Existência e Unicidade de Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias
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Existência e Unicidade de Soluções de Equações Diferenciais Ordinárias


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xi(t) e´ soluc¸a\u2dco do problema de
valor inicial.
2. Unicidade:
Sejam X(t) e Y(t) duas soluc¸o\u2dces do problema de valor inicial (5). Enta\u2dco
Z(t) = X(t)\u2212 Y(t)
e´ soluc¸a\u2dco do problema de valor inicial (5) com X(0) = 0 e F(t) = 0. Assim temos
que mostrar que Z(t) = 0, para todo t.
Seja u(t) =
\u222b t
t0
(\u2223z1(s)\u2223 + \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \u2223zn(s)\u2223)ds. Como
z1(t) =
\u222b t
t0
z\u20321(s)ds, . . . , zn(t) =
\u222b t
t0
z\u2032n(s)ds,
enta\u2dco por (6) temos
\u2223z1(t)\u2223 + \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \u2223zn(t)\u2223 \u2264
\u222b t
0
(\u2223z\u20321(s)\u2223+ \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \u2223z
\u2032
n(s)\u2223)ds
\u2264
\u222b t
0
n
\u2211
i=1
n
\u2211
j=1
\u2223aij(s)\u2223\u2223zj(s)\u2223ds
\u2264 nM
\u222b t
0
(\u2223z1(s)\u2223+ \u22c5 \u22c5 \u22c5+ \u2223zn(s)\u2223)ds = nMu(t),
3.1 Existe\u2c6ncia e Unicidade de Soluc¸o\u2dces de Equac¸o\u2dces Lineares de 2a. Ordem 11
para t \u2208 I, ou seja,
u\u2032(t) \u2264 nMu(t).
Multiplicando a inequac¸a\u2dco acima por e\u2212nMt obtemos
d
dt
(e\u2212nMtu(t)) \u2264 0, com u(t0) = 0.
Isto implica que u(t) = 0, para todo t (verifique!) e portanto Z(t) = 0, para t \u2208 I.
3.1 Existe\u2c6ncia e Unicidade de Soluc¸o\u2dces de Equac¸o\u2dces Lineares de 2a.
Ordem
Como consequ¨e\u2c6ncia do resultado que acabamos de provar temos o resultado abaixo
para existe\u2c6ncia e unicidade de soluc¸o\u2dces de equac¸o\u2dces lineares de 2a. ordem.
Corola´rio 3 (Existe\u2c6ncia e Unicidade). O problema de valor inicial
\u23a7\u23a8
\u23a9
d2y
dt2
+ p(t)
dy
dt
+ q(t)y = f (t)
y(t0) = y0, y
\u2032(t0) = y
\u2032
0
para p(t), q(t) e f (t) func¸o\u2dces cont\u131´nuas em um intervalo aberto I contendo t0 tem uma u´nica
soluc¸a\u2dco neste intervalo.
Demonstrac¸a\u2dco. Sejam x1(t) = y(t) e x2(t) = y
\u2032(t). O problema de valor inicial e´
equivalente ao problema
{
X\u2032(t) = A(t)X(t) + F(t)
X(t0) = X
(0)
em que
A(t) =
[
0 1
\u2212q(t) \u2212p(t)
]
, X(t) =
[
x1(t)
x2(t)
]
F(t) =
[
0
f (t)
]
e X(0) =
[
y0
y\u20320
]
.
A conclusa\u2dco segue-se da aplicac¸a\u2dco do Teorema 2.
12 3 SISTEMAS LINEARES DE 1A. ORDEM
3.2 Respostas dos Exerc\u131´cios
1. Seja t fixo, tal que \u3b1 < t < \u3b2. Pelo Teorema do Valor Me´dio, dados y e z com
\u3b4 < y, z < \u3b3 existe \u3be entre y e z tal que
f (t, y)\u2212 f (t, z) =
\u2202 f
\u2202y
(t, \u3be) (y \u2212 z).
Seja a = max
\u3b4<w<\u3b3
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2202 f\u2202y (t,w)
\u2223\u2223\u2223\u2223. Tomando-se o mo´dulo da equac¸a\u2dco acima obtemos
\u2223 f (t, y)\u2212 f (t, z)\u2223 =
\u2223\u2223\u2223\u2223\u2202 f\u2202y (t, \u3be)
\u2223\u2223\u2223\u2223 \u2223y\u2212 z\u2223 \u2264 a \u2223y\u2212 z\u2223.
2. Seja \u3b1\u2032 o ma´ximo entre \u3b1, o valor de t < t0 tal que
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
= \u3b3 e o valor de
t < t0 tal que \u2212
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
= \u3b4. Seja \u3b2\u2032 o m\u131´nimo entre \u3b2, o valor de t > t0 tal
que ba
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
= \u3b3 e o valor de t > t0 tal que \u2212
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
= \u3b4. Vamos
mostrar, por induc¸a\u2dco, que
\u2223yn(t)\u2212 y0\u2223 \u2264
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
, para \u3b1\u2032 < t < \u3b2\u2032
e assim que \u3b4 < yn(t) < \u3b3, para \u3b1
\u2032
< t < \u3b2\u2032.
\u2223y1(t)\u2212 y0\u2223 \u2264 b\u2223t\u2212 t0\u2223 \u2264 b
\u221e
\u2211
n=1
an\u22121\u2223t\u2212 t0\u2223
n
n!
=
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
Vamos supor, por induc¸a\u2dco, que
\u2223yn\u22121(t)\u2212 yn\u22122(t)\u2223 \u2264 a
n\u22122b
\u2223t\u2212 t0\u2223
n\u22121
(n\u2212 1)!
e
\u2223yk(t)\u2212 y0\u2223 \u2264
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
, para k = 1, . . . , n\u2212 1 e \u3b1\u2032 < t < \u3b2\u2032
e assim que \u3b4 < yk(t) < \u3b3, para k = 1, . . . , n\u2212 1 e \u3b1
\u2032
< t < \u3b2\u2032. Enta\u2dco por (2) na
pa´gina 4,
\u2223yn(t)\u2212 yn\u22121(t)\u2223 \u2264 a
n\u22121b
\u2223t\u2212 t0\u2223
n
n!
e assim
\u2223yn(t)\u2212 y0\u2223 \u2264
n
\u2211
k=1
\u2223yk(t)\u2212 yk\u22121(t)\u2223 \u2264 b
\u221e
\u2211
n=1
an\u22121\u2223t\u2212 t0\u2223
n
n!
=
b
a
(
ea\u2223t\u2212t0\u2223 \u2212 1
)
,
REFERE\u2c6NCIAS 13
Refere\u2c6ncias
[1] William E. Boyce and Richard C. DiPrima. Equac¸o\u2dces Diferenciais Elementares e Proble-
mas de Valores de Contorno. Livros Te´cnicos e Cient\u131´ficos Editora S.A., Rio de Janeiro,
7a. edition, 2002.
[2] Djairo G. de Figueiredo and Aloisio F. Neves. Equac¸o\u2dces Diferenciais Aplicadas. SBM,
Rio de Janeiro, 2a. edition, 2005.
[3] Jorge Sotomayor. Lic¸o\u2dces de Equac¸o\u2dces Diferenciais Ordina´rias. IMPA, Rio de Janeiro,
1979.
	Introdução
	Equações de 1a Ordem
	Exercícios
	Sistemas Lineares de 1a Ordem
	Existência e Unicidade de Soluções de Equações Lineares de 2a Ordem
	Respostas dos Exercícios