PF_4h_f3unif_101_def_enunc_gab
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Disciplina:Física III8.585 materiais144.979 seguidores
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de placas planas e paralelas pos-
sui a´rea das placas igual a A e distaˆncia entre as
mesmas igual a L. Um terc¸o da regia˜o entre as
placas esta´ preenchido por um material isolante
de constante diele´trica K, ao passo que os res-
tantes dois terc¸os esta˜o vazios, conforme mostra
a figura. Desprezando efeitos de borda, indique
qual e´ a capacitaˆncia de tal capacitor.

2x/3 x/3

KL

(a) 2Kǫ0A/[3L(2 +K)] .

(b) Kǫ0A/L .

(c) ǫ0A(2 +K)/(3L) .

(d) ǫ0A/(KL) .

(e) ǫ0A(1 + 2K)/(3L) .

7. Considere duas esferas condutoras 1 e 2, em
equil´ıbrio eletrosta´tico, de raios R1 = R e R2 =
2R e cargas Q1 = Q e Q2 = 2Q, respectivamente,
que, numa primeira etapa, esta˜o isoladas. Numa
segunda etapa, elas sa˜o unidas por um fio condu-
tor fino. A distaˆncia entre os centros de tais es-
feras e´ muito grande, comparada com seus raios.
Assinale a opc¸a˜o que indica relac¸o˜es corretas en-
tre as cargas antes (Q1, Q2) e depois (Q

′
1, Q

′
2).

Despreze a carga que se situa no fio fino.

(a) Q1 > Q
′
1; Q2 > Q

′
2 .

(b) Q1 > Q
′
1; Q2 < Q

′
2 .

(c) Q1 < Q
′
1; Q2 > Q

′
2 .

(d) Q1 < Q
′
1; Q2 < Q

′
2 .

(e) Q1 = Q
′
1; Q2 = Q

′
2 .

8. Temos treˆs planos uniformemente carregados,
com densidades superficiais σ1 = −σ, σ2 = 3σ e
σ3 = −2σ, conforme mostra a figura abaixo. Nela,
tambe´m mostramos os cortes de treˆs superf´ıcies
cil´ındricas fechadas (I, II e III), de sec¸a˜o reta de
mesma a´rea A. Assinale a opc¸a˜o que indica corre-
tamente o fluxo de campo ele´trico atrave´s de cada
uma dessas superf´ıcies.

−σ

3σ

−2σ

I
II

III

(a) ΦI = −σA/ǫ0, ΦII = 2σA/ǫ0, ΦIII = 0 .
(b) ΦI = −σA/(2ǫ0), ΦII = 2σA/(2ǫ0),

ΦIII = 0 .

(c) ΦI = σA/ǫ0, ΦII = −2σA/ǫ0, ΦIII = 0 .
(d) ΦI = σA/(2ǫ0), ΦII = −2σA/(2ǫ0),

ΦIII = 0 .

(e) ΦI = σA/ǫ0, ΦII = 4σA/ǫ0, ΦIII =
6σA/ǫ0 .

2

9. Listamos, abaixo, quatro equac¸o˜es associadas a
campos eletromagne´ticos numa regia˜o vazia (sem
mate´ria): ∮

S
E ·nˆdA = 0 . (I)

∮
C
E ·dℓ = 0 . (II)

∮
S
B ·nˆdA = 0 . (III)

Eind = −dΦB
dt

. (IV)

Qual destas equac¸o˜es na˜o vale para campos na˜o
estaciona´rios?

(a) I.

(b) II.

(c) III.

(d) IV.

10. Considere um cilindro condutor so´lido, muito
longo, com uma densidade de corrente constante
(estaciona´ria e uniforme), J , alinhada com o seu
eixo. Assinale a opc¸a˜o que melhor representa o
gra´fico do mo´dulo B do campo magne´tico cri-
ado por tal distribuic¸a˜o de corrente, em func¸a˜o
da distaˆncia r ao eixo de simetria.

(a) r

B

(b) r

B

(c) r

B

(d) r

B

(e) r

B

3

Sec¸a˜o 2. Questo˜es discursivas (2×2,5=5,0 pontos)

1. Uma esfera macic¸a, de raio R, possui uma carga ele´trica Q, estaciona´ria e uniformemente distribu´ıda em
todo seu interior.
(a) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o vetor campo ele´trico E em um ponto gene´rico fora da
esfera, a uma distaˆncia r (> R) do seu centro. [0,5 ponto]
(b) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o vetor campo ele´trico E em um ponto gene´rico dentro
da esfera, a uma distaˆncia r (< R) do seu centro. [0,7 ponto]
(c) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o potencial eletrosta´tico V em um ponto gene´rico fora
da esfera, a uma distaˆncia r (> R) do seu centro. Considere o potencial como zero no infinito. [0,5 ponto]
(d) Deduza, detalhadamente, uma expressa˜o para o potencial eletrosta´tico V em um ponto gene´rico dentro
da esfera, a uma distaˆncia r (< R) do seu centro, considerando ainda o potencial como zero no infinito.
[0,8 ponto]

Resoluc¸a˜o:

(a) Devido a` simetria esfe´rica, temos que o vetor campo ele´trico so´ tem componente radial e, ademais, essa
so´ pode depender da distaˆncia r ate´ o centro da bola:

E = Er(r)rˆ .

Justamente devido a essa simetria, usaremos a lei de Gauss, tomando como superf´ıcie gaussiana uma
superf´ıcie esfe´rica de raio r, centrada no centro da bola carregada. Destarte, o termo de fluxo do campo
ele´trico atrave´s dessa gaussiana sera´, genericamente,

ΦE [S] :=
∮
S
E ·nˆdA

= Er(r)4πr
2 .

Por outro lado, para pontos externos a` bola, a carga dentro da gaussiana sera´, obviamente, toda a carga
da bola, ou seja,

Qint = Q .

Logo, pela lei de Gauss,

E =
1

4πǫ0

Q

r2
rˆ

�

(b) De novo, aplicaremos a lei de Gauss. Desta feita, a carga dentro da gaussiana sera´ menor que a carga
total Q; concretamente, devido a` uniformidade da distribuic¸a˜o,

Qint = Q
r3

R3
.

Logo, pela lei de Gauss,

E =
1

4πǫ0

Qr

R3
rˆ .

�

(c) Conhecendo, devido aos itens (a) e (b), o campo ele´trico (conservativo), podemos deduzir a diferenc¸a
de potencial eletrosta´tico entre dois pontos quaisquer via uma integral de linha conveniente (ja´ que ela e´
independente do caminho):

V (r) − V (rref) = −
∫ r
r′=rref

Er(r
′)dr′ .

4

Como devemos supor que rref →∞ implica V → 0, temos ainda

V (r) =

∫ ∞
r′=r

Er(r
′)dr′ .

Para um ponto externo (r > R), temos, pois,

V =
1

4πǫ0

Q

r
.

�

(d) Para um ponto interno (r < R), temos,

V =

∫ R
r′=r

Er(r
′)dr′ +

∫ ∞
r′=R

Er(r
′)dr′

=

∫ R
r′=r

1

4πǫ0

Qr′

R3
dr′ +

∫ ∞
r′=R

1

4πǫ0

Q

r′2
dr′ ,

ou seja,

V =
1

8πǫ0

Q

R

[
− r

2

R2
+ 3

]
.

�

2. Considere uma espira condutora, oˆhmica, quadrada, com aresta de comprimento L e resisteˆncia R, situada
no plano XY , conforme mostra a figura abaixo. Tal espira esta´ totalmente imersa em um campo magne´tico
na˜o estaciona´rio e na˜o uniforme, dado por

B = C1 xˆ+ C2 t y
2 zˆ ,

onde C1 e C2 sa˜o constantes positivas, y e´ uma usual ordenada cartesiana e t um instante de tempo.
(a) Tomando como vetor unita´rio normal a` superf´ıcie plana da espira o vetor zˆ, determine o fluxo de tal
campo magne´tico atrave´s da referida superf´ıcie. [1,5 ponto]
(b) Determine o mo´dulo da corrente induzida na espira, desprezando a corrente associada a` auto-indutaˆncia
da espira. [0,5 ponto]
(c) Determine o sentido da corrente induzida na espira (seja por interme´dito de uma figura conveniente,
seja afirmando “hora´rio” ou “anti-hora´rio”), justificando detalhadamente sua escolha. [0,5 ponto]

⊙
X

Y

Z a a+ L

L

Resoluc¸a˜o:

5

(a) Por definic¸a˜o de fluxo, temos

ΦB[S] :=
∫
S
B ·nˆ dA

=

∫
S

(
C1 xˆ+ C2 ty

2 zˆ
)·zˆ dA

=

∫
SC2 ty2 dA

=

∫ a+L
x=a

∫ L
y=0

C2 ty
2dxdy

ou seja,

ΦB[S] = C2tL4/3 .

�

(b) Devido a` lei de Faraday, temos direto:

Eind = −C2L4/3 .

Como a auto-indutaˆncia da espira pode ser desprezada, temos, enta˜o que, pela lei de Ohm:

Iind = −C2L
4

3R
.

�

(c) A escolha do versor como sendo zˆ, faz com que o sentido positivo induzido na espira seja o anti-hora´rio
(ou trigonome´trico). Ora, como a forc¸a eletromotriz (fem) ou a corrente induzidas, conforme calculadas no
item (b), sa˜o negativas, o sentido da corrente induzida e´ o hora´rio ou anti-trigonome´trico.

Isso tambe´m pode ser visto pela lei de Lenz; por exemplo, para t > 0, o campo externo tem componente z
(que e´ a u´nica a contribuir para o fluxo) positiva e crescente; logo, o campo induzido, criado pela corrente
induzida dentro da pro´pria espira, deve ter componente z negativa, o que significa corrente no sentido
hora´rio. Analogamente, para t < 0, chegamos a` mesma conclusa˜o.

�

6

7

Universidade Federal do Rio de Janeiro
Instituto de F´ısica
F´ısica III – 2010/1
Prova Final (PF) – 23/07/2010

Versa˜o: D

Aluno:

Assinatura:

DRE:

Professor:

Turma:

Sec¸a˜o Nota original Iniciais Nota de revisa˜o

Parte objetiva (total)

Parte discursiva: Questa˜o 1

Parte discursiva: Questa˜o 2

Total

INSTRUC¸O˜ES: LEIA COM CUIDADO!

1. Preencha correta, leg´ıvel e totalmente os campos em branco (Aluno, Assinatura, DRE, Professor e Turma)
do cabec¸alho acima. Sem isso, a correc¸a˜o de sua prova podera´ ficar prejudicada!

2. A prova constitui-se de duas partes:

• uma parte objetiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por dez (10) questo˜es de mu´ltipla
escolha, cada uma das quais valendo 0,5 ponto, sem penalizac¸a˜o alguma;

• uma parte discursiva, perfazendo um total de 5,0 pontos, constitu´ıda por duas (2) questo˜es discursivas
(ou argumentativas ou dissertativas), cada uma das quais valendo 2,5 pontos.

3. A parte objetiva deve ser preenchida a caneta.