AD1-Q2-2021-2-Gabarito

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Gabarito da Questão 2 da AD 1 – Métodos Determińısticos I – 2021-2
Questão 2 (2,5 pontos) Considere as sentenças abaixo:
p : ∃x ∈ Z | ∀y ∈ N , x < y
q : ∀x ∈ Z , ∃y ∈ N |x < y
r : ∃x ∈ N | ∀y ∈ Z , x < y
s : ∃x ∈ N | ∃y ∈ Z |x < y
(a) Escreva cada sentença sem simbologia, ou seja, por extenso (”existe um número inteiro x tal
que, para todo número natural y...”).
(b) Diga se cada uma das sentenças é verdadeira ou falsa, justificando.
Solução:
(a) p : Existe um número inteiro x tal que, para todo número natural y, x é menor que y
q : Para todo número inteiro x, existe um número natural y, tal que x é menor que y
r : Existe um número natural x tal que, para todo número inteiro y, x é menor que y
s : Existe um número natural x tal que existe um número inteiro y tal que x é menor que y
(b) p : Verdadeira. Tomando x = −1 ∈ Z, para todo y ∈ N teremos x < y, pois N =
{1, 2, 3, 4, ...}.
q : Verdadeiro. Escolha qualquer número x ∈ Z. Se x ≤ 0, escolhendo y = 1, por exemplo,
temos x < y. Se, por outro lado, x > 0, escolhemos y = x+ 1 ∈ N e teremos x < y.
r : Falso. Qualquer número natural x que escolhermos não é menor que o número inteiro
dado por y = x− 1 ∈ Z.
s : Verdadeiro. Tomando x = 1, por exemplo, existe um número inteiro y, por exemplo y = 2
tal que x < y.