PF_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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uniforme.
(e) Circuito r´\u131gido, em movimento rotacio-
nal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, na\u2dco uniforme.
3
Sec¸a\u2dco 2. Questo\u2dces discursivas (2×2,5=5,0 pontos)
1. Uma esfera macic¸a, de raio R, possui uma carga ele´trica Q, estaciona´ria e uniformemente distribu´\u131da em
todo seu interior.
(a) Deduza, detalhadamente, uma expressa\u2dco para o vetor campo ele´trico E em um ponto gene´rico fora da
esfera, a uma dista\u2c6ncia r (> R) do seu centro. [0,5 ponto]
(b) Deduza, detalhadamente, uma expressa\u2dco para o vetor campo ele´trico E em um ponto gene´rico dentro
da esfera, a uma dista\u2c6ncia r (< R) do seu centro. [0,7 ponto]
(c) Deduza, detalhadamente, uma expressa\u2dco para o potencial eletrosta´tico V em um ponto gene´rico fora
da esfera, a uma dista\u2c6ncia r (> R) do seu centro. Considere o potencial como zero no infinito. [0,5 ponto]
(d) Deduza, detalhadamente, uma expressa\u2dco para o potencial eletrosta´tico V em um ponto gene´rico dentro
da esfera, a uma dista\u2c6ncia r (< R) do seu centro, considerando ainda o potencial como zero no infinito.
[0,8 ponto]
Resoluc¸a\u2dco:
(a) Devido a` simetria esfe´rica, temos que o vetor campo ele´trico so´ tem componente radial e, ademais, essa
so´ pode depender da dista\u2c6ncia r ate´ o centro da bola:
E = Er(r)r\u2c6 .
Justamente devido a essa simetria, usaremos a lei de Gauss, tomando como superf´\u131cie gaussiana uma
superf´\u131cie esfe´rica de raio r, centrada no centro da bola carregada. Destarte, o termo de fluxo do campo
ele´trico atrave´s dessa gaussiana sera´, genericamente,
\u3a6E [S] :=
\u222e
S
E ·n\u2c6dA
= Er(r)4\u3c0r
2 .
Por outro lado, para pontos externos a` bola, a carga dentro da gaussiana sera´, obviamente, toda a carga
da bola, ou seja,
Qint = Q .
Logo, pela lei de Gauss,
E =
1
4\u3c0\u1eb0
Q
r2
r\u2c6
\ufffd
(b) De novo, aplicaremos a lei de Gauss. Desta feita, a carga dentro da gaussiana sera´ menor que a carga
total Q; concretamente, devido a` uniformidade da distribuic¸a\u2dco,
Qint = Q
r3
R3
.
Logo, pela lei de Gauss,
E =
1
4\u3c0\u1eb0
Qr
R3
r\u2c6 .
\ufffd
(c) Conhecendo, devido aos itens (a) e (b), o campo ele´trico (conservativo), podemos deduzir a diferenc¸a
de potencial eletrosta´tico entre dois pontos quaisquer via uma integral de linha conveniente (ja´ que ela e´
independente do caminho):
V (r) \u2212 V (rref) = \u2212
\u222b r
r\u2032=rref
Er(r
\u2032)dr\u2032 .
4
Como devemos supor que rref \u2192\u221e implica V \u2192 0, temos ainda
V (r) =
\u222b \u221e
r\u2032=r
Er(r
\u2032)dr\u2032 .
Para um ponto externo (r > R), temos, pois,
V =
1
4\u3c0\u1eb0
Q
r
.
\ufffd
(d) Para um ponto interno (r < R), temos,
V =
\u222b R
r\u2032=r
Er(r
\u2032)dr\u2032 +
\u222b \u221e
r\u2032=R
Er(r
\u2032)dr\u2032
=
\u222b R
r\u2032=r
1
4\u3c0\u1eb0
Qr\u2032
R3
dr\u2032 +
\u222b \u221e
r\u2032=R
1
4\u3c0\u1eb0
Q
r\u20322
dr\u2032 ,
ou seja,
V =
1
8\u3c0\u1eb0
Q
R
[
\u2212 r
2
R2
+ 3
]
.
\ufffd
2. Considere uma espira condutora, o\u2c6hmica, quadrada, com aresta de comprimento L e resiste\u2c6ncia R, situada
no plano XY , conforme mostra a figura abaixo. Tal espira esta´ totalmente imersa em um campo magne´tico
na\u2dco estaciona´rio e na\u2dco uniforme, dado por
B = C1 x\u2c6+ C2 t y
2 z\u2c6 ,
onde C1 e C2 sa\u2dco constantes positivas, y e´ uma usual ordenada cartesiana e t um instante de tempo.
(a) Tomando como vetor unita´rio normal a` superf´\u131cie plana da espira o vetor z\u2c6, determine o fluxo de tal
campo magne´tico atrave´s da referida superf´\u131cie. [1,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da corrente induzida na espira, desprezando a corrente associada a` auto-induta\u2c6ncia
da espira. [0,5 ponto]
(c) Determine o sentido da corrente induzida na espira (seja por interme´dito de uma figura conveniente,
seja afirmando \u201chora´rio\u201d ou \u201canti-hora´rio\u201d), justificando detalhadamente sua escolha. [0,5 ponto]
\u2299
X
Y
Z a a+ L
L
Resoluc¸a\u2dco:
5
(a) Por definic¸a\u2dco de fluxo, temos
\u3a6B[S] :=
\u222b
S
B ·n\u2c6 dA
=
\u222b
S
(
C1 x\u2c6+ C2 ty
2 z\u2c6
)·z\u2c6 dA
=
\u222b
SC2 ty2 dA
=
\u222b a+L
x=a
\u222b L
y=0
C2 ty
2dxdy
ou seja,
\u3a6B[S] = C2tL4/3 .
\ufffd
(b) Devido a` lei de Faraday, temos direto:
Eind = \u2212C2L4/3 .
Como a auto-induta\u2c6ncia da espira pode ser desprezada, temos, enta\u2dco que, pela lei de Ohm:
Iind = \u2212C2L
4
3R
.
\ufffd
(c) A escolha do versor como sendo z\u2c6, faz com que o sentido positivo induzido na espira seja o anti-hora´rio
(ou trigonome´trico). Ora, como a forc¸a eletromotriz (fem) ou a corrente induzidas, conforme calculadas no
item (b), sa\u2dco negativas, o sentido da corrente induzida e´ o hora´rio ou anti-trigonome´trico.
Isso tambe´m pode ser visto pela lei de Lenz; por exemplo, para t > 0, o campo externo tem componente z
(que e´ a u´nica a contribuir para o fluxo) positiva e crescente; logo, o campo induzido, criado pela corrente
induzida dentro da pro´pria espira, deve ter componente z negativa, o que significa corrente no sentido
hora´rio. Analogamente, para t < 0, chegamos a` mesma conclusa\u2dco.
\ufffd
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´\u131sica
F´\u131sica III \u2013 2010/1
Prova Final (PF) \u2013 23/07/2010
Versa\u2dco: C
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a\u2dco Nota original Iniciais Nota de revisa\u2dco
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa\u2dco 1
Parte discursiva: Questa\u2dco 2
Total
INSTRUC¸O\u2dcES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´\u131vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a\u2dco de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
\u2022 uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´\u131da por dez (10) questo\u2dces de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a\u2dco alguma;
\u2022 uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´\u131da por duas (2) questo\u2dces discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletro\u2c6nico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4\u3c0\u1eb0
q
r2
r\u2c6 ,
\u222e
S
E ·n\u2c6 dA = Qint/\u1eb0 , C = Q/V , E = E0
K
,
F = qE + qv ×B , B =
\u222e
C
µ0
4\u3c0
Id\u2113× r\u2c6
r2
,
\u222e
S
B ·n\u2c6 dA = 0 ,
\u222e
C
B ·d\u2113 = µ0Ienc + µ0\u1eb0 d
dt
\u3a6E , Eind = \u2212 d
dt
\u3a6B
1
Sec¸a\u2dco 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. Assinale a opc¸a\u2dco em que jamais surge forc¸a
eletromotriz (fem) induzida em um dado cir-
cuito.
(a) Circuito r´\u131gido, fixo, imerso em um
campo magne´tico na\u2dco estaciona´rio, uni-
forme.
(b) Circuito r´\u131gido, fixo, imerso em um
campo magne´tico estaciona´rio, na\u2dco uni-
forme.
(c) Circuito r´\u131gido, em movimento translaci-
onal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, na\u2dco uniforme.
(d) Circuito r´\u131gido, em movimento rotacio-
nal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, uniforme.
(e) Circuito r´\u131gido, em movimento rotacio-
nal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, na\u2dco uniforme.
2. A figura abaixo ilustra um fio condutor cons-
titu´\u131do de tre\u2c6s arcos de c´\u131rculo (dois de raio R,
um de raio 2R), conce\u2c6ntricos, todos com mesma
abertura angular de 60o, dois segmentos retil´\u131neos
e duas semi-retas, convergentes no centro dos ar-
cos. Assinale a opc¸a\u2dco que indica corretamente o
campo magne´tico resultante no centro de tal ar-
ranjo.
R
60
\u25e6
R
\u2299 z\u2c6
(a) 0 .
(b) 5µ0I
24R
z\u2c6 .
(c) \u2212 5µ0I
24R
z\u2c6 .
(d) \u2212 2µ0I
3R
z\u2c6 .
(e) \u2212 30µ0I
R
z\u2c6 .
3. Considere tre\u2c6s esferas com a mesma carga total Q,
em regime eletrosta´tico: (1) a primeira constitui-
se de um condutor de raio R; (2) a segunda, de
um isolante de raio tambe´m R, com a carga dis-
tribu´\u131da uniformemente em seu interior; e (3) a
terceira, de um condutor de raio 2R. Assinale a
opc¸a\u2dco que indica relac¸o\u2dces corretas entre as ener-
gias armazenadas no campo eletrosta´tico criado
por cada uma destas distribuic¸o\u2dces.
(a) U1 < U2 < U3 .
(b) U1 > U2 > U3 .
(c) U1 = U2 > U3 .
(d) U3 < U1 < U2 .
(e) U3 > U1 > U2 .
4. O campo ele´trico criado por uma barra fina, de
comprimento 2L, com cargaQ (estaciona´ria e uni-
formemente distribu´\u131da), num ponto do seu plano
me´dio de simetria, a uma dista\u2c6ncia r, e´ dado por
E =
Q
4\u3c0\u1eb0r
\u221a
r2 + L2
r\u2c6.
Sabendo disso, qual e´ o campo ele´trico resultante,
no centro de um quadrado de lado 2L, que possui
tre\u2c6s arestas com carga Q e a quarta,