PF_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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V \u2192 0, temos ainda
V (r) =
\u222b \u221e
r\u2032=r
Er(r
\u2032)dr\u2032 .
Para um ponto externo (r > R), temos, pois,
V =
1
4\u3c0\u1eb0
Q
r
.
\ufffd
(d) Para um ponto interno (r < R), temos,
V =
\u222b R
r\u2032=r
Er(r
\u2032)dr\u2032 +
\u222b \u221e
r\u2032=R
Er(r
\u2032)dr\u2032
=
\u222b R
r\u2032=r
1
4\u3c0\u1eb0
Qr\u2032
R3
dr\u2032 +
\u222b \u221e
r\u2032=R
1
4\u3c0\u1eb0
Q
r\u20322
dr\u2032 ,
ou seja,
V =
1
8\u3c0\u1eb0
Q
R
[
\u2212 r
2
R2
+ 3
]
.
\ufffd
2. Considere uma espira condutora, o\u2c6hmica, quadrada, com aresta de comprimento L e resiste\u2c6ncia R, situada
no plano XY , conforme mostra a figura abaixo. Tal espira esta´ totalmente imersa em um campo magne´tico
na\u2dco estaciona´rio e na\u2dco uniforme, dado por
B = C1 x\u2c6+ C2 t y
2 z\u2c6 ,
onde C1 e C2 sa\u2dco constantes positivas, y e´ uma usual ordenada cartesiana e t um instante de tempo.
(a) Tomando como vetor unita´rio normal a` superf´\u131cie plana da espira o vetor z\u2c6, determine o fluxo de tal
campo magne´tico atrave´s da referida superf´\u131cie. [1,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da corrente induzida na espira, desprezando a corrente associada a` auto-induta\u2c6ncia
da espira. [0,5 ponto]
(c) Determine o sentido da corrente induzida na espira (seja por interme´dito de uma figura conveniente,
seja afirmando \u201chora´rio\u201d ou \u201canti-hora´rio\u201d), justificando detalhadamente sua escolha. [0,5 ponto]
\u2299
X
Y
Z a a+ L
L
Resoluc¸a\u2dco:
5
(a) Por definic¸a\u2dco de fluxo, temos
\u3a6B[S] :=
\u222b
S
B ·n\u2c6 dA
=
\u222b
S
(
C1 x\u2c6+ C2 ty
2 z\u2c6
)·z\u2c6 dA
=
\u222b
SC2 ty2 dA
=
\u222b a+L
x=a
\u222b L
y=0
C2 ty
2dxdy
ou seja,
\u3a6B[S] = C2tL4/3 .
\ufffd
(b) Devido a` lei de Faraday, temos direto:
Eind = \u2212C2L4/3 .
Como a auto-induta\u2c6ncia da espira pode ser desprezada, temos, enta\u2dco que, pela lei de Ohm:
Iind = \u2212C2L
4
3R
.
\ufffd
(c) A escolha do versor como sendo z\u2c6, faz com que o sentido positivo induzido na espira seja o anti-hora´rio
(ou trigonome´trico). Ora, como a forc¸a eletromotriz (fem) ou a corrente induzidas, conforme calculadas no
item (b), sa\u2dco negativas, o sentido da corrente induzida e´ o hora´rio ou anti-trigonome´trico.
Isso tambe´m pode ser visto pela lei de Lenz; por exemplo, para t > 0, o campo externo tem componente z
(que e´ a u´nica a contribuir para o fluxo) positiva e crescente; logo, o campo induzido, criado pela corrente
induzida dentro da pro´pria espira, deve ter componente z negativa, o que significa corrente no sentido
hora´rio. Analogamente, para t < 0, chegamos a` mesma conclusa\u2dco.
\ufffd
6
7
Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´\u131sica
F´\u131sica III \u2013 2010/1
Prova Final (PF) \u2013 23/07/2010
Versa\u2dco: B
Aluno:
Assinatura:
DRE:
Professor:
Turma:
Sec¸a\u2dco Nota original Iniciais Nota de revisa\u2dco
Parte objetiva (total)
Parte discursiva: Questa\u2dco 1
Parte discursiva: Questa\u2dco 2
Total
INSTRUC¸O\u2dcES: LEIA COM CUIDADO!
1. Preencha correta, leg´\u131vel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a\u2dco de sua prova podera´ ficar prejudicada!
2. A prova constitui-se de duas partes:
\u2022 uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´\u131da por dez (10) questo\u2dces de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a\u2dco alguma;
\u2022 uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´\u131da por duas (2) questo\u2dces discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.
3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.
4. E´ vedado o uso de qualquer instrumento eletro-eletro\u2c6nico (calculadora, celular, iPod, etc)
Formula´rio
E =
1
4\u3c0\u1eb0
q
r2
r\u2c6 ,
\u222e
S
E ·n\u2c6 dA = Qint/\u1eb0 , C = Q/V , E = E0
K
,
F = qE + qv ×B , B =
\u222e
C
µ0
4\u3c0
Id\u2113× r\u2c6
r2
,
\u222e
S
B ·n\u2c6 dA = 0 ,
\u222e
C
B ·d\u2113 = µ0Ienc + µ0\u1eb0 d
dt
\u3a6E , Eind = \u2212 d
dt
\u3a6B
1
Sec¸a\u2dco 1. Mu´ltipla escolha (10×0,5=5,0 pontos)
1. O campo ele´trico criado por uma barra fina, de
comprimento 2L, com cargaQ (estaciona´ria e uni-
formemente distribu´\u131da), num ponto do seu plano
me´dio de simetria, a uma dista\u2c6ncia r, e´ dado por
E =
Q
4\u3c0\u1eb0r
\u221a
r2 + L2
r\u2c6.
Sabendo disso, qual e´ o campo ele´trico resultante,
no centro de um quadrado de lado 2L, que possui
tre\u2c6s arestas com carga Q e a quarta, com carga
\u22123Q, conforme mostra a figura abaixo?
2L
Q
Q
Q \u22123Q
x\u2c6
y\u2c6
(a) \u2212 Q\u221a
2\u3c0\u1eb0L2
x\u2c6 .
(b) Q\u221a
2\u3c0\u1eb0L2
x\u2c6 .
(c) 0 .
(d) Q
\u3c0\u1eb0L2
x\u2c6 .
(e) \u2212 Q
\u3c0\u1eb0L2
x\u2c6 .
2. Considere um cilindro condutor so´lido, muito
longo, com uma densidade de corrente constante
(estaciona´ria e uniforme), J , alinhada com o seu
eixo. Assinale a opc¸a\u2dco que melhor representa o
gra´fico do mo´dulo B do campo magne´tico cri-
ado por tal distribuic¸a\u2dco de corrente, em func¸a\u2dco
da dista\u2c6ncia r ao eixo de simetria.
(a) r
B
(b) r
B
(c) r
B
(d) r
B
(e) r
B
2
3. Listamos, abaixo, quatro equac¸o\u2dces associadas a
campos eletromagne´ticos numa regia\u2dco vazia (sem
mate´ria): \u222e
S
E ·n\u2c6dA = 0 . (I)
\u222e
C
E ·d\u2113 = 0 . (II)
\u222e
S
B ·n\u2c6dA = 0 . (III)
Eind = \u2212d\u3a6B
dt
. (IV)
Qual destas equac¸o\u2dces na\u2dco vale para campos na\u2dco
estaciona´rios?
(a) I.
(b) II.
(c) III.
(d) IV.
4. Um capacitor de placas planas e paralelas pos-
sui a´rea das placas igual a A e dista\u2c6ncia entre as
mesmas igual a L. Um terc¸o da regia\u2dco entre as
placas esta´ preenchido por um material isolante
de constante diele´trica K, ao passo que os res-
tantes dois terc¸os esta\u2dco vazios, conforme mostra
a figura. Desprezando efeitos de borda, indique
qual e´ a capacita\u2c6ncia de tal capacitor.
2x/3 x/3
KL
(a) 2K\u1eb0A/[3L(2 +K)] .
(b) K\u1eb0A/L .
(c) \u1eb0A(2 +K)/(3L) .
(d) \u1eb0A/(KL) .
(e) \u1eb0A(1 + 2K)/(3L) .
5. Considere tre\u2c6s esferas com a mesma carga total Q,
em regime eletrosta´tico: (1) a primeira constitui-
se de um condutor de raio R; (2) a segunda, de
um isolante de raio tambe´m R, com a carga dis-
tribu´\u131da uniformemente em seu interior; e (3) a
terceira, de um condutor de raio 2R. Assinale a
opc¸a\u2dco que indica relac¸o\u2dces corretas entre as ener-
gias armazenadas no campo eletrosta´tico criado
por cada uma destas distribuic¸o\u2dces.
(a) U1 < U2 < U3 .
(b) U1 > U2 > U3 .
(c) U1 = U2 > U3 .
(d) U3 < U1 < U2 .
(e) U3 > U1 > U2 .
6. Considere um campo magne´tico constante (esta-
ciona´rio e uniforme) B = Bz\u2c6 , definido somente
na regia\u2dco paralelepipedal 0 \u2264 x \u2264 L (despreze
\u201cefeitos de borda\u201d). Determine o mo´dulo ma´ximo
da velocidade que uma part´\u131cula (pontual) de
massam e carga ele´trica q, movendo-se no sentido
do eixo X positivo, a partir da regia\u2dco a` esquerda
do campo, pode ter para que ela seja refletida de
volta para a regia\u2dco da esquerda, conforme mostra
a figura abaixo.
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
\u2299 \u2299 \u2299 \u2299
X
Y
0 L
(a) 2|q|BL/m .
(b)
\u221a
2|q|BL/m .
(c) |q|BL/(\u221a2m) .
(d) |q|BL/m .
(e) m/(|q|BL) .
3
7. Considere duas esferas condutoras 1 e 2, em
equil´\u131brio eletrosta´tico, de raios R1 = R e R2 =
2R e cargas Q1 = Q e Q2 = 2Q, respectivamente,
que, numa primeira etapa, esta\u2dco isoladas. Numa
segunda etapa, elas sa\u2dco unidas por um fio condu-
tor fino. A dista\u2c6ncia entre os centros de tais es-
feras e´ muito grande, comparada com seus raios.
Assinale a opc¸a\u2dco que indica relac¸o\u2dces corretas en-
tre as cargas antes (Q1, Q2) e depois (Q
\u2032
1, Q
\u2032
2).
Despreze a carga que se situa no fio fino.
(a) Q1 > Q
\u2032
1; Q2 > Q
\u2032
2 .
(b) Q1 > Q
\u2032
1; Q2 < Q
\u2032
2 .
(c) Q1 < Q
\u2032
1; Q2 > Q
\u2032
2 .
(d) Q1 < Q
\u2032
1; Q2 < Q
\u2032
2 .
(e) Q1 = Q
\u2032
1; Q2 = Q
\u2032
2 .
8. A figura abaixo ilustra um fio condutor cons-
titu´\u131do de tre\u2c6s arcos de c´\u131rculo (dois de raio R,
um de raio 2R), conce\u2c6ntricos, todos com mesma
abertura angular de 60o, dois segmentos retil´\u131neos
e duas semi-retas, convergentes no centro dos ar-
cos. Assinale a opc¸a\u2dco que indica corretamente o
campo magne´tico resultante no centro de tal ar-
ranjo.
R
60
\u25e6
R
\u2299 z\u2c6
(a) 0 .
(b) 5µ0I
24R
z\u2c6 .
(c) \u2212 5µ0I
24R
z\u2c6 .
(d) \u2212 2µ0I
3R
z\u2c6 .
(e) \u2212 30µ0I
R
z\u2c6 .
9. Temos tre\u2c6s planos uniformemente carregados,
com densidades superficiais \u3c31 = \u2212\u3c3, \u3c32 = 3\u3c3 e
\u3c33 = \u22122\u3c3, conforme mostra a figura abaixo. Nela,
tambe´m mostramos os cortes de tre\u2c6s superf´\u131cies
cil´\u131ndricas fechadas (I, II e III), de sec¸a\u2dco reta de
mesma a´rea A. Assinale a opc¸a\u2dco que indica corre-
tamente o fluxo