dias e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 360 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): C (1 - i x n) = M1 (1 - i x n) + M2 (1 - i x n) 
C (1 - (0.045/360) x 15) = 2000 (1 - (0.045/360) x 30) + 4000 (1 - (0.045/360) x 120)
C (1 - 0.000125 x 15) = 2000 (1 - 0.000125 x 30) + 4000 (1 - 0.000125 x 120)
C (1 - 0.001875) = 2000 (1 - 0.00375) + 4000 (1 + 0.015)
C (0.998125) = 2000 (0.99625) + 4000 (0.985)
C (0.998125) = 1,992.5 + 3,940
C (0.998125) = 5,932.5
C = 5,932.5 / 0.998125
C = 5,943.644333$
C = 5,943.64$
Capital Comum (Cc)
5,943.64$
Vencimento ComumData de referência
4,000$2,000$C0
Uma empresa contraiu uma dívida comercial a
liquidar por meio de três pagamentos de 1.500$,
1.800$ e 2.300$, com vencimento a 2, 5 e 9 meses,
respetivamente. Contudo, a empresa propõe a
liquidação da sua dívida mediante um pagamento
único a realizar ao fim de 4 meses. Considerando
que a proposta foi aceite e admitindo uma taxa de
juro anual de 6%, calcule o valor a pagar na
modalidade do desconto por dentro.
O devedor têm 3 títulos a liquidar (M1, M2 e M3) nos valores de 1.500$, 1.800$ e 2.300$
que vence em 2, 5 e 9 meses (n). E, em 4 meses (n) o devedor decidiu liquidar sua
dívida no único pagamento. A taxa de juro é de 6% (i) ao ano, que na taxa unitário é
0.06. O objetivo é encontrar o valor a pagar (Cc) no momento dos 4 meses utilizando
a fórmula C = M / 1 + I x n na modalidade por dentro.
M1 M2 M3Cc
C0
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em meses e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 12 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): C / 1 + i x n = [M1 / 1 + i x n] + [M2 / 1 + i x n] + [M3 / 1 + i x n]
C / 1 + (0.06/12) x 4 = [1500 / 1 + (0.06/12) x 2] + [1800 / 1 + (0.06/12) x 5] + [2300 / 1 + (0.06/12) x 9]
C / 1 + 0.005 x 4 = [1500 / 1 + 0.005 x 2] + [1800 / 1 + 0.005 x 5] + [2300 / 1 + 0.005 x 9]
C / 1 + 0.02 = [1500 / 1 + 0.01] + [1800 / 1 + 0.025] + [2300 / 1 + 0.045]
C / 1.02 = [1500 / 1.01] + [1800 / 1.025] + [2300 / 1.045]
C / 1.02 = 1,485.148515 + 1,756.097561 + 2,200.956938
C / 1.02 = 5,442.203014
C = 5,442.203014 x 1.02
C = 5,551.047074$
C = 5,551.05$
Capital Comum (Cc)
5,551.05$
Vencimento ComumData de referência
1,800$1,500$C0
Uma empresa contraiu uma dívida comercial a
liquidar por meio de três pagamentos de 1.500$,
1.800$ e 2.300$, com vencimento a 2, 5 e 9 meses,
respetivamente. Contudo, a empresa propõe a
liquidação da sua dívida mediante um pagamento
único a realizar ao fim de 4 meses. Considerando
que a proposta foi aceite e admitindo uma taxa de
juro anual de 6%, calcule o valor a pagar na
modalidade do desconto por fora.
O devedor têm 3 títulos a liquidar (M1, M2 e M3) nos valores de 1.500$, 1.800$ e 2.300$
que vence em 2, 5 e 9 meses (n). E, em 4 meses (n) o devedor decidiu liquidar sua
dívida no único pagamento. A taxa de juro é de 6% (i) ao ano, que na taxa unitário é
0.06. O objetivo é encontrar o valor a pagar (Cc) no momento dos 4 meses utilizando
a fórmula C = M ( 1 - I x n ) na modalidade por fora.
2,300$
C0
M1 M2 M3Cc
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em meses e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 12 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): C (1 - i x n) = M1 (1 - i x n) + M2 (1 - i x n) + M3 (1 - i x n)
C (1 - (0.06/12) x 4) = 1500 (1 - (0.06/12) x 2) + 1800 (1 - (0.06/12) x 5) + 2300 (1 - (0.06/12) x 9)
C (1 - 0.005 x 4) = 1500 (1 - 0.005 x 2) + 1800 (1 - 0.005 x 5) + 2300 (1 - 0.005 x 9)
C (1 - 0.02) = 1500 (1 - 0.01) + 1800 (1 - 0.025) + 2300 (1 - 0.045)
C (0.98) = 1500 (0.99) + 1800 (0.975) + 2300 (0.955)
C (0.98) = 1,485 + 1,755 + 2,196.5
C (0.98) = 5,436.5
C = 5,436.5
 0.98
C = 5,547.44898$
C = 5,547.45$
Capital Comum (Cc)
5,547.45$
Vencimento ComumData de referência
1,800$1,500$C0
Uma empresa contraiu uma dívida comercial a
liquidar por meio de quatro pagamentos de 2.000$
cada, vencíveis a 30, 60, 90 e 120 dias. Verificando
que dispõe de recursos financeiros, a empresa
propõe substituir o plano de pagamentos inicial por
um pagamento único a realizar ao fim de 60 dias.
Considerando que a proposta foi aceite e admitindo
uma taxa de juro anual de 7%, calcule o valor a
pagar na modalidade do desconto por dentro.
O devedor têm 4 títulos a liquidar (M1, M2, M3 e M4) nos valores de 2.000$ cada, que
vence em 30, 60, 90 e 120 dias (n). E, em 60 dias (n) o devedor decidiu liquidar sua
dívida no único pagamento. A taxa de juro é de 7% (i) ao ano, que na taxa unitário é
0.07. O objetivo é encontrar o valor a pagar (Cc) no momento dos 60 dias utilizando a
fórmula C = M / 1 + I x n na modalidade por dentro.
2,300$
Cc e M2
C0
M1 M3 M4
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em dias e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 360 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): 
C / 1 + i x n = [M1 / 1 + i x n] + [M2 / 1 + i x n] + [M3 / 1 + i x n] + [M4 / 1 + i x n]
Capital Comum (Cc)
7,977.33$
Vencimento Comum
Data de referência
2000$2000$
Uma empresa contraiu uma dívida comercial a
liquidar por meio de quatro pagamentos de 2.000$
cada, vencíveis a 30, 60, 90 e 120 dias. Verificando
que dispõe de recursos financeiros, a empresa
propõe substituir o plano de pagamentos inicial por
um pagamento único a realizar ao fim de 60 dias.
Considerando que a proposta foi aceite e admitindo
uma taxa de juro anual de 7%, calcule o valor a
pagar na modalidade do desconto por fora.
O devedor têm 4 títulos a liquidar (M1, M2, M3 e M4) nos valores de 2.000$ cada, que
vence em 30, 60, 90 e 120 dias (n). E, em 60 dias (n) o devedor decidiu liquidar sua
dívida no único pagamento. A taxa de juro é de 7% (i) ao ano, que na taxa unitário é
0.07. O objetivo é encontrar o valor a pagar (Cc) no momento dos 60 dias utilizando a
fórmula C = M ( 1 - I x n ) na modalidade por fora.
2000$
C / 1 + (0.07/360) x 60 = [2000 / 1 + (0.07/360) x 30] + [2000 / 1 + (0.07/360) x 60] + [2000 / 1 + (0.07/360) x 90] + [2000 / 1 + (0.07/360) x 120]
C / 1 + 0.000194444 x 60 = [2000 / 1 + 0.000194444 x 30] + [2000 / 1 + 0.000194444 x 60] + [2000/ 1 + 0.000194444 x 90] + [2000 / 1 + 0.000194444 x 120]
C / 1 + 0.011666666 = [2000 / 1 + 0.005833333] + [2000 / 1 + 0.011666666] + [2000 / 1 + 0.0175] + [2000 / 1 + 0.023333333]
C / 1.011666666 = [2000 / 1.005833333] + [2000 / 1.011666666] + [2000 / 1.0175] + [2000 / 1.023333333]
C / 1.011666666 = 1,988.400995 + 1,976.935751 + 1,965.601966 + 1,954.397395
C / 1.011666666 = 7,885.336107
C = 7,885.336107 x 1.011666666
C = 7,977.331689$
C = 7,977.33$
C0 2000$
Cc e M2
C0
M1 M3 M4
Antes de inciar o exercício temos que igualar a unidade de tempo da aplicação com a taxa de juro. Como nossa base de
aplicação é em dias e a taxa é em anos, podemos dividir a taxa por 360 e assim colocamos ela na mesma unidade de
tempo. Fórmula na expressão matemática (equação de valor): 
C (1 - i x n ) = M1 (1 - i x n) + M2 (1 - i x n) + M3 (1 - i x n) + M4 (1 - i x n)
Capital Comum (Cc)
7,976.39$
Vencimento Comum
Data de referência
2000$2000$
Realizar o investimento apenas daqui a um ano, altura em que
efetivamente necessita do equipamento, mas pelo preço de 5.250$.
Realizar o investimento de imediato, financiando-se mediante o
recebimento antecipado do crédito de que é titular, descontado à taxa
de juro semestral de 2.75% (desconto por fora) . Após a aquisição do
equipamento, a empresa pode aplicar restante valor à taxa de juro
mensal de 0.25%, em regime de juro simples.
Realizar o investimento de imediato, contraindo para o efeito um
empréstimo, em regime de juro simples, à taxa de juro anual de 7%, a
liquidar ao fim de um ano.
Uma empresa, titular de um crédito com o valor nominal de 6.000$, vencível
a 12 meses, pretende investir num equipamento, cujo preço atual é de
5.000$, podendo optar por uma das seguintes opções:
1.
2.
3.
Indique qual a melhor opção do ponto de vista financeiro.
Situação 1
A empresa têm uma aplicação de 12 meses que vair receber no final 6.000$. E, daqui
um o ano o equipamento terá o seu valor alterado para 5.250$. A empresa
comprando o equipamento daqui um ano com o dinheiro do título de crédito ele vai
economizar 750$. 
6.000$ - 5.250$ = 750$
2000$
C (1 - (0.07/360) x 60) = 2000 (1 - (0.07/360) x 30) + 2000 (1 - (0.07/360) x 60) + 2000 (1 - (0.07/360) x 90) + 2000 (1 - (0.07/360) x 120)
C (1 - 0.000194444 x 60) = 2000 (1 - 0.000194444 x 30) + 2000 (1 - 0.000194444 x 60) + 2000 (1 - 0.000194444 x 90) + 2000 (1 - 0.000194444 x 120)
C (1 - 0.011666666) = 2000 (1 - 0.005833333) + 2000 (1 - 0.011666666) + 2000 (1 - 0.0175) + 2000 (1 - 0.023333333)
C (0.988333334) = 2000 (0.994166667) + 2000 (0.98833333) + 2000 (0.9825) + 2000 (0.976666667)
C (0.988333334) = 1,988.33334 + 1,976.66666 + 1,965 + 1,953.333334
C (0.988333334) = 7,883.333334
C = 7,883.333334
 0.988333334 
C = 7,976.391226$
C = 7,976.39$
C0 2000$
Situação 2 ( Modalidade desconto por fora )
A empresa vai antecipar o valor do investimento de 6.000$ aplicado em 12 meses para
comprar um equipamento com a taxa de juro semestral de 2.75% (taxa unitário
0.0275) na modalidade desconto por fora. E, depois investir novamente o restante do
dinheiro a uma taxa de juro mensal 0.25% (taxa unitário 0.0025) em regime de juro
simples. Fórmula modalidade desconto por fora C = M ( 1 - i n ).
Antes de iniciar o exercício devemos lembrar que o valor de 6.000$ está aplicado em 
meses e a taxa de juro na modalidade desconto por fora em semestres e para
igualar a base de tempo basta dividir por 6 a taxa de juro.
C = 6.000 ( 1 - (0.0275 / 6) x 12 )
C = 6.000 ( 1 - 0.004583333 x 12 )
C = 6.000 ( 1 - 0.055)
C = 6.000 ( 0.945 )
C= 5.670$
Usando esse dinheiro para comprar o equipamento no valor de 5.000$ vai redender
670$ para investir novamente: ( 5.000$ - 5.670$ = 670$ ). Aplicando os 670$ a taxa
de juro mensal 0.25% ( taxa unitário 0.0025 ) em 12 meses em regime de juro simples
pela fórmula M = C ( 1 + i x n )
M = 670 ( 1 + 0.0025 x 12 )
M = 670 ( 1 + 0.03 )
M = 670 ( 1.03 )
M = 690.10$
Situação 3 
A empresa pega um empréstimo de 5.000$ para ser liquidado a dívida ao fim de um
ano, em regime de juros simples. A empresa vai utilizar aplicação de 6.000$ para
liquidar o empréstimo. A taxa de juro anual é 7% ( taxa unitário 0.07 ) usando a
fórmula M = C ( 1 + i x n ).
M = 5.000 ( 1 + 0.07 x 1 )
M = 5.000 ( 1 + 0.07)
M = 5.000 ( 1.07)
M = 5.350$
Usando os 6.000$ para liquidar a dívida de 5.350$ vai me render no final 650$. 
6.000$ - 5.350$ = 650$
Nas três situações a primeira opção é a melhor pois a empresa fica com 750$.
Entrega de 15% no ato da compra;
Pagamento do restante valor por meio de três prestações vencíveis,
respetivamente, a 3, 6 e 12 meses da data de compra e englobando juros
à taxa anual de 4,5%. As duas primeiras prestações terão valor nominal
igual e o valor da 3ª corresponderá ao dobro do valor nominal de cada
uma das primeiras.
Uma empresa adquiriu hoje duas viaturas no valor de 52.000$. 
O pagamento será efetuado nas seguintes condições:
1.
2.
a) Determine o valor nominal de cada uma das prestações, segundo o
regime de juro simples e pelo método do desconto por fora.
b) Imediantamente após o pagamento da 1ª prestação, a empresa propôs a
substituição das duas prestações vincendas por um pagamento único a
efetuar decorridos 2 meses. Calcule o valor da prestação única,
considerando a modalidade do desconto comercial (fora).
Cálculo auxiliar dos 15% no pronto pagamento:
C = M ( 1 - x )
C = 52.000 ( 1 - 0.15 )
C = 52.000 ( 0.85 )
C = 44.200$
x = M - C
x = 52.000$ - 44.200$
x = 7.800$
a) Cáculo dos valores das prestações na modalidade por fora:
M ( 1 - (0.045/12) x 3 ) + M ( 1 - (0.045/12) x 6 ) + 2M ( 1 - (0.045/12) x 12 ) = 44.200
M ( 1 - 0.00375 X 3 ) + M ( 1 - 0.00375 X 6 ) + 2M ( 1 - 0.00375 X 12 ) = 44.200
M ( 1 - 0.01125 ) + M ( 1 - 0.0225 ) + 2M ( 1 - 0.045 ) = 44.200
M ( 0.98875 ) + M ( 0.9775 ) + 2M ( 0.955 ) = 44.200
0.8875M + 0.9775M + 1.91M = 44.200
3.87625M = 44.200
M = 44.200 / 3.87625
M = 11,402.7733
Primeira prestação: 11,402.77$
Segunda prestação: 11,402.77$
Terceira prestação: 11,402.77 x 2 = 22,805.54$ 
b) Pagamento das prestações na modalidade por fora:
No terceiro mês a empresa pagou a primeira prestação e decidiu pagar a dívida em um
único pagamento dentro de dois meses.
Cc (1 - (0.045/12) x 5) = 11,402.77$ (1 - (0.045/12) x 6) + 22,805.54$ (1 - (0.045/12) x 12)
Cc (1 - 0.00375 x 5) = 11,402.77$ (1 - 0.00375 x 6) + 22,805.54$ (1 - 0.00375 x 12)
Cc (1 - 0.01875) = 11,402.77$ (1 - 0.0225) + 22,805.54$ (1 - 0.045)
Cc (0.98125) = 11,402.77$ (0.9775) + 22,805.54$ (0.955)
0.98125Cc = 11,146.20768$ + 21,779.2907$
0.98125Cc = 32,925.49838$
Cc = 32,925.49838$ / 0.98125
Cc = 33,554.64803$
Cc = 33,554.65$
Considere um depósito de 25.750$
capitalizado em regime de juro
simples, à taxa de juro anual de 4% no
1ª ano, à taxa de juro trimestral de
1.2% no 2º ano e à taxa de juro
semestral de 2.85% no 3º ano. Calcule
o valor acumulado no final do 3º ano.
Exercícios de revisão de Capitalização
3
No 1º ano o capital foi atualizado à taxa de juro anual de 4%.
No 2º ano o capital foi atualizado à taxa de juro trimestral de 1.2%.
No 3º ano o capital foi atualizado à taxa de juro semestral de 2.85%.
O capital a ser atualizado é de 25.750$.
Equação de valor: M = C + ( C x i x n ) + ( C x i x n ) + ( C x i x n )
M = 25.750$ + ( 25.750$ x 0.04 x 1) + ( 25.750$ x (0.012 x 4) x 1 ) + ( 25.750$ x (0.0285 x 2) x 1 )
M = 25.750$ + 1.030$ + 1.236$ + 1.467.75$
M = 29.483.75$
Considere um depósito de 30.250$
capitalizado, em regime de juro
simples, à taxa de juro anual de 4.5%
no 1ª ano, à taxa de juro quadrimestral
de 1.8% no 2º ano e à taxa de juro
mensal de 0.2% no 3º ano. Calcule o
valor acumulado no final do 3º ano.
No 1º ano o capital foi atualizado à taxa de juro anual de 4.5%.
No 2º ano o capital foi atualizado à taxa de juro quadrimestral de 1.8%.
No 3º ano o capital foi atualizado à taxa de juro mensal de 0.2%.
O capital a ser atualizado é de 30.250$.
Equação de valor: M = C + ( C x i x n ) + ( C x i x n) + ( C x i x n)
M = 30.250$ + ( 30.250$ x 0.045 x 1 ) + ( 30.250$ x (0.018/3)x 12) + ( 30.250$ x (0.002/12) x 30 )
M = 30.250$ + 1.361.25$ + 2.178$ + 151.25$
M = 33.940.50$
Olá, eu sou Artur Junior
criador dos conteúdos
ENCYCLOPAEDIA. Todos
os conteúdos
apresentados é baseado
de anotações dos cursos
que já frequentei. O
objetivo desse material é
revisar e dividir
conhecimentos
adquiridos.
Os textos e conteúdos veio das anotações do livro Matemática Financeira
Teoria e Prática dos autores Fernanda Matias, Ana Martins, Carlos
Monteiro e Telma Correia da editora Sílabo 1ª edição do ano de 2020.
As anotações é do ano de 2019 do curso de Gestão da Universidade do
Algarve pela Escola Superior de Gestão, Hotelaria e Turísmo no Campus
Penha em Portugal.
Conceitos de Modalidade de Desconto;
Siglas utilizados nas fórmulas;
Conceito desconto por fora;
Conceito desconto por dentro;
Conceito de taxa de desconto;
Conceito de Capitais equivalentes;
Conceito de Capital Comum;
Conceito de Vencimento Comum;
Conceito de data de referência;
Conceito de equação de valor;
Resolução de exercícios.
Sebenta em Portugal e Apostilha no Brasil aqui abordamos os temas: