PF_4h_f3unif_092_def_enunc_gab
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DisciplinaFísica III17.009 materiais196.873 seguidores
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tre\u2c6s correntes retil´\u131neas, estaciona´rias,
muito longas.
I
2I
I
a
a
Indique a opc¸a\u2dco que fornece o mo´dulo e o sen-
tido da forc¸a magne´tica resultante, por unidade
de comprimento, sobre o fio mais inferior.
(a) µ0I
2
4\u3c0a , para baixo.
(b) µ0I
2
4\u3c0a , para cima.
(c) 3µ0I
2
4\u3c0a , para baixo.
(d) 3µ0I
2
4\u3c0a , para cima.
(e) µ0I
2
4\u3c0a , para a esquerda.
(f) 3µ0I
2
4\u3c0a , para a direita.
3
Sec¸a\u2dco 2. Questo\u2dces discursivas
1. Na figura abaixo, mostramos dois condutores cil´\u131ndricos, circulares, de altura comum h, coaxiais com o
eixo Z, em equil´\u131brio eletrosta´tico. O primeiro deles e´ so´lido, possui raio a e carga total Q > 0. O segundo
deles e´ uma casca cil´\u131ndrica de espessura desprez´\u131vel, possuindo raio b > a e carga total \u2212Q. Admita que a
altura h e´ muito maior que o maior raio, b, de modo que os cilindros podem ser considerados muito longos
e, portanto, efeitos de borda podem ser desprezados.
(a) Determine o campo eletrosta´tico nas tre\u2c6s regio\u2dces: 0 \u2264 r < a, a < r < b, b < r . [1,2 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da ddp entre um ponto gene´rico dentro do so´lido e um outro ponto gene´rico na
casca circundante. [0,8 ponto]
(c) Determine a capacita\u2c6ncia de tal sistema quando a regia\u2dco entre as placas, ou seja, entre os condutores,
esta´ recheada por um isolante de constante diele´trica K. [0,5 ponto]
bb
Z
a
b
h
Resoluc¸a\u2dco:
(a) Na regia\u2dco interna 0 \u2264 r < a, ocupada por um condutor em equil´\u131brio eletrosta´tico, pelas pro´prias
definic¸o\u2dces de equil´\u131brio eletrosta´tico e de condutor, o campo eletrosta´tico e´ zero:
\u2022 0 \u2264 r < a :
E = 0 .
Ja´ para determinar o campo eletrosta´tico nas duas outras regio\u2dces, usaremos, devido a` simetria da distri-
buic¸a\u2dco de cargas, a lei de Gauss. Para tanto, percebemos que o campo deve ter somente componente radial
e essa, por sua vez, so´ deve depender da dista\u2c6ncia ate´ o eixo Z:
E = Er(r)r\u2c6 .
Logo o fluxo atrave´s de uma gaussiana cil´\u131ndrica, coaxial com o eixo Z, de raio r e altura H , e´
\u3a6E [S] = 2\u3c0rHEr(r) .
Devemos, agora, calcular a carga no interior da gaussiana, o que nos leva a duas possibilidades:
\u2022 a < r < b :
Qint = Q
H
h
,
e assim
E = Q2\u3c0\u1eb0hr r\u2c6 .
4
\u2022 b < r :
Qint = 0 ,
e assim
E = 0 .
(b) Qualquer ponto do so´lido tem o mesmo potencial, assim como qualquer ponto da casca tambe´m tem
um mesmo outro potencial. Destarte, o mo´dulo V da ddp pode ser calculado simplesmente escolhendo-se
dois pontos na mesma direc¸a\u2dco radial, a dista\u2c6ncias obviamente r = a e r = b. Encontramos, pois
V = Q2\u3c0\u1eb0h ln(b/a) .
(c) Conforme lemos direto da u´ltima equac¸a\u2dco, a capacita\u2c6ncia do sistema, sem isolante, e´
C0 =
2\u3c0\u1eb0h
ln(b/a)
.
Logo, com o isolante de constante diele´trica K, a capacita\u2c6ncia fica
C = 2\u3c0\u1eb0hKln(b/a) .
\ufffd
2. Considere um fio retil´\u131neo condutor, muito longo, portando uma corrente de intensidade I, co-planar a uma
espira condutora, retangular, de lados b e c, com seu lado mais pro´ximo, paralelo ao fio, a uma dista\u2c6ncia a
deste, conforme mostra a figura abaixo.
(a) Sendo a corrente no fio estaciona´ria, o campo magne´tico correspondente e´ dado por
B =
µ0I
2\u3c0r
\u3c6\u2c6 .
Determine, enta\u2dco, o fluxo de tal campo atrave´s da superf´\u131cie plana definida pela espira, tomando o seu
vetor normal unita´rio como o pro´prio \u3c6\u2c6 . [1,0 ponto]
(b) Suponha, agora, que a corrente no fio varia no tempo como
I(t) = Gt , (G = const > 0) .
Suponha que a corrente satisfaz a condic¸a\u2dco de regime quase-estaciona´rio, ou seja, \u201cvaria lentamente\u201d; nesse
caso, a fo´rmula do item (a) para o campo magne´tico continua ainda va´lida, com a nova expressa\u2dco acima para
a corrente. Sabendo que a resiste\u2c6ncia da espira vale R, determine, enta\u2dco, o mo´dulo da corrente induzida
ao longo da espira, assim como seu sentido, indicando-o explicitamente. [0,8 ponto]
(c) Ainda supondo as condic¸o\u2dces do item (b), visto que o campo magne´tico criado pelo fio e´ na\u2dco uniforme,
a forc¸a magne´tica resultante do fio sobre a espira na\u2dco sera´ nula. Determine-a (mo´dulo, direc¸a\u2dco e sentido),
dizendo claramente se a espira sera´ atra´\u131da ou repelida. [0,7 ponto]
Z
I
a
b
c
\u2297
z\u2c6
r\u2c6\u3c6\u2c6
5
Resoluc¸a\u2dco:
(a) Para o fluxo, temos
\u3a6B[S] :=
\u222b
S
B ·n\u2c6 dA
=
\u222b a+b
r=a
µ0I
2\u3c0r
\u3c6\u2c6·\u3c6\u2c6 cdr ,
ou seja,
\u3a6B[S] =
µ0Ic
2\u3c0 ln
(
a+b
a
)
.
(b) Sob as condic¸o\u2dces enunciadas, o fluxo rece´m-calculado reescreve-se como
\u3a6B[S] =
µ0cGt
2\u3c0
ln
(
a+ b
a
)
.
Logo, o mo´dulo da fem induzida na espira resume-se a
|Eind| =
µ0cG
2\u3c0
ln
(
a+ b
a
)
,
e a corrente induzida a
Iind =
µ0cG
2\u3c0R ln
(
a+b
a
)
.
Ale´m disso, como a corrente no fio retil´\u131neo esta´ crescendo (linearmente, no caso), temos que a corrente
induzida, pela lei de Lenz, deve ter o sentido anti-hora´rio.
(c) Sobre um elemento de corrente, sujeito a um campo magne´tico externo, age a seguinte forc¸a
dFm = id\u2113×B .
No caso, so´ interessam as forc¸as sobre os lados \u201dverticais\u201d da espira, de comprimento c; uma delas e´ atrativa
e a outra repulsiva. Naturalmente, pela lei de Lenz, a forc¸a resultante deve ser repulsiva; ou seja, a forc¸a
de maior mo´dulo e´ sobre o lado mais pro´ximo e vale
Fm,prox = IindcB(a) r\u2c6
=
µ20c
2G2t
4\u3c02aR
ln
(
a+ b
a
)
r\u2c6 .
Ja´ a forca sobre o lado mais afastado vale
Fm,afas = \u2212IindcB(a+ b) r\u2c6
= \u2212
µ20c
2G2t
4\u3c02(a+ b)R
ln
(
a+ b
a
)
r\u2c6 .
Logo, a forc¸a resultante e´
Fm =
µ2
0
c2G2bt
4\u3c02Ra(a+b) ln
(
a+b
a
)
r\u2c6 ,
que, como esperado, tem sentido de r\u2c6, ou seja, tende a afastar a espira do fio (e´ repulsiva). \ufffd
6
7