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Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Prova Final (PF) – 23/07/2010

Versa˜o: A

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:

Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o

Parte objetiva (total)

Parte discursiva: Questa˜o 1

Parte discursiva: Questa˜o 2

Total

INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!

1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!

2. A prova constitui-se de duas partes:

• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;

• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.

3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.

4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletroˆnico (calculadora, celular, iPod, etc)

Formula´rio

E =
1

4πǫ0

q

r2
rˆ ,

∮
S
E ·nˆ dA = Qint/ǫ0 , C = Q/V , E = E0

K
,

F = qE + qv ×B , B =
∮
C

µ0
4π

Idℓ× rˆ
r2

,

∮
S
B ·nˆ dA = 0 ,

∮
C
B ·dℓ = µ0Ienc + µ0ǫ0 d

dt
ΦE , Eind = − d

dt
ΦB

1

Sec¸a˜o 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)

1. O campo ele´trico criado por uma barra fina, de
comprimento 2L, com cargaQ (estaciona´ria e uni-
formemente distribu´ıda), num ponto do seu plano
me´dio de simetria, a uma distaˆncia r, e´ dado por

E =
Q

4πǫ0r
√
r2 + L2

rˆ.

Sabendo disso, qual e´ o campo ele´trico resultante,
no centro de um quadrado de lado 2L, que possui
treˆs arestas com carga Q e a quarta, com carga
−3Q, conforme mostra a figura abaixo?

2L

Q

Q

Q −3Q

xˆ

yˆ

(a) − Q√
2πǫ0L2

xˆ .

(b) Q√
2πǫ0L2

xˆ .

(c) 0 .

(d) Q
πǫ0L2

xˆ .

(e) − Q
πǫ0L2

xˆ .

2. Considere um cilindro condutor so´lido, muito
longo, com uma densidade de corrente constante
(estaciona´ria e uniforme), J , alinhada com o seu
eixo. Assinale a opc¸a˜o que melhor representa o
gra´fico do mo´dulo B do campo magne´tico cri-
ado por tal distribuic¸a˜o de corrente, em func¸a˜o
da distaˆncia r ao eixo de simetria.

(a) r

B

(b) r

B

(c) r

B

(d) r

B

(e) r

B

3. Considere treˆs esferas com a mesma carga total Q,
em regime eletrosta´tico: (1) a primeira constitui-
se de um condutor de raio R; (2) a segunda, de
um isolante de raio tambe´m R, com a carga dis-
tribu´ıda uniformemente em seu interior; e (3) a
terceira, de um condutor de raio 2R. Assinale a
opc¸a˜o que indica relac¸o˜es corretas entre as ener-
gias armazenadas no campo eletrosta´tico criado
por cada uma destas distribuic¸o˜es.

(a) U1 < U2 < U3 .

(b) U1 > U2 > U3 .

(c) U1 = U2 > U3 .

(d) U3 < U1 < U2 .

(e) U3 > U1 > U2 .

2

4. Considere duas esferas condutoras 1 e 2, em
equil´ıbrio eletrosta´tico, de raios R1 = R e R2 =
2R e cargas Q1 = Q e Q2 = 2Q, respectivamente,
que, numa primeira etapa, esta˜o isoladas. Numa
segunda etapa, elas sa˜o unidas por um fio condu-
tor fino. A distaˆncia entre os centros de tais es-
feras e´ muito grande, comparada com seus raios.
Assinale a opc¸a˜o que indica relac¸o˜es corretas en-
tre as cargas antes (Q1, Q2) e depois (Q

′
1, Q

′
2).

Despreze a carga que se situa no fio fino.

(a) Q1 > Q
′
1; Q2 > Q

′
2 .

(b) Q1 > Q
′
1; Q2 < Q

′
2 .

(c) Q1 < Q
′
1; Q2 > Q

′
2 .

(d) Q1 < Q
′
1; Q2 < Q

′
2 .

(e) Q1 = Q
′
1; Q2 = Q

′
2 .

5. Considere um campo magne´tico constante (esta-
ciona´rio e uniforme) B = Bzˆ , definido somente
na regia˜o paralelepipedal 0 ≤ x ≤ L (despreze
“efeitos de borda”). Determine o mo´dulo ma´ximo
da velocidade que uma part´ıcula (pontual) de
massam e carga ele´trica q, movendo-se no sentido
do eixo X positivo, a partir da regia˜o a` esquerda
do campo, pode ter para que ela seja refletida de
volta para a regia˜o da esquerda, conforme mostra
a figura abaixo.

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

⊙ ⊙ ⊙ ⊙

X

Y

0 L

(a) 2|q|BL/m .
(b)

√
2|q|BL/m .

(c) |q|BL/(√2m) .
(d) |q|BL/m .
(e) m/(|q|BL) .

6. Assinale a opc¸a˜o em que jamais surge forc¸a
eletromotriz (fem) induzida em um dado cir-
cuito.

(a) Circuito r´ıgido, fixo, imerso em um
campo magne´tico na˜o estaciona´rio, uni-
forme.

(b) Circuito r´ıgido, fixo, imerso em um
campo magne´tico estaciona´rio, na˜o uni-
forme.

(c) Circuito r´ıgido, em movimento translaci-
onal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, na˜o uniforme.

(d) Circuito r´ıgido, em movimento rotacio-
nal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, uniforme.

(e) Circuito r´ıgido, em movimento rotacio-
nal, imerso em um campo magne´tico es-
taciona´rio, na˜o uniforme.

7. Listamos, abaixo, quatro equac¸o˜es associadas a
campos eletromagne´ticos numa regia˜o vazia (sem
mate´ria): ∮

S
E ·nˆdA = 0 . (I)

∮
C
E ·dℓ = 0 . (II)

∮
S
B ·nˆdA = 0 . (III)

Eind = −dΦB
dt

. (IV)

Qual destas equac¸o˜es na˜o vale para campos na˜o
estaciona´rios?

(a) I.

(b) II.

(c) III.

(d) IV.

3

8. Um capacitor de placas planas e paralelas pos-
sui a´rea das placas igual a A e distaˆncia entre as
mesmas igual a L. Um terc¸o da regia˜o entre as
placas esta´ preenchido por um material isolante
de constante diele´trica K, ao passo que os res-
tantes dois terc¸os esta˜o vazios, conforme mostra
a figura. Desprezando efeitos de borda, indique
qual e´ a capacitaˆncia de tal capacitor.

2x/3 x/3

KL

(a) 2Kǫ0A/[3L(2 +K)] .

(b) Kǫ0A/L .

(c) ǫ0A(2 +K)/(3L) .

(d) ǫ0A/(KL) .

(e) ǫ0A(1 + 2K)/(3L) .

9. A figura abaixo ilustra um fio condutor cons-
titu´ıdo de treˆs arcos de c´ırculo (dois de raio R,
um de raio 2R), conceˆntricos, todos com mesma
abertura angular de 60o, dois segmentos retil´ıneos
e duas semi-retas, convergentes no centro dos ar-
cos. Assinale a opc¸a˜o que indica corretamente o
campo magne´tico resultante no centro de tal ar-
ranjo.

R

60
◦

R

⊙ zˆ

(a) 0 .

(b) 5µ0I
24R

zˆ .

(c) − 5µ0I
24R

zˆ .

(d) − 2µ0I
3R

zˆ .

(e) − 30µ0I
R

zˆ .

10. Temos treˆs planos uniformemente carregados,
com densidades superficiais σ1 = −σ, σ2 = 3σ e
σ3 = −2σ, conforme mostra a figura abaixo. Nela,
tambe´m mostramos os cortes de treˆs superf´ıcies
cil´ındricas fechadas (I, II e III), de sec¸a˜o reta de
mesma a´rea A. Assinale a opc¸a˜o que indica corre-
tamente o fluxo de campo ele´trico atrave´s de cada
uma dessas superf´ıcies.

−σ

3σ

−2σ

I
II

III

(a) ΦI = −σA/ǫ0, ΦII = 2σA/ǫ0, ΦIII = 0 .
(b) ΦI = −σA/(2ǫ0), ΦII = 2σA/(2ǫ0),

ΦIII = 0 .

(c) ΦI = σA/ǫ0, ΦII = −2σA/ǫ0, ΦIII = 0 .
(d) ΦI = σA/(2ǫ0), ΦII = −2σA/(2ǫ0),

ΦIII = 0 .

(e) ΦI = σA/ǫ0, ΦII = 4σA/ǫ0, ΦIII =
6σA/ǫ0 .

4

Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)

1. Uma esfera macic¸a, de raio R, possui uma carga ele´trica Q, estaciona´ria e uniformemente distribu´ıda em
todo seu interior.
(a) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o vetor campo ele´trico E em um ponto gene´rico fora da
esfera, a uma distaˆncia r (> R) do seu centro. [0,5 ponto]
(b) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o vetor campo ele´trico E em um ponto gene´rico dentro
da esfera, a uma distaˆncia r (< R) do seu centro. [0,7 ponto]
(c) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o potencial eletrosta´tico V em um ponto gene´rico fora
da esfera, a uma distaˆncia r (> R) do seu centro. Considere o potencial como zero no infinito. [0,5 ponto]
(d) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o potencial eletrosta´tico V em um ponto gene´rico dentro
da esfera, a uma distaˆncia r (< R) do seu centro, considerando ainda o potencial como zero no infinito.
[0,8 ponto]

5

6

2. Considere uma espira condutora, oˆhmica, quadrada, com aresta de comprimento L e resisteˆncia R, situada
no plano XY , conforme mostra a figura abaixo. Tal espira esta´ totalmente imersa em um campo magne´tico
na˜o estaciona´rio e na˜o uniforme, dado por

B = C1 xˆ+ C2 t y
2 zˆ ,

onde C1 e C2 sa˜o constantes positivas, y e´ uma usual ordenada cartesiana e t um instante de tempo.
(a) Tomando como vetor unita´rio normal a` superf´ıcie plana da espira